Подробные инструкции по восстановлению диплома о высшем или среднем специальном образовании.

Что делать, если потерял диплом

В случае потери гражданин РФ имеет право получить его дубликат. К сожалению, это занимает много времени, потому что после окончания вуза, как правило, проходит много лет. Меняется управленческий состав, вузы переформировываются или закрываются, информация систематизируется уже иначе, и найти ее гораздо сложнее. Несмотря на высокую энергозатратность данного процесса, восстановить диплом все же возможно. Давайте рассмотрим, что для этого понадобится.

Куда обращаться

Обращаться нужно непосредственно в учебное заведение, которое вы заканчивали. Вас могут попросить написать заявление в полицию и принести справку об утере, однако законодательство РФ этого не требует, то есть вы имеете право не ходить в полицию и не прикладывать никакие дополнительные документы.

Необходимые документы 

Все, что необходимо для восстановления диплома и получения дубликата, — это паспорт, заявление на имя ректора и, если вы меняли ФИО, документ о смене. В заявлении необходимо указать обстоятельства потери диплома, серию, номер и на чье имя выдан документ об образовании.

Некоторые организации могут попросить также вписать годы обучения, факультет, специальность, так что следует заранее ознакомиться со всеми требованиями конкретного ввуза или ссуза.

Порядок действий

При утере диплома сразу идите в университет, институт, колледж или пту. Подать заявление можно как лично, так и через нотариально заверенное лицо, причем забрать готовый дубликат официальный представитель тоже может вместо вас по доверенности.

Кроме того, можно попросить прислать дубликат на почтовый адрес. Если вы хотите получить диплом по почте, отправьте заявление заказным письмом с уведомлением о вручении.

Срок получения дубликата

Восстанавливать документы могут от одного месяца до полугода. Если вам срочно понадобился документ об образовании, можно запросить копию из архива, заверенную печатью вуза.

Что делать, если потерял вкладыш

Как известно, без вкладыша диплом, как и многие другие документы, не действителен, так что желательно его не терять. Но если это уже произошло, то его тоже можно восстановить по той же самой схеме.

Как восстановить диплом, если учебное заведение закрылось

В таком случае нужно обратиться в территориальный орган Минобрнауки России. Вас перенаправят либо в организацию, которая стала правопреемником ликвидированного вуза или ссуза, либо в другую организацию, которая сможет выдать дубликат. Если вы уверены, что у бывшего учебного заведения нет правопреемника, можете обратиться сразу в Московский центр качества образования.

Как восстановить диплом из другого города

Если нет возможности явиться лично, можно также запросить дубликат диплома заказным письмом, приложив заявление, необходимые документы и/или их копии.

Как восстановить диплом через госуслуги или МФЦ

К сожалению, в данный момент подать заявление на получение дубликата в многофункциональном центре или онлайн на сайте госуслуг невозможно. Там вы можете только проконсультироваться, и, в итоге, вас перенаправят в учебное заведение.

Сколько стоит восстановить диплом

В федеральном законе «Об образовании в Российской Федерации» указано, что дубликат оформляется бесплатно. Если от вас требуют какие-либо деньги, сразу обращайтесь в полицию.

Перед тем, как потерять диплом, его надо сначала получить. За помощью в написании научных работ обращайтесь к авторам Феникс.Хелп. Более 16000 специалистов уже готовы связаться с вами.

Чем ближе время подходит к последнему звонку и экзаменам, тем больше вопрос «что делать?» давит на выпускников 9 и 11 классов. Даже самый подготовленный и уверенный в себе ученик может на финишной прямой засомневаться в экзаменах, которые давно решил сдавать. Чтобы развеять ваши страхи, мы подготовили статью о направлениях, на которые можно поступить, сдав только обязательные предметы.

Как использовать русский и математику для поступления

На самом деле, не так страшно, если в 11 классе вы выбрали только 2 предмета для сдачи экзаменов. К сожалению, в школах преподаватели часто делают акцент на изучении прикладных предметов с перспективой для ученика использовать именно их при поступлении. Такой путь подходит далеко не всем, но мало кто обращает внимание на факультеты, где для поступления из ЕГЭ требуются только математика и русский.

Если ученик понимает, что ни один из дополнительных предметов не понадобится ему в будущем или попросту не дается достаточно, чтобы хорошо сдать ЕГЭ, не стоит тратить на них время. Гораздо результативней будет сделать упор на обязательные предметы и написать их на более высокий балл. Но перед тем как принять это серьезное решение, обязательно нужно все обдумать и просчитать возможные развития событий после окончания школы, посоветоваться с родителями, может, проконсультироваться со специалистами из центра профориентации, подойти к вопросу, в целом, осознанно.

Есть и другой вариант: вы написали несколько экзаменов, но успешно сдали только русский и математику. В этом случае тоже не стоит пугаться, ведь перед вами открыто еще множество направлений, о некоторых из которых вы, возможно, даже не задумывались. 

Куда можно поступить с базовой математикой и русским языком

Список направлений, в которых вы можете попробовать себя, имея результаты только по двум предметам ЕГЭ:

1. Медицинское дело

2. Гуманитарные направления

• филология, журналистика, лингвистика;
• история, социология, политология, психология, философия;
• реклама и связи с общественностью;
• издательское дело;
• телевидение;
• государственное и муниципальное управление.

3. Творчество

• профессии, связанные с театром:
  — режиссура,
  — продюсирование,
  — актер театра и кино.
• литературное творчество:
  — проза и поэзия,
  — драматургия,
  — сценарное дело.
• художественные направления:
  — художник,
  — скульптор,
  — дизайнер.

Чтобы претендовать на место в творческом университете, возможно, придется не только написать внутренние экзамены, но и пройти вступительные испытания профильной направленности (рисунок, написание литературного текста, постановка театральной зарисовки и т. п.).

4. Спорт и физическая культура

• тренер,
• инструктор-методист,
• спортсмен-инструктор.

Здесь также понадобится прохождение вступительных испытаний, связанных с физической подготовкой.

Куда можно поступить с профильной математикой и русским языком

Тут список возможных направлений расширяется, так как в него добавляются технические:

• инженерия,
• информационные технологии,
• прикладная медицина.

Профиль по математике увеличивает и количество художественных направлений:

• архитектура,
• дизайн архитектурной среды,
• градостроительство,
• декоративно-прикладное искусство,
• графический и промышленный дизайн.

 По всем этим направлением также придется проходить дополнительные вступительные испытания (ДВИ).

Куда можно поступать, сдав только русский и математику

Если возможности сдать внутренние экзамены при университете или пройти ДВИ нет, колледжи по всей России могут предложить следующие направления:

• кулинарное дело (повар и кондитер),
• педагог начальных классов,
• парикмахер,
• косметолог,
• графический дизайнер,
• системный администратор,
• автомеханик,
• строитель.

Для поступления понадобится только средний балл аттестата и в некоторых случаях результаты ЕГЭ по русскому языку и математике (база или профиль).

На первый взгляд эти направления выглядят не очень привлекательно, но не стоит делать поспешных выводов. В будущем владения  знаниями в этих сферах могут привести вас, например, к открытию собственного автосалона или развитию в ресторанном бизнесе.

Куда можно поступить после 9 класса

Вопреки всеобщему заблуждению, после 9-го класса в колледжи уходят не только те, кто не хочет получить высшее образование. В этом, кстати, тоже нет ничего зазорного. Хорошее среднее специальное образование высоко ценится на рынке труда.

Однако некоторые профессии — архитектура, актерское мастерство, медицина — иногда требуют подготовки, которую 10 и 11 класс среднеобразовательной школы не может обеспечить, поэтому многие школьники, определившиеся с будущей профессией, поступают в профильные колледжи при университетах — это может значительно увеличить шанс при поступлении на бюджет. Конечно, процесс обучения займет гораздо больше времени, но вы станете более квалифицированным и востребованным сотрудником.

Кроме профильных колледжей существую лицеи при университетах, например, при Высшей Школе Экономики. Это что-то среднее между школой и колледжем, так как в 10-11 классах там уже готовят к поступлению на конкретное направление и преподают предметы, схожие с дисциплинами на первых курсах университета.

Если вам нужно быстро получить новые знания или улучшить уже имеющиеся, сейчас это сделать гораздо проще, чем раньше. Найти репетитора, получить консультацию, обратиться за помощью в интернете — минутное дело, причем на официальных платформах это абсолютно безопасно. Такой платформой, например, является «Феникс» — платформа, где больше 15000 авторов помогают школьникам и студентам.

Содержание обходного листа, его назначение, порядок заполнения, а также лайфхаки, как закрыть его быстрее — все в этой статье.

Что такое обходной лист и зачем его оформлять

Обходной лист в университете — это список отделов и/или кабинетов, которые необходимо посетить при отчислении или окончании вуза, чтобы получить диплом. Кстати, при увольнении с работы тоже заполняется такой лист, причем он очень похож по своему содержанию.

Студенту, который закончил образовательное учреждение, решил отчислиться, или, наиболее неприятный случай, был отчислен, должен полностью «рассчитаться» с университетом, то есть документально подтвердить, что он «никому ничего не должен». Проходя по списку — его содержание будет раскрыто чуть позже, — студент должен собрать все необходимые печати и записи в обходном листе. В противном случае ему просто не выдадут документы.

Пример обходного листа:

Как и где получить

Чаще всего выдача обходного листа производится в деканате института или отделе кадров, но лучше, конечно, уточнять лично в своем учреждении, так как внутреннее устройство часто отличается от, грубо говоря, стандартов.

Особых условий для получения не требуется: пришел, попросил, получил.

Стандартные пункты обходного листа учебного заведения

Список мест, в которые нужно зайти, зависит и от самого заведения, и от каких-либо внутренних и внешних факторов. Например, весной 2020 года, в разгар пандемии коронавируса, университеты исключали из списка некоторые «не очень важные» пункты.

Также наличие тех или иных пунктов зависит от причины, по которой вы прощаетесь с вузом. 

При отчислении

• библиотека; 
• общежитие (даже если вы там не жили); 
• бухгалтерия (самый щекотливый вопрос: а не должен ли я остался университету?);
• профком; 
• военная кафедра (для парней); 
• бюро пропусков (но это не во всех вузах);
• отдел кадров.

При окончании 

• библиотека; 
• общежитие; 
• бухгалтерия;
• профком; 
• военная кафедра; 
• центр трудоустройства; 
• выпускающая кафедра или деканат;
• бюро пропусков.

На сайте своего заведения студент может попробовать найти образец обходного листа, чтобы заранее знать все пункты.

Что нужно иметь при себе при обходе мест из обходного листа

Во-первых, все необходимые документы: 

• студенческий билет;
• пропуск в университет;
• пропуск в общежитие (если таковой есть);
• читательский билет;
• социальную карту;
• паспорт.

Опять же, у разных университетов разные требования, и что-то из этого где-то может не понадобится, но лучше перестраховаться.

А во-вторых, следует понимать, что нужно не просто зайти в отдел или кабинет для галочки, а еще и вернуть или возместить все, что требуется: литературу в библиотеку, какие-либо дополнительные документы или вещи в общежитие и т. п. Лучше всего заранее узнать об этом конкретно в своем учебном заведении или онлайн на его сайте.

Как быстро заполнить обходной лист в университете

Обходить все пункты необходимо в определенном порядке. Обычно сотрудники университета при выдаче обходного листа отмечают, что нужно посетить в последнюю очередь. Как правило, это бухгалтерия или деканат (повторно).

Чтобы как можно быстрее все пройти, обратите внимание на следующие пункты:

• время работы тех или иных отделов;
• расположение отделов (могут быть в разных корпусах);
• что обязательно нужно принести с собой.

Чаще всего процесс заполнения обходного листа затягивается именно потому, что студент приходит в нерабочее время или обеденный перерыв, или несколько раз ездит из корпуса в корпус, потому что не обратил внимание, что, например, в бухгалтерию нужно идти в самую последнюю очередь. Так что заранее проверяйте время работы отдела и релевантность его посещения!

Еще задержки могут быть из-за того, что выпускник или отчисляющийся не сразу приносит все необходимые учебники или документы, и приходится снова приходить в одно и то же место.

Если у вас появляются мысли отчислиться из-за затруднений в обучении, вы всегда можете обратиться к специалистам ФениксХелп, которые предоставляют скорую помощь студентам.

Рассмотрим понятие и определение предела, разберем основные решения пределов.

Разбор записи предела на математическом языке

Любой предел состоит из трех частей:

1. Знак «lim», который, собственно, и определяет существование предела.
2. Записи под знаком «lim», которая может приобретать вид \(x\rightarrow a,\) \(x\rightarrow0\) и \(x\rightarrow\infty\). Такая запись читается «икс стремится к а (может принимать любое число)/нулю/бесконечности». На практике, переменная «х» может быть записана и другой буквой.
3. Функции f(x) под знаком предела.

Для наилучшего понимания рассмотрим конкретный пример \(\lim_{x\rightarrow1}\frac{3x^2-2x-5}{x+3}\).

Данная запись читается так: «предел функции \(\lim_{x\rightarrow1}\frac{3x^2-2x-5}{x+3}\) при икс стремящемся к единице». Что же значит выражение «икс стремится к единице»?

Понятие предела, в отличие от большинства известных математических понятий, динамическое, то есть нет какого-то статичного, неменяющегося числа или тождества в качестве его определения. Построим последовательность: 

Разберем следующий важный вопрос – а что значит выражение «икс стремится к единице»? И что вообще такое «стремится»? Понятие предела – это понятие, если так можно сказать, динамическое. Построим последовательность:

x=1,1, x=1,01, x=1,001, ... x=1,00000001, ...

Все данные значения x и разница между ними настолько малы и близки к одной точке (в данном случае к единице), что можно сказать, что «икс» последовательно принимает значения, которые бесконечно близко приближаются к единице и практически с ней совпадают. Это и означает «икс стремится к единице».

Предел последовательности: определение и свойства

Предел последовательности, как и предел функции, является одним из основных понятий математического анализа. По сути, каждое вещественное число может быть представлено в виде последовательности максимально приближенных к нему чисел.

Вещественные (действительные) числа обозначаются как ε (эпсилон) и принадлежат множеству R, которое включает в себя все натуральные, целые, рациональные и иррациональные числа.

Теперь обратимся к определению предела последовательности и разберем, что же оно означает.

То есть, основываясь на знании определения последовательности (пронумерованный и строгий набор каких-либо объектов, в математике — числе, которые можно записать в виде \(x_{1,}\;x_{2,\;}\;x_{3,}\;x_4\;...\;x_n\) ), мы утверждаем, что существует какая-то окрестность, все точки которой имеют такое значение, что при вычитании предела a из x_n , модуль результата будет меньше заданного ε.

Для лучшего восприятия понятия «окрестность» рассмотрим следующее изображение:

Окрестностью в данном случае являются интервалы слева и справа от x₀, причем окрестность может быть проколотой (третий случай), то есть сама точка x₀ не входит в заданный интервал.

На математическом языке данное определение записывается следующим образом:

\(\lim_{x_0\rightarrow a}\;x_n=a\) или \(x_n\rightarrow a\)

Это выражение равносильно двойному неравенству a - ε < x_n < a + ε, которое означает, что точки x _n, начиная с некоторого номера n>N, лежат внутри интервала (a-ε , a+ε), т.е. попадают в какую угодно малую ε-окрестность точки а.

Свойства

1. Постоянный множитель c можно выносить за знак предела. На математическом языке данное утверждение выглядит так:

\(\lim_{n\rightarrow\infty}\;(c\times x_n)=cA=c\;\lim_{n\rightarrow\infty}\;x_n\) В данном случае n стремится к бесконечности, то есть мы имеем неопределенно большое количество значений x₀ . Теперь докажем это свойство. Примем \(\lim_{n\rightarrow\infty}\;x_n\) за A, тогда переменную \(x_n\) мы можем представить в виде:

\(x_n=A+a_n\)

где \(a_n\) — бесконечно малая величина. Очевидно, что:

\(c\times x_n=c(A+a_n)=cA+ca_n\). Так как \(ca_n\) является бесконечно малой величиной, то \(сA\) — предел последовательности \(\left\{c\times x_n\right\}\). Свойство доказано.

2. Если существуют конечные пределы последовательностей \(x_n\) и \(y_n\), то

\(\underset{}{\lim(x_n\pm y_n)=\lim_{}(}x_n)\;\pm\underset{}{\lim(y_n)}\)

\(\underset{}{\lim(x_n\times y_n)=\lim_{}(}x_n)\;\times\underset{}{\lim(y_n)}\)

\(\underset{}{\lim\frac{x_n}{y_n}=}\;\frac{\lim_{}(x_n)}{\underset{}{\lim(}y_n)}\) (только если \(\underset{}{\lim(}y_n)\) не равно нулю)

Докажем теперь и это свойство. Пусть \(\underset{}{\lim(}x_n)=A\) и \(\underset{}{\lim(}y_n)=B\). В таком случае \(x_n\) и \(y_n\) мы можем представить в виде:

\(x_n=A+\alpha_n\)

\(y_n=B+\beta_n\)

где \(\alpha_n\) и \(\beta_n\) — некоторые бесконечно малые величины.

Тогда \(x_n\pm y_n=(A\pm B)+(\alpha_n\pm\beta_n)\)

Учитывая, что \((\alpha_n\pm\beta_n)\) — бесконечно малая величина, получаем:

\(\lim_{}(x_n\pm y_n)=(A\pm B)=\lim_{}(x_n)\pm\lim_{}(y_n) \) Аналогично:

\(x_n\times y_n=(A\pm\alpha_n)(B\pm\beta_n)=AB+(B\alpha_n+A\beta_n+\alpha_n\beta_n)\)

Осталось распознать в выражении \( (B\alpha_n+A\beta_n+\alpha_n\beta_n)\) бесконечно малую величину, что влечет за собой:

\(\lim_{}(x_n\times y_n)=AB=\lim_{}x_n\times\lim_{}y_n\\\\ \)

Далее покажем, что отношение \(\frac{x_n}{y_n}\) можно представить в виде:

\(\frac{x_n}{y_n}=\frac AB+б/м\)

Очевидно, что:

\(\frac{x_n}{y_n}=\frac{A+\alpha_n}{B+\beta_n}=\frac AB+(\frac{A+\alpha_n}{B+\beta_n}-\frac AB)=\frac AB+\frac{B\alpha_n-A\beta_n}{B(B+\beta_n)}\) где \(\frac{B\alpha_n-A\beta_n}{B(B+\beta_n)}\rightarrow\frac0{B^2}=0\) при \(n\rightarrow\infty\)

Следовательно:

\(\underset{}{\lim\frac{x_n}{y_n}}=\frac AB=\underset{}{\frac{\lim_{}x_n}{\lim_{}y_n}\;\lim}\\\\x_n\times\lim_{}y_n\)

Что и требовалось доказать.

3. Если существуют конечные пределы последовательностей \(\left\{y_n\right\} и \left\{y_n^p\right\}\), то \(\underset{}{\lim\;}y_n^p={(\underset{}{\lim\;}y_n)}^p\).

Определенного доказательства данного свойства нет, однако интуитивно мы можем провести следующие умозаключения.

Пусть \(\underset{}{\lim\;}y_n=A,\) тогда:

\(y_n=A+\alpha_n\)

где \( \alpha_n\) – некоторая бесконечно малая величина.

Следовательно:

\(y_n^p={(A+\alpha_n)}^p=A^p{(1+\frac{\alpha_n}A)}^p\rightarrow A^p{(1+0)}^p=A^p=\underset{}{(\lim}y_n)^p\)

Что и требовалось доказать.

Предел функции

Обратимся сразу к определению.

Постоянное число А называется пределом функции f(x) при x→a, если, задав некоторое произвольное, как угодно малое положительное число ε, можно найти такое δ >0 (зависящее от ε), что для всех x, лежащих в ε-окрестности числа а, т.е. для x, удовлетворяющих неравенству 0 < x-a < ε , значения функции f(x) будут лежать в ε-окрестности числа А, т.е. |f(x)-A| < ε.

Данное определение называют «определением по Коши». В предыдущих пунктах было рассмотрено «определение по Гейне», которое, по сути, тоже является определением предела функций, но на языке последовательностей. Зачем же нужны два различных по формулировке, но идентичных по смыслу определения? Это необходимо для того, чтобы в будущем, при решении задач или доказательстве каких-либо утверждений, опираться на более удобную для обоснования формулировку, ведь компоненты в них все-таки отличаются друг от друга.

Непрерывность функции

Функция y=f(x) называется непрерывной в точке х = а, если существует предел функции в этой точке.

Записать данное определение на математическом языке можно следующим образом:

\(\lim_{x\rightarrow a}f(x)=f(a)\)

Для того, чтобы функция являлась непрерывной, обязательно должны выполнятся 3 условия:

1. Функция y = f(x) определена в точке х=а (существует f(a)).
2. Существует предел \(\lim_{x\rightarrow a}\;f(x)\) функции в точке х=а.
3. Предел функции в точке х=а равен значению функции в этой точке \((\lim_{x\rightarrow a}f(x)=f(a))\).

Существуют и другие определения, которые, как и в случае с определением пределов по Коши и по Гейне, различаются по формулировке для наиболее удобного использования.

Функция y = f(x) непрерывна в точке х=а, если для любого числа ε>0 существует такое число δ>0, что для всех х, удовлетворяющих условию \(\vert x–a\vert<\delta\), выполняется неравенство \(\vert f(x)–f(a)\vert<\varepsilon\).

Если функция y=f(x) непрерывна в каждой точке некоторого промежутка, то её называют непрерывной на данном промежутке.

Также можно дать определение непрерывности справа или слева от точки.

То есть, \(f(x_0+0)\equiv\lim_{x\rightarrow x_0+0}f(x)=f(x_0)\) или \(f(x_0-0)\equiv\lim_{x\rightarrow x_0-0}f(x)=f(x_0)\).

Вычисление пределов

Рассмотрим примеры вычисления пределов.

Простейшие пределы

Для начала обратимся к простейшему пределу, который был рассмотрен в самом начале: \(\lim_{x\rightarrow1}\frac{3x^2-2x-5}{x+3}\)

В данном случае можно попробовать просто подставить единицу (так как предел стремится к единице) в выражение. Тогда:

\(\lim_{x\rightarrow1}\frac{3x^2-2x-5}{x+3}=-1\)

Да, это работает только с простейшими пределами, которые, на самом деле, на практике встречаются не редко, так что попробовать просто подставить икс в выражение — одно из возможных решений.

Теперь попробуем сделать то же самое с пределом, который стремится к бесконечности.

Икс стремится к бесконечности \((x\rightarrow\infty)\) означает, что икс неограниченно возрастает (например, х=10, х=100, х=1000, х=10000 и так далее).

Рассмотрим предел \(\lim_{x\rightarrow\infty}(1-x)\) и подставим в функцию (1-x) бесконечность. Получается, что функция стремится к минус бесконечности. В данном случае метод «подстановки» тоже работает.

Итак, когда мы видим простейший предел, сначала нужно попробовать подставить в функцию «х».

Выражения для самостоятельного решения:

\(\lim_{x\rightarrow3}\frac{x^2+7}2 ; \lim_{x\rightarrow\infty}(x^4+8x+10) ; \lim_{x\rightarrow0}\frac1{x^2}\)

Пределы с неопределенностью вида \(\frac\infty\infty\)

Неопределенность вида \(\frac\infty\infty\) появляется, когда мы пытаемся подставить «х» в предел стремящийся к бесконечности и имеющий дробную функцию:

\(\lim_{x\rightarrow\infty}\frac{2x^2-3x-5}{1+x+3x^2}\)

Кажется, что \(\frac\infty\infty=\infty\), однако это не так. Чтобы получить верный ответ, нужно провести некоторые вычисления. Их и рассмотрим далее.

Для начала находим и в числителе, и в знаменателе старшую степень икса, а затем выбираем наибольшую из них. В данном случае старшие степени числителя и знаменателя равны, однако это частный случай.

Теперь мы должны и числитель, и знаменатель разделить на х в старшей степени:

\(\lim_{x\rightarrow\infty}\frac{2x^2-3x-5}{1+x+3x^2}=\{\frac\infty\infty\}=\lim_{x\rightarrow\infty}\frac{{\displaystyle\frac{2x^2}{x^2}}-{\displaystyle\frac{3x}{x^2}}-{\displaystyle\frac5{x^2}}}{{\displaystyle\frac1{x^2}}+{\displaystyle\frac x{x^2}}+{\displaystyle\frac{3x^2}{x^2}}}=\lim_{x\rightarrow\infty}\frac{\displaystyle2-\frac3{x^{}}-\frac5{x^2}}{\displaystyle\frac1{x^2}+\frac1{x^{}}+3}\)

Затем анализируем дроби с иксом, мысленно подставляя вместо х бесконечность. Получается, что все эти дроби стремятся к нулю, соответственно, их можно принять за ноль. Значит:

\(\lim_{x\rightarrow\infty}\frac{\displaystyle2-\frac3{x^{}}-\frac5{x^2}}{\displaystyle\frac1{x^2}+\frac1{x^{}}+3}=\frac23\)

Рассмотрим еще 2 примера, чтобы в этом убедиться.

1. \(\lim_{x\rightarrow\infty}\frac{\displaystyle7x^3+15x^2+9x+1}{\displaystyle5x^4+6x^2-3x-4}\)

Поделив числитель и знаменатель на \(x^4\) и подставив бесконечность в получившиеся дроби (для закрепления материала лучше высчитать это самостоятельно), получаем:

\(\lim_{x\rightarrow\infty}\frac{0+0+0+0}{5+0-0-0}=\frac05=0\)

2. Проведем аналогичные вычисления над \(\lim_{x\rightarrow\infty}\frac{\displaystyle2x^2-3x-5}{\displaystyle x+1}.\) В итоге мы получаем \(\frac20\), однако нужно понимать, что делим мы не на ноль, а на бесконечно малое число, соответственно, ответом будет бесконечность.

Пределы с неопределенностью вида \(\frac00\)

Сразу же возникает логичный вопрос: почему мы делим на ноль, если каждый школьник знает, что на ноль делить нельзя? Если обратиться к определению предела, все встанет на свои места: дело в том, что мы работаем не с самим нулем, а с бесконечно малыми числами и функциями, однако для удобства записываем «0».

Решение пределов данного вида похоже на ранее рассмотренное решение пределов с неопределенностью вида \(\frac\infty\infty\). Различие лишь в том, что икс теперь стремится к конкретному конечному числу. 

Рассмотрим конкретные примеры и научимся решать подобные пределы.

1) \(\lim_{x\rightarrow-1}\frac{5x^2-2x-7}{x+1}\)

Как мы уже знаем, сначала нужно попробовать подставить -1 в выражение:

\(\lim_{x\rightarrow-1}\frac{5x^2-2x-7}{x+1}=\lim_{x\rightarrow-1}\frac{5{(-1)}^2-2(-1)-7}{(-1)+1}=\frac00\)

Отсюда мы и получаем неопределенность вида \(\frac00\).

Теперь запомним правило:

Почти всегда для этого необходимо решить квадратное уравнение и/или использовать ФСУ (формулы сокращенного умножения).

В знаменателе мы имеем x+1, это уже простейшая функция, так что знаменатель мы не трогаем.

Применяя стандартные операции для решения квадратного уравнения, раскладываем числитель и получаем (x+1)(5x-7).

Итак, \(\lim_{x\rightarrow-1}\frac{(x+1)(5x-7)}{x+1}.\)

Очевидно, что (х+1) в числителе и знаменателе можно сократить.

Получаем:

\(\lim_{x\rightarrow-1}5x-7=5(-1)-7=-12\)

Очень важно при разложении на множители замечать формулы сокращенного умножения! Они могут быть видны не сразу, а после проведения одного или нескольких шагов, например, вынесения числа за скобку.

2) Теперь рассмотрим предел все с той же неопределенностью вида \(\frac00\), но в функции которого появляются коренные выражения.

\(\lim_{x\rightarrow3}\frac{\sqrt{x+6}-\sqrt{10x-21}}{5x-15}\)

И снова, не придумывая ничего нового, сначала подставляем 3 в выражение, чтобы, собственно, и получить ту самую неопределенность \(\frac00\).

\(\lim_{x\rightarrow3}\frac{\sqrt{x+6}-\sqrt{10x-21}}{5x-15}=\frac{\sqrt9-\sqrt9}{15-15}=\frac00\)

Теперь, для того, чтобы упростить выражение, нужно избавиться от корней. Вообще, в математике стараются избавляться от иррациональности в любом случае, когда это возможно, — так гораздо проще жить.

А избавимся от иррациональности мы с помощью метода умножения числителя и знаменателя на сопряженное выражение. Этот метод работает не только при разности корней, но и при вычитании какого-либо числа из корня.

Что же это за метод? А основан он на всей известной формуле разности квадратов:

\(a^2–b^2\;=(a\;–\;b)(a\;+\;b)\)

В числителе уже есть один из множителей \(\sqrt{x+6}-\sqrt{10x-21}\), соответственно, сопряженный множитель, на который мы умножаем и числитель, и знаменатель, это \(\sqrt{x+6}+\sqrt{10x-21}\).

Получаем:

\(\lim_{x\rightarrow3}\frac{\sqrt{x+6}-\sqrt{10x-21}}{5x-15}=\lim_{x\rightarrow3}\frac{(\sqrt{x+6}-\sqrt{10x-21})(\sqrt{x+6}+\sqrt{10x-21})}{(5x-15)(\sqrt{x+6}+\sqrt{10x-21})} \)

Теперь, учитывая формулу в числителе дроби, проводим ряд преобразований и получаем:

\(\lim_{x\rightarrow3}\frac{(\sqrt{x+6}-\sqrt{10x-21})(\sqrt{x+6}+\sqrt{10x-21})}{(5x-15)(\sqrt{x+6}+\sqrt{10x-21})}=\lim_{x\rightarrow3}\frac{27-9x}{(5x-15)(\sqrt{x+6}+\sqrt{10x-21})}\)

Да, избавившись от иррациональности в числителе, мы обрели ее в знаменателе, однако оперировать суммой корней, которую мы получили, гораздо легче. И, вообще, можно сразу подставить в корни тройку и вынести полученное число за знак предела, как упоминалось об это ранее.

\(\lim_{x\rightarrow3}\frac{27-9x}{(5x-15)(\sqrt{x+6}+\sqrt{10x-21})}=\frac16\lim_{x\rightarrow3}\frac{27-9x}{5x-15} \)

А теперь просто раскладываем дробь на множители и получаем конечный ответ:

\(\frac16\lim_{x\rightarrow3}\frac{27-9x}{5x-15}=\frac16\lim_{x\rightarrow3}\frac{9(3-x)}{5(x-3)}=\frac16\lim_{x\rightarrow3}\frac{-9(x-3)}{5(x-3)}=\frac16\underset{x\rightarrow3}{\lim-}\frac95=-\frac3{10}\)

Примеры для самостоятельного решения:

\(\lim_{x\rightarrow3}\frac{x^2+x-2}{\sqrt{x+6}-2}, \lim_{x\rightarrow3}\;\;\frac{\;\sqrt{7-x}-2}{4-\sqrt{13+x}}\)

Мы рассмотрели основное понятие пределов функции и последовательности и разобрали классические варианты решения пределов.

Если же быстро разобраться в этой сложной теме не получается, а сдача важной работы не за горами, вы всегда можете обратиться к авторам ФениксХелп, которые помогут с решением.

В современном мире обработка файлов играет важную роль как в работе, так и в обучении. Одним из самых популярных вспомогательных в этом деле сервисов является Google Документы. Приводим подробные инструкции, как с ним работать.

Что такое Google Документы

Гугл Документы (англ. «Google docs») — бесплатный онлайн-сервис для работы с различными видами документов: с текстовыми файлами, таблицами, презентациями и т.д. Все файлы пользователя при этом хранятся на сервере компании разработчиков Google.

Плюсы и минусы работы в Google Документах

Как и у любого другого сервиса, у Гугл Докс есть преимущества и недостатки. Рассмотрим их подробнее:

Плюсы:

• сервис абсолютно бесплатный для работы в личных целях;
• пользователь может зайти в свой аккаунт с любого устройства и продолжить с него работу;
• к одному и тому же файлу могут получить доступ несколько человек, что делает возможной командную работу;
• сервис имеет функцию автосохранения, поэтому данные не теряются;
• есть функция внутреннего поиска;
• есть возможность добавить больше функций с помощью официальных дополнений.

Минусы:

• при желании иметь повышенный уровень защиты и дополнительные возможности для командной работы придется приобрести подписку на бизнес-версию G Suite Essentials, стоимость которой — 10$/мес.;
• программа веб-ориентированная, это значит, что доступ к своим файлам пользователь может получить только при наличии интернет-соединения (если они не были скачаны на устройство);
• при потере доступа к аккаунту (например, блокировка) теряется доступ ко всем его документам;
• функциональность меньше, чем у аналогичных программ Microsoft Office, которыми все привыкли пользоваться.

Как войти

Чтобы начать пользоваться Google Docs, достаточно пройти регистрацию и сделать вход в аккаунт Google, зайти на официальный сайт в раздел Google Документы и выбрать нужный вам план: для личных целей (вы сможете сразу приступить к работе) или для бизнеса (для начала необходимо внести плату).

Как открыть документ

Если уже есть созданные вами файлы в аккаунте или те, к которым есть доступ, открыть их довольно просто: они все отображаются в окне выбора файлов:

Также возможно найти последние файлы, с которыми вы работали недавно — в разделе недавних документов:

Кроме того, вы можете воспользоваться функцией поиска документов по названию:

Как создать документ

Есть два варианта создания файла: первый — использовать готовые шаблоны, сделанные под разные форматы. Найти их можно на главной странице:

Второй вариант — создать пустой файл, перейдя по ссылке или нажав на соответствующий раздел:

Выглядеть он будет так:

Как работать с текстом

Работа с текстом в Google Docs не требует особых усилий, достаточно лишь знать основы редактирования, а удобный интерфейс и возможность найти нужную информацию в разделе «Справка» облегчит задачу.

Панель инструментов

Панель расположена в верхней части экрана, а при наведении курсором на любую из иконок на ней отображается короткое описание функции. Помимо этого, почти у каждой из них есть свои горячие клавиши — сочетание клавиш, активирующие функцию.

Рассмотрим каждую функцию отдельно:

1. Функция отмотки действия назад (Ctrl+Z) или вперед (Ctrl+Y):

2. Печать (Ctrl+P):

3. Проверка грамматики и орфографии (Ctr+Alt+X):

4. Копирование форматирования:

5. Изменение масштаба в процентах:

6. Стили текста:

7. Выбор шрифта:

8. Размер шрифта:

9. Пять функций, позволяющие настроить вид текста: сделать его полужирным (Ctrl+B), курсивом (Ctrl+I), подчеркнутым (Ctrl+U), выбрать цвет текста и цвет фона текста:

10. Вставка ссылки (Ctrl+K):

11. Добавление комментария (Сtrl+Alt+M):

12. Вставка изображения:

13. Настройка выравнивания: по левому краю (Ctrl+Shift+L), по центру (Ctrl+Shift+E), по правому краю (Ctrl+Shift+R), по ширине (Ctrl+Shift+J):

14. Настройка межстрочного интервала:

15. Нумерованные (Ctrl+Shift+7) и маркированные (Ctrl+Shift+8) списки:

16. Уменьшение (Ctrl+[) и увеличение (Ctrl+]) отступа:

17. Очистка форматирования (Ctrl+\):

18. Способы ввода (Ctrl+Shift+K):

Изображения

Раздел вставки используется для работы с изображениями, таблицами, рисунками и т.д.:

Изображение можно загрузить с устройства или виртуальных дисков, также можно вставить его ссылкой.

Списки

При работе со списками используется тот же принцип, что и во всех текстовых редакторах: активация с помощью соответствующих иконок; автоматическое продолжение списка при одиночном нажатии клавиши «Enter».

Таблицы

Их можно найти в том же разделе вставки:

Пользователь вручную выбирает размер таблицы, максимальный — 20 столбцов на 20 строк.

Диаграммы

Находятся там же:

Допустимо четыре вида диаграмм, каждую из которых можно настроить, используя необходимые пользователю данные, а также есть возможность загрузить диаграмму из другого сервиса — Гугл Таблицы (Sheets):

Рисунки

Расположение — уже знакомая нам «вставка». Есть два варианта создания рисунка — создать новый или загрузить с диска.

Формулы

Функция позволяет использовать различные математические символы и конструкции:

Она задействует буквы греческого алфавита, математические символы, знаки отношений и стрелки.

Номер страницы

Этот раздел позволяет настроить номера страниц, их расположение и начальное значение.

Колонтитулы

Как и у многих других функций, у колонтитулов есть горячие клавиши как для верхних (Ctrl+Alt+О+H), так и для нижних (Ctrl+Alt+O+F).

Сноски

При клике на «Сноску» или при использовании горячих клавиш (Ctrl+Alt+F) автоматически оформляется подстрочная сноска:

Оглавление

Гугл Документы позволяют создавать иерархию с помощью стилей текста, это делит текст на главы и подглавы. Название каждой из них отображается слева от рабочего поля. Кроме того, они кликабельны, то есть при клике на них можно перемещаться по файлу.

Как вставить документ в Google Документ

Единственным вариантом вставки документа в Google Docs является гиперссылка, то есть вам нужно оформить в тексте активную ссылку на уже существующий внешний файл.

Как сделать Google Документ с общим доступом

В верхнем правом углу находится раздел «Настройки Доступа»:

В нем можно определить, каким пользователям или группам можно просматривать или редактировать ваш файл, а также скопировать ссылку на него.

Как сохранить 

В сервисе работает автосохранение, то есть, никаких дополнительных действий, чтобы сохранить текст, не требуется.

Как сохранить документ на компьютер

В разделе «Файл» в правом верхнем углу есть пункт «Скачать», где можно выбрать нужный формат и сохранить файл в любое место на устройстве.

Надеемся, что данная статья поможет вам в пользовании Гугл Документами. А в написании научных и учебных работ поддержат авторы Феникс.Хелп. Более 16 000 специалистов уже сейчас готовы связаться с вами!