Уравнения встречаются повсеместно. С помощью формул и их систем рассчитывают разные величины и описывают физические процессы. С древних времен сферы применения уравнений только увеличиваются. К примеру, дифференциальные уравнения необходимы для освоения информатики, компьютерных технологий, физики.

Решение дифференциальных уравнений

Дифференциальные уравнения решают с помощью производных, которые являются пределами отношений приращения функций к приращению аргумента, при том, что приращение аргумента приближается к нулевому значению. Порядок таких уравнений соответствует наивысшему порядку производной, которая включена в уравнения. Степень определяется максимальной степенью, возведенной производной наивысшего порядка.

Такие множества записывают в следующем виде:

\(y = f(x;C)\)

где С представляет собой произвольную постоянную.

Общее решение дифференциального уравнения n-го порядка является некой функцией, которая зависит от аргумента x и n-го числа независимых произвольных постоянных.

Основные способы решения системы

При наличии навыков решения однородных уравнений второго порядка и неоднородных уравнений второго порядка, в состав которых включены постоянные коэффициенты, справиться с системами дифференциальных уравнений достаточно просто. Выделяют ключевые типы СДУ:

• линейные однородные;
• линейные неоднородные.

Решают системы дифференциальных уравнений несколькими методами:

• метод исключения, с помощью преобразования системы к одному дифференциальному уравнению;
• по средствам характеристического уравнения или способом Эйлера.

Линейные однородные системы дифференциальных уравнений

В качестве максимально простой однородной системы дифференциальных уравнений можно рассмотреть такую:

k, l, m, n являются числовыми коэффициентами, которые в большинстве случаев обладают ненулевыми значениями;

x(t), y(t) — функциональные значения, которые нужно найти; 

t — самостоятельная переменная;

\(x',\;y'\) — первичные производные находимых значений вышеупомянутых функций.

В качестве примера можно решить систему дифференциальных уравнений, называемую задачей Коши:

Начальные условия будут следующими:

х (0) = 3 

у (0) = 0

В данном случае целесообразно воспользоваться методом исключения. Способ состоит в том, чтобы преобразовать систему в одно дифференциальное уравнение.

В первую очередь следует функцию \(\ y(t)\) выразить с помощью функции \(\ x(t)\) и ее производной:

\( \ \frac{d x}{d t}=x^{\prime}(t)=-2 x+4 y \Rightarrow 4 y=x^{\prime}+2 x \Rightarrow y=\frac{x^{\prime}+2 x}{4}=\frac{x^{\prime}}{4}+\frac{x}{2}\)

Далее нужно определить производную функции \(\ y(t)\): 

\(\ y^{\prime}=\left(\frac{x^{\prime}}{4}+\frac{x}{2}\right)^{\prime}=\frac{x^{\prime \prime}}{4}+\frac{x^{\prime}}{2}\)

Выполним преобразования путем подстановки выражений функции \(\ y(t)\) и ее производной во второе уравнение заданной системы. Получим следующее уравнение:

\(\ \frac{x^{\prime \prime}}{4}+\frac{x^{\prime}}{2}=-x+3 \cdot\left(\frac{x^{\prime}}{4}+\frac{x}{2}\right)\)

Если раскрыть скобки и свести подобные, то получим:

\(\ \frac{x^{\prime \prime}}{4}+\frac{x^{\prime}}{2}=-x+\frac{3 x^{\prime}}{4}+\frac{3 x}{2} \Rightarrow \frac{x^{\prime \prime}}{4}-\frac{x^{\prime}}{4}-\frac{x}{2}=0\)

Затем следует умножить обе части на 4:

\(\ \frac{x^{\prime \prime}}{4}+\frac{x^{\prime}}{2}=-x+\frac{3 x^{\prime}}{4}+\frac{3 x}{2} \Rightarrow \frac{x^{\prime \prime}}{4}-\frac{x^{\prime}}{4}-\frac{x}{2}=0\)

Таким образом, получилось однородное дифференциальное уравнение второго порядка относительно неизвестной функции:

\(\ x^{\prime \prime}-x^{\prime}-2 x=0 \)

Требуется найти его решение. Можно записать соответствующее характеристическое уравнение такого вида 

\(\ x(t)\), корни которого \(\ k^{2}-k-2=0\)

В таком случае:

\(\ k_{1}=-1, \ k_{2}=2\)

Найти вторую неизвестную функцию:

\(\ x(t)=C_{1} e^{k_{1} t}+C_{2} e^{k_{2} t}=C_{1} e^{-t}+C_{2} e^{2 t} \)

Можно с помощью полученного выражения:

\(\ y(t): \ y=\frac{x^{\prime}}{4}+\frac{x}{2}\)

Таким образом, искомым решением системы является:

\(\ y(t)=\frac{1}{4}\left(C_{1} e^{-t}+C_{2} e^{2 t}\right)^{\prime}+\frac{1}{2}\left(C_{1} e^{-t}+C_{2} e^{2 t}\right)==\frac{1}{4}\left(-C_{1} e^{-t}+2 C_{2} e^{2 t}\right)+\frac{1}{2}\left(C_{1} e^{-t}+C_{2} e^{2 t}\right) =-\frac{C_{1} e^{-t}}{4}+\frac{C_{2} e^{2 t}}{2}+\frac{C_{1} e^{-t}}{2}+\frac{C_{2} e^{2 t}}{2}=\frac{C_{1} e^{-t}}{4}+C_{2} e^{2 t}\)

Для поиска частного решения рассматриваемой системы нужно подставить соответствующие значения в систему и определить константы:

Получим частное решение системы в виде:

Линейные неоднородные системы 

Данный тип уравнений, как правило, имеет вид:

где \(f(t)\), \(g(t)\) — заданные функции переменной \(t\), непрерывные на \(\left[a,b\right]\).

В качестве примера можно рассмотреть решение следующей системы дифференциальных уравнений:

Используем значения из первого уравнения системы:

\(y=\frac15(-\frac{\operatorname dx}{\operatorname dt}+2x+3)\\\)

Дифференцируем по t все составляющие:

\(\frac{\operatorname dy}{\operatorname dt}=\frac15\left(-\frac{\mathrm d^2x}{\mathrm dt^2}+2\frac{\operatorname dx}{\operatorname dt}\right)\\\)

Подставим \(y=\frac15\left(-\frac{\operatorname dx}{\operatorname dt}+2x+3\right)\\\) и \(\frac{\operatorname dy}{\operatorname dt}=\frac15\left(-\frac{\mathrm d^2x}{\mathrm dt^2}+2\frac{\operatorname dx}{\operatorname dt}\right)\\\).

Получим: 

\(\frac15\left(-\frac{\mathrm d^2x}{\mathrm dt^2}+2\frac{\operatorname dx}{\operatorname dt}\right)=5x-6\cdot\frac15\left(-\frac{\operatorname dx}{\operatorname dt}+2x+3\right)+1\\\)

Чтобы сократить дроби, нужно все части уравнения умножить на 5:

\(-\frac{\mathrm d^2x}{\mathrm dt^2}+2\frac{\operatorname dx}{\operatorname dt}=25x-6\cdot\left(-\frac{\operatorname dx}{\operatorname dt}+2x+3\right)+5\\\)

Далее упростим выражение:

\(-\frac{\mathrm d^2x}{\mathrm dt^2}+2\frac{\operatorname dx}{\operatorname dt}=25x+6\frac{\operatorname dx}{\operatorname dt}-12x-18+5\\\frac{\mathrm d^2x}{\mathrm dt^2}+4\frac{\operatorname dx}{\operatorname dt}+13x=13\\\)

В результате получилось линейное неоднородное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами. Следует найти общее решение уравнения:

\(\frac{\mathrm d^2x}{\mathrm dt^2}+4\frac{\operatorname dx}{\operatorname dt}+13x=0\\\)

Необходимо разобрать характеристическое уравнение:

\(\lambda^2+4\lambda+13=0\\D=16-52=-36\\\lambda_{1,2}=\frac{-4\pm6i}2\\\lambda_{1,2}=-2\pm3i \)

Таким образом, найдены сопряженные комплексные корни. В результате:

\(X=e^{-2t}\left(C_1\cos\left(3t\right)+C_2\sin\left(3t\right)\right)\)

Неоднородное уравнение:

\(\widetilde x=A\)

Рассчитываем значение первой и второй производных:

\(\widetilde x'=0\\\widetilde x''=0\)

Подставляем \(\widetilde x,\;\widetilde x',\widetilde x''\) в левую часть неоднородного уравнения:

\(0+4\cdot0+13A=13\\13A=13\\A=1\\\)

Получаем: 

\(\widetilde x=1\)

Таким образом:

\(x(t)=X+\widetilde x=e^{-2t}\left(C_1\cos\left(3t\right)+C_2\sin\left(3t\right)\right)+1\)

Необходимо найти функцию \(y(t)\). Для этого нужно определить производную от уже найденной функции \(x(t)\):

\(x'(t)=\left(e^{-2t}\left(C_1\cos\left(3t\right)+C_2\sin\left(3t\right)+1\right)\right)'=\left(e^{-2t}\right)'\left(C_1\cos\left(3t\right)+C_2\sin\left(3t\right)\right)+e^{-2t}\left(C_1\cos\left(3t\right)+C_2\sin\left(3t\right)\right)'+0=\\=-2e^{-2t}\left(C_1\cos\left(3t\right)+C_2\sin\left(3t\right)\right)+e^{-2t}\left(-3C_1\sin\left(3t\right)+3C_2\cos\left(3t\right)\right)=e^{-2t}\left(-2C_1\cos\left(3t\right)-2C_2\sin\left(3t\right)-3C_1\sin\left(3t\right)+3C_2\cos\left(3t\right)\right)=\\=e^{-2t}\left(\left(-2C_1+3C_2\right)\cos\left(3t\right)+\left(-3C_1-2C_2\right)\sin\left(3t\right)\right)\)

Подставим \(x(t)=e^{-2t}\left(C_1\cos\left(3t\right)+C_2\sin\left(3t\right)\right)+1\) и \(x'(t)=e^{-2t}\left(\left(-2C_1+3C_2\right)\cos\left(3t\right)+\left(-3C_1-2C_2\right)\sin\left(3t\right)\right)\) в уравнение \(y=\frac15\left(-\frac{\operatorname dx}{\operatorname dt}+2x+3\right)\)

Получим:

\(y=\frac15\left(-e^{-2t}\left(\left(-2C_1+3C_2\right)\cos\left(3t\right)+\left(-3C_1-2C_2\right)\sin\left(3t\right)\right)+2\left(e^{-2t}\left(C_1\cos\left(3t\right)+C_2\sin\left(3t\right)\right)+1\right)+3\right)=\\=\frac15\left(e^{-2t}\left(\left(2C_1-3C_2\right)\cos\left(3t\right)+\left(3C_1+2C_2\right)\sin\left(3t\right)\right)+e^{-2t}\left(2C_1\cos\left(3t\right)+2C_2\sin\left(3t\right)\right)+2+3\right)=\\=\frac15\left(e^{-2t}\left(\left(2C_1-3C_2\right)\cos\left(3t\right)+\left(3C_1+2C_2\right)\sin\left(3t\right)+2C_1\cos\left(3t\right)+2C_2\sin\left(3t\right)\right)+5\right)=\\=\frac15\left(e^{-2t}\left(\left(2C_1-3C_2+2C_1\right)\cos\left(3t\right)+\left(3C_1+2C_2+2C_2\right)\sin\left(3t\right)\right)+5\right)=\\=e^{-2t}\left(\left(\frac{4C_1-3C_2}5\right)\cos\left(3t\right)+\left(\frac{3C_1+4C_2}5\right)\sin\left(3t\right)\right)+1\)

Общее решение системы будет иметь вид:

Приступаем к поиску частного решения, исходя из условий задачи:

Можно записать окончательный ответ:

Метод характеристического уравнения (метод Эйлера)

Данный способ применяется крайне редко. Целесообразно рассмотреть алгоритм метода Эйлера или характеристического уравнения на конкретном примере. Пусть дана линейная однородная система дифференциальных уравнений:

Следует записать матрицу, которая будет включать коэффициенты при неизвестных функциях в правых частях уравнений системы:

\(\ A=\left(\begin{array}{ll}{-1} & {-5} \\ {-7} & {-3}\end{array}\right)\)

Далее необходимо рассчитать собственные значения записанной матрицы с помощью характеристического уравнения и его корней:

\(\ |A-\lambda E|=0 \Rightarrow\left|\left(\begin{array}{cc}{-1} & {-5} \\ {-7} & {-3}\end{array}\right)-\lambda \cdot\left(\begin{array}{cc}{1} & {0} \\ {0} & {1}\end{array}\right)\right|\)

\(\left|\begin{array}{cc}{-1-\lambda} & {-5} \\ {-7} & {-3-\lambda}\end{array}\right|\)

\((-1-\lambda)(-3-\lambda)-(-7) \cdot(-5)\)

\(\lambda^{2}+4 \lambda-32=0\)

\({\lambda_{1}=-8}\)

\({\lambda_{2}=4}\)

Далее нужно определить собственные векторы, соответствующие полученным собственным значениям.

Если \(\ \lambda_{1}=-8\), то в этом случае определить координаты собственного вектора можно с помощью системы, кторая эквивалентна уравнению 

\(\ 7 x_{1}-5 x_{2}=0 \Rightarrow x_{1}=\frac{5 x_{2}}{7} \)

При \(\ x_{2}=7\) получаем, что \(\ x_{1}=5\). Тогда первый собственный вектор \(\ \overline{x}_{1}=(5 ; 7).\)

\(\ \lambda_{2}=4\)

\(\Rightarrow\left(A-\lambda_{2} E\right) \overline{x}_{2}=\overline{0}\)

\(\Rightarrow x_{1}+x_{2}=0, \Rightarrow x_{1}=-x_{2}\)

Для \(\ x_{2}=1\) получаем второй собственный вектор \(\ \overline{x}_{2}=(-1 ; 1).\)

Тогда общее решение исконной системы дифференциальных уравнений 

\(C_{1} e^{\lambda_{1} t} \overline{x}_{1}+C_{2} e^{\lambda_{2} t} \overline{x}_{2}\)

\(C_{1} \cdot e^{-8 t} \cdot\left(\begin{array}{c}{5} \\ {7}\end{array}\right)+C_{2} \cdot e^{4 t} \cdot\left(\begin{array}{c}{-1} \\ {1}\end{array}\right)\)

\(\left(\begin{array}{c}{5 C_{1} e^{-8 t}} \\ {7 C_{1} e^{-8 t}}\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}{-C_{2} e^{4 t}} \\ {C_{2} e^{4 t}}\end{array}\right)\)

\(\left(\begin{array}{c}{5 C_{1} e^{-8 t}-C_{2} e^{4 t}} \\ {7 C_{1} e^{-8 t}+C_{2} e^{4 t}}\end{array}\right) \)

Можно записать окончательный ответ:

С системами дифференциальных уравнений работать гораздо проще, если освоить основные приемы решений. В том случае, когда по данной теме или любой другой возникают какие-либо сложности, всегда можно обратиться за помощью к сервису Феникс.Хелп.

Человек регулярно сталкивается с разными видами движения. Перемещение тела по окружности позволяет понять многие физические процессы. На основе закономерностей такого явления работают разнообразные механизмы. Рассчитать характеристики движения по окружности достаточно просто, если знать и уметь применять несколько основных формул.

Движение тела по окружности — какими законами описывается

Тело может двигаться по окружности двумя способами:

• равномерно;
• неравномерно.

Равномерное движение тела характеризуется постоянной угловой скоростью. Для описания такого перемещения применяют следующие формулы:

• угловая скорость: \(\omega =\frac{2\pi }{T}\)
• скорость движения: \(V =\frac{2\pi R}{T}=\omega R\)
• угол поворота: \(\phi =2\pi \frac{t}{T}=\omega t\)
• ускорение: \(\frac{2\pi v}{T}=\omega ^{2}R\)

Неравномерное движение возможно при переменной угловой скорости тела. В данном случае применимы формулы:

• тангенциальное ускорение: \(a_{t}=\frac{dv}{dt}\)
• центростремительное ускорение: \(a_{n}=\frac{v^{2}}{R}=\omega ^{2}R\)

В представленных уравнениях используются такие параметры, как:

• Т — период вращения;
• t — время;
• ω — угловая скорость;
• R — радиус;
• a_t — тангенциальное ускорение;
• a_n — центростремительное или полное ускорение.

При отсутствии специальных оговорок, в процессе решения задач движение тела по окружности принимают за равномерное. Для расчета пройденного пути используют формулу:

\(S=\frac{v}{t}\)

где:

• S является расстоянием, которое преодолело тело;
• v представляет собой скорость движения тела;
• t определяет время движения.

Таким образом, справедливы выражения:

\(v=\frac{S}{t}\)

\(t =\frac{v}{S}\)

Величины, которые применяют для решения задач, характеризуются положительными значениями:

S > 0, v > 0, t > 0

Секретом заданий на движение тела по окружности является то, что обгоняющий будет преодолевать на 1 круг больше при первом обгоне. Данное расстояние считается на n кругов больше, если первый объект обогнал другого в n-ый раз.

Задачи на движение по окружности от простых до сложных

Задачи на движение тела по окружности отличаются по степени сложности. Можно рассмотреть примеры простых заданий.

Задача 1

Длина круговой трассы составляет 8 километров. Из ее точки в один момент времени в одинаковом направлении выехали два автомобиля. Первый автомобиль развил скорость 114 км/ч и, спустя 20 минут после начала движения, обогнал второй автомобиль на один круг. Требуется определить скорость, с которой двигался второй автомобиль. Ответ необходимо представить в км/ч.

Решение

Известно, что старт произошел одновременно для обоих автомобилей. Через 20 минут после начала движения первое транспортное средство опережало второе на один круг. Таким образом, в течение 20 минут или 1/3 часа первый автомобиль преодолел на 1 круг больше, то есть на 8 км больше. За час первый автомобиль проехал на 8*3=24 км больше, чем второй. Скорость второго транспортного средства на 24 км/ч меньше по сравнению с первым, и равна 114-24=90 км/ч.

Ответ: второй автомобиль двигался со скоростью 90 км/ч.

Задача 2

Из пункта А круговой трассы выехал велосипедист, а спустя полчаса стартовал мотоциклист. Через 10 минут после начала пути водитель мотоцикла догнал велосипедиста в первый раз. Спустя еще 30 минут мотоциклист догнал велосипедиста повторно. Требуется определить, какова скорость мотоциклиста, в том случае, когда длина трассы составляет 30 км. Ответ необходимо представить в км/ч.

Решение

В первую очередь требуется перевести минуты в часы. Скорости мотоциклиста и велосипедиста можно обозначить х и у. В первый раз водитель мотоцикла обогнал велосипедиста, спустя 10 минут или 1/6 часа после начала движения. До этого момента велосипедист находился в движении 40 минут или 2/3 часа.

Можно упростить запись условий задачи:

велосипедист: v = х, t = 2/3, S = 2/3*х;

мотоциклист: v = у, t = 1/6, S = 1/6*у.

Велосипедист и мотоциклист преодолели одинаковый путь:

\(\frac{1}{6}y=\frac{2}{3}x\)

Спустя 30 минут или 1/2 часа после первого обгона мотоциклист выполнил второй обгон велосипедиста.

Таким образом:

велосипедист: v = х, t = 1/2, S = 1/2*х;

мотоциклист: v = у, t = 1/2, S = 1/2*у.

Требуется определить расстояния, которые преодолели гонщики. Мотоциклист обогнал велосипедиста, то есть проехал больше на один круг. Это является ключевым моментом в данной задаче. Один круг составляет 30 километров. Второе уравнение будет иметь вид:

\(\frac{1}{2}y-\frac{1}{2}x=30\)

Далее необходимо решить полученную систему:

у = 4х

у – х = 60

Таким образом, х = 20, у = 80.

Ответ: скорость мотоциклиста равна 80 км/ч.

Бывают задания на движение тела по окружности с повышенной степенью сложности. Как правило, подобные примеры при невозможности проведения экспериментов требуют сложных вычислений.

Задача 3

На часах со стрелками время 8 часов 00 минут. Требуется определить, через сколько минут минутная стрелка в четвертый раз догонит часовую стрелку.

Решение

Спустя один час минутная стрелка преодолевает один круг, а часовая проходит лишь 1/12 циферблата. Допустим, что скорости равны 1 круг в час и 1/12 круга в час соответственно. Начало движения приходится на 8.00. Необходимо определить время, в течение которого минутной стрелке в первый раз удастся догнать часовую.

Минутная стрелка преодолеет на 2/3 круга больше. Исходя из этого, можно записать уравнение:

\(1*t-\frac{1}{12}t=\frac{2}{3}\)

Таким образом, спустя 8/11 часа стрелки совпадут. Предположим, что через время z стрелки совпадут повторно. Минутная стрелка преодолеет расстояние 1*z, а часовая 1/12*z. При этом минутной стрелкой будет пройдено на один круг больше. Можно записать уравнение:

\(1*z-\frac{1}{12}z=1\)

Решение данного уравнения будет таким:

\(z=\frac{12}{11}\)

Таким образом, через 12/11 часа стрелки совпадут повторно. Спустя еще 12/11 часа они встретятся вновь и так далее. Поэтому при старте в 8.00 в четвертый раз минутная стрелка догонит часовую через:

\(\frac{8}{11}+3\frac{12}{11}\) часа

Ответ: минутная и часовая стрелки совпадут в четвертый раз через \(\frac{8}{11}+3\frac{12}{11}\)часа.

Нередко при решении задач на движение по окружности требуется рассчитать среднюю скорость тела. Важно, что данная величина не совпадает со средним арифметическим скоростей. Средняя скорость определяется с помощью формулы:

\(v=\frac{S_{0}}{t_{0}}\)

где v является средней скоростью;

S₀ представляет собой общий путь;

t₀ определяет общее время.

При наличии двух участков пути средняя скорость рассчитывается по формуле:

\(v=\frac{S_{1}+S_{2}}{t_{1}+t_{2}}\)

Наиболее сложными задачами считаются примеры с пятизначными дискриминантами. Рассмотрим алгоритм действий в таком случае.

Задача 4

Пара гонщиков участвует в соревновании. Путь, который требуется преодолеть, равен 60 кругам кольцевой трассы в 3 км. После одновременного старта первый гонщик пересек финиш раньше, чем второй на 10 минут. Требуется рассчитать среднюю скорость второго гонщика. Известно, что впервые первый участник обогнал второго на круг, спустя 15 минут после начала движения. Ответ требуется записать в км/ч.

Решение

Первый участник гонки, находясь в движении 15 минут, догнал второго гонщика на первом круге. Таким образом, в течение 15 минут он преодолел на 1 круг или на 3 км больше, чем второй. За час первый гонщик проехал 3*4=12 километров больше. При этом скорость его движения на 12 км/ч превышает скорость второго гонщика. 10 минут соответствует ¼ часа. Можно записать уравнение:

\(\frac{180}{x}-\frac{180}{x+12}=\frac{1}{6}\)

Далее необходимо преобразовать выражение к квадратному уравнению:

\(x^{2}+12x-12960=0\)

Таким образом, получен пятизначный дискриминант. Есть более простой вариант решения задачи. Можно записать уравнение:

\(\frac{180}{x}-\frac{180}{x+12}=\frac{1}{6}\)

В нем 180 можно поделить на 12. Заменим х=12z:

\(\frac{180}{12z}-\frac{180}{12z+12}=\frac{1}{6}\)

\(\frac{15}{z}-\frac{15}{z+1}=\frac{1}{6}\)

\(\frac{90}{z}-\frac{90}{z+1}=1\)

Данное равенство можно преобразить в квадратное уравнение. Целый положительный корень такого выражения z=9. Тогда получим:

\(х=12z=108\)

Ответ: средняя скорость второго гонщика равна 108 км/ч.

Нахождение линейной скорости при движении по окружности

Любая точка, находящаяся на окружности, перемещается с некоторой скоростью. Данная величина называется линейной скоростью. Вектор линейной скорости всегда совпадает по направлению с касательной к окружности. К примеру, стружка из точильного станка движется, повторяя направление мгновенной скорости.

Можно рассмотреть какую-то точку на окружности, совершившую один оборот. При этом было затрачено время равное периоду Т. Расстояние или путь, пройденный точкой, представляет собой длину рассматриваемой окружности.

Задачи на тему равномерное движение по окружности

Задача 1

Радиус выпуклого моста равен 90 м. Требуется определить скорость, с которой автомобиль должен пройти его середину, чтобы пассажир на мгновение ощутил невесомость.

Решение

Согласно условиям задачи:

R = 90 м

N = 0

Сила реакции опоры обладает нулевым значением, так как пассажир в состоянии невесомости не оказывает давление на сиденье автомобиля.

Решение задачи необходимо представить в системе отсчета, которая связана с Землей. Человек совершает движение вместе с автомобилем. Ускорение при этом направлено вниз. На пассажира действует сила притяжения Земли, которая будет центростремительной:

\(mg=m\frac{v^{2}}{R}\)

Таким образом:

\(v=\sqrt{\frac{Rmg}{m}}=\sqrt{Rg}=\sqrt{90*10}=30\) м/с

Ответ: скорость автомобиля составляет 30 м/с.

Задача 2

Масса девочки 40 кг. Она качается на качелях, длина подвеса которых составляет 4 м. Требуется определить силу, с которой девочка давит на сиденье при прохождении среднего положения со скоростью 5 м/с.

Решение

На девочку действует сила тяжести \(m\vec{g}\) и сила реакции опоры \(\vec{N}\).

Качели находятся под действием силы давления  \(\vec{F_{g}}\), которая направлена вниз. Согласно третьему закону Ньютона, данная сила соответствует взятой со знаком минус силе реакции опоры:

\(\vec{F_{g}}=-\vec{N}\)

Таким образом, решением задачи является определение силы реакции опоры. Исходя из закона динамики:

\(m\vec{g}+\vec{N}= m\vec{a}\)

В проекции на ось Х:

\(N-mg=m\frac{v^{2}}{R}\)

Из чего следует вывод:

\(F_{g}=\left|N \right|=m(g+\frac{v^{2}}{R})\)

\(F_{g}=40(10+\frac{5^{2}}{4})=650\) Н

Ответ: сила равна 650 Н.

Задача 3

Шарик привязали с помощью нити к подвесу. Он описывает в горизонтальной плоскости окружность, совершая движение с постоянной скоростью. Нить обладает длиной 0,6 м и составляет с вертикалью угол в 60 градусов. Необходимо рассчитать, какова скорость шарика.

Решение

Сумма сил \(m\vec{g}\) и натяжения \(\vec{F_{n}}\), исходя из правила параллелограмма, соответствует результирующей силе, направленной в центр вращения \(\sum_{i}^{}{\vec{F}_{i}}\):

\(\sum_{i}^{}{\vec{F}_{i}}= m\vec{g}+\vec{F_{n}}= m\vec{a}\)

Силы в сумме определяются из прямоугольного треугольника с углом α равным 60 градусам. Исходя из того, что \(\vec{F_{n}}\) является противолежащим катетом, получим:

\(\vec{F_{n}}=mg*tg α\)

Таким образом:

\(mg*tg α= m\vec{a}= m\frac{v^{2}}{R}\)

\(v^{2}=\frac{mg*\tan \alpha *R}{m}=gR*\tan \alpha\)

R включен в прямоугольный треугольник, в котором длина нити представляет собой гипотенузу. R является катетом, противолежащий углу α в 60 градусов.

\(R=l*\sin \alpha\)

Преобразив формулу квадрата скорости шарика с помощью подстановки выражения для радиуса, получим:

\(v^{2}=gl*\sin \alpha *\tan \alpha \)

\(v=\sqrt{gl*\sin \alpha *\tan \alpha }=\sqrt{10*0.6*\frac{\sqrt{3}}{2}*\sqrt{3}}=3\) м/с

Ответ: скорость шарика составляет 3 м/с.

Задача 4

Необходимо определить максимальную скорость мотоцикла по горизонтальной плоскости, который описывает при этом дугу окружности с радиусом 100 м. Коэффициент трения резины о плоскость составляет 0,4.

Решение

Во время поворота мотоцикл наклоняется к центру поворота. На транспортное средство оказывают действие:

• сила тяжести \(m\vec{g}\);
• сила реакции опоры \(\vec{N}\);
• сила трения \(\vec{F_{tr}}\);
• сила тяги \(\vec{F_{t}}\);
• сила сопротивления \(\vec{F_{c}}\).

Данные силы в сумме составляют:

\(m\vec{g}+\vec{N}+\vec{F_{tr}}+\vec{F_{t}}+\vec{F_{c}}= m\vec{a}\)

Согласно выражениям:

\(m\vec{g}+\vec{N}=0\)

\(\vec{F_{t}}+\vec{F_{c}}=0\)

Получим:

\(\vec{F_{tr}}= m\vec{a}\)

Сила трения составляет:

\(F_{tr}= \mu mg\)

Таким образом:

\(\mu mg=ma= m\frac{v^{2}}{R}\)

\(v=\sqrt{\frac{\mu mgR}{m}}=\sqrt{\mu gR}=\sqrt{0.4*10*100}=20\) м/с

Ответ: максимальная скорость равна 20 м/с.

Задачи разной сложности по теме движения тела по кружности часто встречаются не только в школьной программе, но и во время обучения в вузе. Знание основных закономерностей позволит быстро найти решение примера любой сложности. Если в процессе расчетов возникают трудности, всегда можно обратиться за помощью к сервису Феникс.Хелп.

Разработка большинства модификаций оптического оборудования основана на законах распространения света. В некоторых закономерностях учитывается двойственная природа света, а в других – нет. Геометрическая оптика – это наука, в которой рассматриваются особенности распространения света, не имеющие общих связей с его природой. Данная дисциплина представляет собой наиболее древнюю часть оптики, как области научных знаний.

Геометрическая оптика — что изучает предмет

Разработка большинства модификаций оптического оборудования основана на законах распространения света. В некоторых закономерностях учитывается двойственная природа света, а в других – нет. Геометрическая оптика – это наука, в которой рассматриваются особенности распространения света, не имеющие общих связей с его природой. Данная дисциплина представляет собой наиболее древнюю часть оптики, как области научных знаний.

Одним из ключевых терминов в оптике, включая направление геометрической оптики, является понятие луча.

Световой луч представляет собой пучок света с толщиной, которая намного меньше, чем расстояние его распространения. Подобное определение можно сравнить с объяснением материальной точки, характерным для кинематики.

Важные закономерности геометрической оптики известны с давних времен. В 430 г. до н.э. Платон вывел закон прямого распространения света. Трактаты Евклида содержат формулировку закона прямолинейного распространения света, а также закон равенства углов падения и отражения. Аристотель и Птолемей проводили исследования в области преломления света. Однако перечисленные научные труды не содержали точные формулировки законов геометрической оптики.

Геометрическая оптика представляет собой предельный случай волновой оптики, в котором длина световой волны приближается к нулевым значениям. Наиболее простые оптические явления такие, как тень и формирование изображений в оптических приборах, рассматривают в рамках геометрической оптики. Основой формального построения научны знаний являются четыре закона, справедливость которых была обоснована опытным путем:

• закон прямолинейного распространения света;
• закон независимости световых лучей;
• закон отражения;
• закон преломления света.

Анализ этих закономерностей выполнен Х. Гюйгенсом с помощью простого и наглядного метода, который в дальнейшем получил название принцип Гюйгенса.

Принцип Гюйгенса: любая точка, до которой доходит световое возбуждение, является, в свою очередь, центром вторичных волн; поверхность, огибающая в некоторый момент времени эти вторичные волны, указывает положение к этому моменту фронта действительно распространяющейся волны.

Основные законы геометрической оптики

Исходя из собственных исследований, Гюйгенс представил объяснение прямолинейности распространения света. Ученый сформулировал закономерности для отражения и преломления света.

Закон прямолинейного распространения света

Данное утверждение является первым законом геометрической оптики. Закон о прямолинейном распространении света гласит, что в условиях однородной прозрачной среды свет распространяется прямолинейно. Согласно теореме Ферма, распространение света происходит в том направлении, время распространения по которому будет минимально.

Доказательством того, что свет в оптически однородной среде распространяется прямолинейно, является тень с резкими границами, которую отбрасывают непрозрачные предметы во время освещения их источниками с небольшими габаритами. Подробные экспериментальные опыты установили нарушение этого закона в случае прохождения света через отверстия очень малого диаметра. При этом степень отклонения от прямолинейности распространения возрастает при уменьшении отверстия.

Тень, которую отбрасывает предмет, объясняется прямолинейностью распространения световых лучей в условиях оптически однородной среды. В качестве астрономической иллюстрации данного явления формирования тени и полутени служит затенение одних планет другими. К примеру, затмение Луны можно наблюдать, когда она находится в области тени, отбрасываемой Землей. По причине взаимного перемещения нашей планеты и ее спутника тень от Земли движется по Луне, и лунное затмение можно наблюдать через несколько частных фаз.

Закон отражения света

Во втором законе геометрической оптики рассматриваются законы отражения света. Основные положения закономерности:

• отраженный, падающий лучи и перпендикуляр, установленный на границе раздела двух сред, находятся в одной плоскости;
• углы падения и отражения равны.

∟α = ∟β

Закон независимости световых пучков заключается в том, что эффект, который производит отдельный пучок, не зависит от одновременного действия остальных пучков или их отсутствия. Если световые пучки разбить на отдельные компоненты, к примеру, используя диафрагму, можно продемонстрировать независимое действие выделенных световых пучков.

Закон отражения можно схематично представить на рисунке.

Вывести закон отражения можно с помощью принципа Гюйгенса. Можно предположить, что плоская волна, то есть фронт волны АВ, распространяясь в вакуумной среде по направлению I со скоростью C, попадает на границу раздела двух сред.

В том случае, когда фронт волны АВ достигает отражающую поверхность в точке А, эта точка излучает вторичную волну. Для того чтобы волна прошла расстояние ВС, потребуется затратить время, вычисляемое по формуле:

Δt = BC/υ

За такой же промежуток времени фронт вторичной волны достигнет точек полусферы. Ее радиус AD можно определить с помощью формулы:

υΔt = ВС

Положение фронта, характерного для отраженной волны, в рассматриваемый момент времени, согласно принципу Гюйгенса, будет задано с помощью плоскости DC. Направление, в котором распространяется эта волна, определяется лучом II. Согласно равенству треугольников ABC и ADC , сформулирован закон отражения: угол падения α и угол отражения у равны друг другу.

Закон преломления света

Согласно третьему закону геометрической оптики объясняется характер преломления света. Закономерность заключается в следующем:

• преломленный, падающий лучи и перпендикуляр, который восстановлен в точке падения, лежат в одной плоскости;
• отношение синуса угла падения к синусу угла преломления является величиной, которая постоянна для данных двух сред и представляет собой показатель преломления(n).

Показатели интенсивности, которыми обладают отраженный и преломленный лучи, определяются средой и границей раздела.

\(\frac{\sin \alpha }{\sin \gamma }=n\)

Физический смыл показателя преломления можно записать с помощью уравнения:

\(n=\frac{V_{I}}{V_{II}}\)

Показатель преломления представляет собой относительную величину. Это связано с особенностью измерений, которые выполняются относительно двух сред.

В том случае, когда одна из сред является вакуумом, применим принцип Ферма:

\(n=\frac{c}{V}\)

где с является скоростью света в вакууме;

n представляет собой абсолютный показатель преломления, который характеризует среду относительно вакуума.

В том случае, когда наблюдается переход света из среды, которая отличается меньшей оптической плотностью, в более плотную среду, скорость света будет снижаться. Оптически более плотной средой называют среду, характеризующуюся меньшей скоростью света. Оптически менее плотная среда представляет собой среду с большей скоростью света.

Применение явления полного отражения на практике

В геометрической оптике используют понятие предельного угла преломления. Данный термин обозначает наибольший угол падения луча, при котором наблюдают преломление в процессе перехода луча в среду с меньшей плотностью.

Если углы падения больше, чем предельный угол, то можно рассматривать полное внутреннее отражение.

\(\sin \alpha =\frac{1}{n}\)

Границы применимости геометрической оптики состоят в необходимости учеты размеров, которыми характеризуются препятствия для света. Параметром света является длина волны, которая составляет примерно \(10^{-9}\) метра. В том случае, когда габариты препятствия превышают длину волны, используют размеры геометрической оптики. Явление полного отражения света применяют для конструирования призмы полного отражения.

Величина преломления стекла составляет n>1.5. Исходя из этого, предельный угол для границы стекло – воздух составляет:

\(\alpha =arc\sin (1/1.5)=42^{0}\)

Если свет падает на границу стекло – воздух при угле α больше 42 градусов, можно наблюдать полное отражение. На рисунке изображены призмы полного отражения, благодаря которым можно выполнить следующие действия:

• поворот луча на 90 градусов;
• поворот изображения;
• оборот лучей.

Призмы полного отражения применяют при конструировании оптического оборудования, например, биноклей и перископов. Также данное изобретение используют при сборке рефрактометров, предназначенных для определения показателей преломления тел. Принцип действия устройства таков: согласно закону преломления, измеряют угол α, определяют относительный показатель преломления двух сред, а также абсолютную величину преломления одной из сред при известной величине преломления второй среды.

Полное отражение используют в производстве светодиодов. Световые элементы являются тонкими, произвольно изогнутые волокна, изготовленные из оптически прозрачного материала.

В волоконных устройствах используют стеклянные нити со световедущей жилой или сердцевиной, окруженной стеклом или оболочкой из другого стекла, характеризующейся меньшей величиной преломления. Свет, который падает на торец световода под углом, превышающим предельный, подвергается на поверхности раздела сердцевины и оболочки полному отражению и распространяется только вдоль световедущей жилы.

Световоды являются неотъемлемым компонентом при изготовлении телеграфно-телефонных кабелей с большой емкостью. Конструкция включает сотни и тысячи тонких волокон, диаметр которых сравним с толщиной человеческого волоса. Провода служат для передачи до восьмидесяти тысяч телефонных разговоров одновременно. Также световоды активно применяют в производстве электронно-лучевых трубок, электронно-счетных машин, для кодирования данных, в медицинской отрасли в сфере интегральной оптики.

Законы геометрической оптики послужили основой для великих изобретений, которые применяются по сей день. Закономерности данной области научных знаний являются неотъемлемой частью образовательных программ многих современных вузов. Если в процессе освоения дисциплин возникают сложности, то студенты всегда могут обратиться за помощью к ресурсу Феникс.Хелп.

Формулы Дж. Максвелла являются основой теоретического описания электромагнитных явлений, которое предложил ученый. С помощью выявленных закономерностей объясняют эмпирические факты, известные в тот период времени, и предсказываются некоторые эффекты. Основным выводом, который выражает теория Максвелла, является положение, подтверждающее наличие волн электромагнитного характера, распространяющихся со скоростью света.

Уравнения Максвелла

С помощью обозначения формул Максвелла обобщают основные закономерности электрических и электромагнитных явлений. Как основа теоретического исследования электромагнитного поля, данная система формул направлена на решение задач на поиск электрических и магнитных полей, образованных путем заданного распределения электрических зарядов и токов. Уравнения Максвелла послужили основой для развития теории относительности Эйнштейна. Благодаря объяснению теории Максвелла, удалось раскрыть электромагнитную природу света.

Самостоятельно Максвеллом было выведено 20 формул, в которых использовалось 20 неизвестных, записанных в дифференциальном виде. В дальнейшем уравнения были преобразованы. Данные исследования получили негативные оценки критиков, которые являлись современниками Максвелла. Причиной является существенное отличие предложенных формул от ранее известных определений.

Несмотря на скептическое отношение в то время, сегодня уравнения Максвелла воспринимаются, как правильные и справедливые не только для привычного макромира, но и областей квантовой механики. Благодаря данному исследованию, произошел настоящий переворот восприятия людьми научной картины мира. Уравнения предвосхитили обнаружение радиоволн и продемонстрировали смысл электромагнитной природы света.

Границы применимости уравнений Максвелла

При необходимости исследований с учетом движения среды, формулы Максвелла не изменяют, а движение учитывают при составлении материальных уравнений. В данных отношениях наблюдается зависимость от характеристики скорости сред, что усложняет формулы в системе СИ. При этом материальные уравнения более не являются соотношениями между парами величин. К примеру, наблюдается зависимость плотности тока проводимости от индукции магнитного поля, наряду с напряженностью электрического поля. Для системы уравнения Максвелла характерны следующие ограничения:

• неподвижность материальных тел в поле;
• зависимость постоянных ε, μ, σ от координат, но не от времени и векторов поля;
• отсутствие в поле постоянных магнитов и ферромагнетиков.

Первое уравнение Максвелла

Описание данного уравнения тесно связано с понятием дивергенции. Данное явление называют дифференциальным оператором, с помощью которого определяют поток конкретного поля сквозь какую-то поверхность. Уместно сравнить данную систему с краном или трубой. К примеру, при большом диаметре крана и напора в трубе увеличивается поток жидкости через поверхность в виде крана. Современная форма первого уравнения Максвелла имеет следующий вид:

\(div\vec{E}=\frac{\rho }{\varepsilon _{0}}\)

В данном уравнении Максвелла Е является векторным электрическим полем, зависящим от суммарного заряда, который заключен внутри замкнутой поверхности. Данное уравнение является законом Гаусса.

Второе уравнение Максвелла

Данная формула, выведенная ученым, представляет собой закон Фарадея. На основе данных закономерностей функционируют электрические двигатели. В конструкции моторов ток в катушке возникает, благодаря вращающимся магнитам. Второе уравнение Максвелла имеет следующий вид:

\(rot\vec{E}=\frac{d\vec{B}}{dt}\)

Ротор электрического поля в виде интеграла через замкнутую поверхность выражается скоростью, с которой изменяется магнитный поток, пронизывающий эту поверхность. Наглядным примером такого явления может служить вода в ванной, сливаемая через отверстие. Вокруг слива будет образована воронка. Ротор в этом случае будет являться суммой или интегралом векторов скоростей молекул воды, вращающихся вокруг сливного отверстия.

Третье уравнение Максвелла

Представленная ученым формула является законом Гаусса. Следует отметить, что третье уравнение Максвелла справедливо не для электрического поля, а для магнитного. Формулировка имеет следующий вид:

\(div\vec{B}=0\)

Данное соотношение демонстрирует нулевое значение потока магнитного поля через замкнутую поверхность. Электрические заряды с положительным или отрицательным значением существуют отдельно друг от друга и приводят к образованию электрического поля в окружающей среде. Магнитные заряды в природе отсутствуют.

Четвертое уравнение Максвелла

Данная формула считается наиболее важной из всех приведенных ранее. Согласно четвертому уравнению, Максвелл определил что такое ток смещения. Равенство записывают таким образом:

\(rot\vec{B}=\frac{j}{\varepsilon _{0}c^{2}}+\frac{1}{c^{2}}\frac{dE}{dt}\)

Данные уравнения носят название теоремы о циркуляции вектора магнитной индукции. Согласно этому утверждению, вихревое магнитное поле образовано электрическим током и изменением электрического поля.

Следствия из уравнений Максвелла

Все формулы объясняют определенные явления. Суть каждого из них заключается в следующем:

• первое уравнение – электрическое поля образовано электрическим зарядом;
• второе уравнение – вихревое электрическое поле является результатом изменений магнитного поля;
• третье уравнение – отсутствие в природе магнитных зарядов;
• четвертое уравнение – вихревое магнитное поле сформировано электрическим током и изменением электрической индукции.

Уравнения Максвелла полностью соотносятся с принципами специальной теории относительности. Формулы необходимы для микроскопического описания вещества в условиях классического электромагнитного поля и заряженных частиц, подчиняющихся принципам квантовой механики. Более последовательное объединение полевого подхода с принципами квантовой механики осуществляют по средствам методов квантовой теории поля в квантовой электродинамике.

Подобные дисциплины изучают студенты современных профильных вузов. Данные области научных знаний достаточно сложны для восприятия. Поэтому при возникновении трудностей в образовательном процессе можно обратиться к ресурсу Феникс.Хелп.

Одно из самых значимых понятий в математике — интеграл. Термин часто можно встретить при решении задач по математике и физике. С помощью интеграла существенно упрощается поиск площади под кривой, пройденного пути объекта, движущегося неравномерно, массы неоднородного тела, функции по производной.

Что такое интеграл — понятие и определение

Интеграл является эффективным инструментом для решения задач из математического анализа. Слово «интеграл» происходит от латинского «integer», то есть «целый». Впервые это понятие ввел Иоганн Бернулли.

Разобраться в определении интеграла можно, если рассмотреть понятный график функции:

Исходя из графика, можно сделать вывод, что интегралом является сумма малых частей, которые составляют в целом рассматриваемый объект. Компоненты складываются в какую-то геометрическую фигуру. При сложении этих частей можно определить, какова ее площадь. Таким образом, пояснение для интеграла заключается в следующем: интеграл является площадью какой-то фигуры, расположенной под линией функции.

Данное понятие относится к определенному интегралу. Он определен на отрезке между точками а и b. В верхней части в качестве ограничения выступает некоторый график функции, как представлено на рисунке:

Математическая запись интеграла:

\(\int_{a}^{b}{f(x)dx}\)

где f(x) является той самой функцией, график которой ограничивает фигуру в верхней части;

a и b представляют собой пределы;

x соответствует направлению, вдоль которого построены столбцы на графике.

Процесс интегрирования является обратным дифференцированию. В том случае, когда требуется определить минимальный промежуток заданной функции, целесообразно взять от нее производную. Это объясняется тем, что производная или дифференциал являются быстрым методом поиска части чего-либо. Можно наглядно определить с помощью рисунка, что минимальная фигура, которая является частью целого, при таком числе составляющих компонентов не повторяет форму кривой функции. Таким образом, требуется уменьшить габариты таких частей, чтобы они максимально точно совпадали с графиком. Площадь наименьшего компонента фигуры будет стремиться к нулевому значению. Точность повышается с уменьшением размеров рассматриваемой части. Площадь геометрической фигуры состоит из суммы таких частей, которые стремятся к нулю. Записать это можно с помощью уравнения:

\(P=\lim_{\Delta x_{i}\rightarrow 0}\sum{y_{i}\Delta x_{i}}\)

Подробно полученное выражение можно рассмотреть на графике:

Площадь малой части фигуры определяется так же, как площадь прямоугольника. Значение Y нужно помножить на значение ΔХ. Так как фигура представляет собой совокупность малых частей, то их требуется сложить. Следует учитывать, что каждый компонент фигуры ΔХ стремится к нулевому значению. Поэтому формула, которая представлена выше, включает это условие и позволяет определить результат максимально точно.

Если обозначить количество частей ΔХ, стремящихся к бесконечности, то можно определить, что существует предел интегральной суммы, которая состоит из таких компонентов, стремящихся к нулю и к бесконечности по числу таких частей. Таким образом, правая граница фигуры, изображенной на графике, является пределом. В этом выражается геометрический смысл определенного интеграла.

Физический смысл интеграла состоит в том, что это сумма бесконечно малых величин на бесконечно большом интервале. Исходя из этого, можно определить любую величину, которая изменяется, согласно функции. К примеру, рассчитать общий путь по закону изменения скорости. Необходимость в интеграле возникла, когда потребовалось рассчитать площади каких-либо фигур и объем любых тел, выбранных произвольно.

В том случае, когда расчеты подразумевают наличие постоянной характеристики, к примеру, скорости, найти путь можно с помощью произведения этой постоянной скорости и времени. Этот же момент можно проверить при вычислении интеграла от такой функции и записи уравнения прямой. Но скорость в процессе движения может меняться. Данное изменение можно представить в виде зависимости. Тогда следует вписать граничные условия, например, в случае пути — это время, в интеграл скорости по времени. Полученное выражение будет равно площади трапеции, которая расположена под функцией скорости, что является физическим смыслом определенного интеграла.

Свойства, которыми обладает определенный интеграл:

1. Когда функции f и g интегрируются на интервале [a, b], то для любых чисел \(\alpha\) и \(\beta (\alpha \in R,\ \beta \in R)\) функция \(\varphi(x) = \alpha f(x) + \beta g(x)\) также интегрируема на отрезке [a, b]. Справедливо равенство: \(\int\limits_a^b (\alpha f(x) + \beta g(x)) dx = \alpha \int\limits_a^b f(x) dx + \beta \int\limits_a^b g(x) dx.\label{ref1}\)
2. Если функции f и g интегрируемы на отрезке [a, b], то функция \(\varphi(x) = f(x)g(x)\) также интегрируема на этом отрезке.
3. В том случае, когда функция f(x) интегрируема на отрезке \(\Delta = [a, b]\) она интегрируема на любом отрезке \(\Delta_{1} \subset \Delta.\)
4. При функции f(x), интегрируемой на отрезке [a, b] и a < c  < b, будет работать формула: \(\int\limits_a^b f(x) dx = \int\limits_a^c f(x) dx + \int\limits_c^b f(x) dx\)
5. При функции f, интегрируемой на отрезке [a, b] и если \(c_{1}, c_{2}, c_{3}\) являются любыми точками данного интервала, то \(\int\limits_{c_{1}}^{c_{3}} f(x) dx = \int\limits_{c_{1}}^{c_{2}} f(x) dx + \int\limits_{c_{2}}^{c_{3}} f(x) dx\)

Термин «неопределенный интеграл» применим в ситуациях, когда требует найти площадь криволинейной трапеции, путь в соответствии с известной скоростью тела, которое движется неравномерно, и для решения других подобных задач.

Свойства, которыми характеризуется неопределенный интеграл:

1. Константу можно выносить за знак интеграла: \(\int kf(x) dx = k\int f(x) dx\)
2. Интеграл разности или суммы функций соответствует разности или сумме интегралов от этих функций: \(\int ( f(x) \pm g(x) ) dx = \int f(x) dx \pm \int g(x) dx\)
3. Производная интеграла определяется как выражение, находящееся под знаком интеграла: \(\bigg (\int f(x) dx \bigg )' = f(x)\)
4. Интеграл от производной функции равен сумме этой функции и постоянной: \(\int F'(x) dx = F(x) + C\)
5. Интеграл дифференциала функции равен сумме этой функции и постоянной интегрирования: \(\int df(x) dx = f(x) + C\)

Таблица интегралов для студентов

Такие формулы позволяют упростить решение многих задач. Основные интегралы:

\(\int 0dx=C\)

\(\int dx=\int 1dx=x+C\)

\(\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1}+C\)

\(\int \frac{dx}{x}=\ln |x|+C\)

\(\int a^x dx = \frac{a^x}{\ln a} + C\)

\(int e^x dx = e^x + C\)

\(\int \sin x dx = -\cos x + C\)

\(\int \cos x dx = \sin x+C\)

\(\int \frac{dx}{\sin^2 x}=-ctgx + C\)

\(\int \frac{dx}{\cos^2 x}=tgx+C\)

\(\int \frac{dx}{\sqrt{a^2-x^2}}=\arcsin \frac{x}{a}+C\)

\(\int \frac{dx}{a^2+x^2}=\frac{1}{a}arctg\frac{x}{a}+C\)

\(\int \frac{dx}{a^2-x^2}=\frac{1}{2a} \ln|\frac{a+x}{a-x}|+C\)

\(\int \frac{dx}{\sqrt{x^2\pm a^2}}=\ln|x+\sqrt{x^2\pm a^2}|\)

Методы решения интегралов

Данные методики позволяют преобразовать сложные уравнения в простые формы, решения которых можно найти в таблице. Также к преобразованным выражениям можно применять свойства интегралов.

Непосредственное интегрирование

Данный метод целесообразно применять, когда в интеграле имеются табличные простейшие функции, либо функции, которые можно представит в таком виде по результатам элементарных действий. К примеру, когда требуется вынести константу за знак интеграла, разбить интеграл на слагаемые в виде интегралов, чтобы в подынтегральном выражении присутствовала готовая функция для интегрирования. Можно привести простой пример:

Необходимо определить интеграл непосредственным интегрированием:

\(\int \bigg ( x^3 + \frac{3}{2\sqrt{x}} + \frac{2}{x} \bigg ) dx\)

Исходя из свойства суммы интегралов, получим:

\(\int \bigg ( x^3 + \frac{3}{2\sqrt{x}} + \frac{2}{x} \bigg ) dx = \int x^3 dx + \int \frac{3 dx}{2\sqrt{x}} + \int \frac{2 dx}{x}\)

Первый интеграл записан в табличном виде. В таком случае можно воспользоваться непосредственным интегрированием:

\(\int x^3 dx = \frac{x^{3+1}}{3+1} = \frac{x^4}{4} + C\)

Второй интеграл обладает константой, которую допустимо вынести за знак. Затем интеграл будет преобразован в табличную форму:

\(\int \frac{3dx}{2\sqrt{x}} = 3 \int \frac{dx}{2\sqrt{x}} = 3 \sqrt{x} + C\)

В третьем интеграле можно вынести константу. Далее необходимо воспользоваться методом непосредственного интегрирования:

\(\int \frac{2dx}{x} = 2\int \frac{dx}{x} = 2 \ln x + C\)

Полученные выражения необходимо представить в виде одной записи:

\(\int \bigg ( x^3 + \frac{3}{2\sqrt{x}} + \frac{2}{x} \bigg ) dx = \frac{x^4}{4} + 3\sqrt{x} + 2\ln x + C\)

Ответ: \(\int \bigg ( x^3 + \frac{3}{2\sqrt{x}} + \frac{2}{x} \bigg ) dx = \frac{x^4}{4} + 3\sqrt{x} + 2\ln x+ C\)

Метод подведения под знак дифференциала

Решить некоторые типы интегралов можно с помощью этого способа. Он заключается в вынесении под знак интеграла. Таким образом получается интеграл табличной формы. Формула имеет следующий вид:

\(f'(x) dx = d( f(x) )\)

В том случае, когда подынтегральная функция содержит произведение пары функций, одна из которых представляет собой дифференциал другой, нужно внести под знак дифференциала нужную функцию. Данное действие можно записать таким образом:

\(\int f(\varphi(x)) \varphi'(x) dx = \int f(\varphi(x)) d(\varphi(x))=\int f(u) du\)

\(u=\varphi(x)\)

Воспользоваться способом подведения основных функций можно при знании таблицы производных и интегрирования. Из них следуют следующие уравнения:

\(dx = d(x+c) \)

\(c=const\)

\(-\sin x dx=d(\cos x)\)

\(dx=\frac{1}{a} d(ax)\)

\(\cos x dx = d(\sin x)\)

\(xdx=\frac{1}{2} d(x^2+a) \)

\(\frac{dx}{x} = d(\ln x)\)

\(-\frac{dx}{x^2}= d(\frac{1}{x})\)

\(\frac{dx}{\cos^2 x} = d(tg x)\)

\(\int f(kx+b)dx = \frac{1}{k} \int f(kx+b)d(kx+b) = \frac{1}{k} F(kx+b) + C\)

В качестве примера можно решить задачу на нахождение интеграла, обладающего таким видом:

\(\int \sin x \cos x dx\)

В этом случае допустимо заносить под знак дифференциала любую из указанных функций. Целесообразно занести \(cos x\) из-за удобства смены знаков. Применяя формулы, получим:

\(\int \sin x \cos xdx = \int \sin x d(\sin x) = \frac{1}{2} \sin^2 x + C\)

Ответ: \(\int \sin x \cos x dx = \frac{1}{2} \sin^2 x + C\)

Метод интегрирования по частям

Данная методика применима, когда требуется решить интегралы от произведения двух простейших функций. Одна из них достаточно просто дифференцируется, а вторая — интегрируется. В данном случае справедлива методика для неопределенных и определенных интегралов. Неопределенный интеграл характеризуется уравнением:

\(\int udv = uv - \int vdu\)

Определенный интеграл соответствует формуле:

\(\int \limits_{a}^{b} udv = uv \bigg |_{a}^{b} - \int \limits_{a}^{b} vdu\)

В качестве примера можно определить интеграл:

\(\int xe^xdx\)

Заметим, что в состав подынтегральной функции входит пара функций. Одна из них путем дифференцирования преобразуется в единицу, а вторая достаточно просто интегрируется. Поэтому в данном случае справедлив метод интегрирования по частям. Можно предположить, что:

\(u = x \rightarrow du=dx\)

\(dv = e^x dx \rightarrow v=e^x\)

Далее необходимо подставить полученные значения в первую формулу интегрирования:

\(\int xe^x dx = xe^x - \int e^x dx = xe^x - e^x + C\)

Ответ: \(\int xe^x dx = xe^x - e^x + C\)

Метод замены переменной или метод подстановки

Этот способ нахождения интегралов применим в задачах, где одна функция — это производная второй функции. Допустим, что интеграл записан так:

\(\int f(x) dx\)

Можно заменить \(x=\phi(t)\). При этом функция \(\phi(t)\) является дифференцируемой, поэтому можно найти \(dx = \phi'(t) dt.\)

Далее следует подставить \(\begin{vmatrix} x = \phi(t) \\ dx = \phi'(t) dt \end{vmatrix}\) в интеграл. Таким образом:

\(\int f(x) dx = \int f(\phi(t)) \cdot \phi'(t) dt\)

Полученное выражение является формулой замены переменной в неопределенном интеграле.

При условиях задачи, которая содержит интеграл \(\int f(\phi(x)) \cdot \phi'(x) dx\), целесообразно заменить переменную на новую:

\(t = \phi(x)\)

\(dt = \phi'(t) dt\)

Таким образом, интеграл преобразуется в форму, которую легко рассчитать с помощью основных методов интегрирования:

\(\int f(\phi(x)) \cdot \phi'(x) dx = \int f(t)dt\)

Следует помнить, что по итогам расчетов требуется вернуть замененную переменную назад к x.

Например, можно рассмотреть задачу, по условиям которой необходимо вычислить неопределенный интеграл с помощью замены переменной:

\(\int e^{3x} dx\)

Замена переменной будет выполнена следующим образом:

\(t = 3x\)

\(dt = 3dx\)

Таким образом:

\(\int e^{3x} dx = \int e^t \frac{dt}{3} = \frac{1}{3} \int e^t dt =\frac{1}{3} e^t + C = \frac{1}{3} e^{3x} + C\)

Ответ: \(\int e^{3x} dx = \frac{1}{3} e^{3x} + C\)

Примеры решения

Задача 1

Требуется рассчитать определенный интеграл:

\(\int_0^1 \frac{x}{x^4+1} dx\)

Решение

Требуется заменить \(t = x^2\)

Таким образом, \(dt = 2xdx\)

Далее необходимо пересчитать пределы интегрирования для переменной t. Для этого нужно подставить 0 и 1 в замену \(t = x^2\)

В данной задаче они остались прежними. После манипуляций с подстановками получим:

\(\int_0^1 \frac{x}{x^4+1}dx = \int_0^1 \frac{1}{2} \frac{dt}{t^2+1}\)

Можно найти интеграл по таблице:

\(\int_0^1 \frac{1}{2} \frac{dt}{t^2+1}=\frac{1}{2} arctg t \bigg |_0^1\)

Используя формулу Ньютона-Лейбница, запишем решение:

\(\frac{1}{2} arctg t \bigg |_0^1 =\frac{1}{2} arctg 1 - \frac{1}{2} arctg 0 = \frac{1}{2} \cdot \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{8}\)

Ответ: \(\int_0^1 \frac{x}{x^4+1} dx = \frac{\pi}{8}\)

Задача 2

Необходимо решить определенный интеграл:

\(\int_0^\pi (x+5)\sin x dx\)

Решение

Можно заметить произведение двух функций, которое находится под интегралом. В этом случае целесообразно воспользоваться методом интегрирования по частям:

\(\int udv = uv - \int vdu\)

\(\int_0^\pi (x+5) \sin x dx = \begin{vmatrix} u = x+5 & du = dx \\ dv = \sin x dx & v = -\cos x \end{vmatrix}\)

Нужно подставить в уравнение интегрирования по частям рассчитанные данные из вертикальных скобок:

\(-(x+5)\cos x \bigg |_0^\pi&nbsp;+ \int_0^\pi&nbsp;\cos x dx\)

С помощью формулы Ньютона-Лейбница для вычисления определенного интеграла запишем ответ:

\(-(x+5)\cos x \bigg |_0^\pi + \int_0^\pi \cos x dx = -(\pi+5) \cdot (-1) + 5 + \sin x \bigg |_0^\pi = \pi + 10 + \sin \pi - \sin 0 = \pi + 10\)

Ответ:  \(\int_0^\pi (x+5)\sin x dx = \pi + 10\)

Задача 3

Требуется найти определенны интеграл, записанный в виде:

\(\int_0^2 (x^3 + 2x + 2) dx\)

Решение

Используя способ разложения интеграла на простейшие, после получения промежуточного результата необходимо интегрировать каждый интеграл индивидуально:

\(\int_0^2 (x^3+2x+2) dx = \int_0^2 x^3dx + 2\int_0^2 xdx + 2\int_0^2 dx\)

В случае первых двух интегралов целесообразно воспользоваться правилом:

\(x^p = \frac{x^{p+1}}{p+1}\)

Третий интеграл содержит константу. Таким образом:

\(\int_0^2 x^3dx + 2\int_0^2 xdx + 2\int_0^2 dx = \frac{x^4}{4} \bigg |_0^2 + 2 \frac{x^2}{2} \bigg |_0^2 + 2x \bigg |_0^2 = \frac{x^4}{4} \bigg |_0^2 + x^2 \bigg |_0^2 + 2x \bigg |_0^2 \)

Далее следует подставить пределы интегрирования в каждую функцию и записать ответ:

\(\int_0^2 x^3dx + 2\int_0^2 xdx + 2\int_0^2 dx = \frac{x^4}{4} \bigg |_0^2 + 2 \frac{x^2}{2} \bigg |_0^2 + 2x \bigg |_0^2 = \frac{x^4}{4} \bigg |_0^2 + x^2 \bigg |_0^2 + 2x \bigg |_0^2 \)

Ответ: \(\int_0^2 (x^3 + 2x + 2) dx = 12\)

Задача 4

Необходимо найти решение интеграла:

\(\int 3\cos x dx\)

Решение

Требуется вынести константу по первому свойству за знак интеграла и записать ответ:

\(\int 3\cos x dx = 3 \int \cos x dx = 3 \sin x + C\)

Ответ: \(\int 3\cos x dx = 3 \sin x + C\)

Задача 5

Необходимо определить интеграл:

\(\int (e^x + \sin x) dx\)

Решение

Исходя из первого свойства неопределенного интеграла, интеграл суммы равен сумме интегралов:

\(\int (e^x + \sin x) dx = \int e^x dx + \int \sin x dx = e^x - \cos x\)

Ответ: \(\int (e^x + \sin x) dx = e^x - \cos x\)

Задача 6

Требуется определить производную от интеграла:

\( \int \ln x dx\)

Решение

Согласно третьему свойству неопределенного интеграла, производная неопределенного интеграла определяется, как подынтегральная функция:

\(\bigg (\int \ln x dx \bigg )' = \ln x\)

Ответ: \(\bigg (\int \ln x dx \bigg )' = \ln x\)

Задача 7

Требуется доказать следующее выражение:

\( \int (x^2+x)' = x^2+x+C\)

Решение

В первую очередь необходимо определить производную подынтегральной функции:

\( (x^2+x)' = (x^2)' + (x)' = 2x + 1\)

Исходя из первого и второго свойства неопределенного интеграла, получим ответ:

\(\int (2x+1) dx = \int 2x dx + \int 1 dx = 2 \int x dx + \int 1 dx =2 \cdot \frac{x^2}{2} + x + C = x^2 + x + C\)

Ответ: выражение доказано.

Благодаря теоретическим знаниям и практическим навыкам решения задач с интегралами, можно с легкостью осваивать самые сложные темы по физике и математическому анализу. Главное — уметь пользоваться таблицей с основными формулами и свойствами определенного и неопределенного интегралов. Если в процессе изучения материала возникают трудности, то в любое время можно открыть сервис Феникс.Хелп.