Современные молодые люди после школы не обязательно поступают в вуз. Многие абитуриенты выбирают колледжи и техникумы. Особой популярностью пользуются учебные заведения, предоставляющие среднее специальное образование по направлению строительства и дизайна.

Поступление в колледж строительства и дизайна

Современные техникумы предлагают образовательные услуги высокого качества, основанные на передовых программах. Основные виды колледжей по данному направлению:

• архитектурно-строительный;
• дорожно-строительный;
• строительно-монтажный;
• индустриально-строительный;
• строительно-политехнический.

Согласно названию образовательного заведения, можно определить категорию объектов, на которых будут реализовывать свои профессиональные навыки выпускники. К примеру, одни специалисты занимаются проектированием зданий и сооружений, другие – реализуют эти проекты, третьи – строят дороги и так далее. Наиболее востребованными профессиями считаются:

• архитектор;
• строитель жилых, коммерческих, производственных объектов;
• инженер;
• монтажник;
• маляр-штукатур;
• дорожный строитель;
• сантехник;
• мастер сухого строительства.

Сфера строительства активно развивается, список профессий регулярно пополняется новыми специальностями. В строительном техникуме можно получить профессиональную подготовку по направлениям, которые востребованы не только на отечественном рынке труда, но и на международном. Также популярностью пользуются рабочие специальности:

• мастер строительства и отделки, работа с электросварочным, монтажным и другими типами оборудования;
• крановщик, управляет автокраном для проведения строительно-монтажных и ремонтно-строительных работ;
• столяр-плотник, выполняет работы по дереву;
• кровельщик, реализует проекты строительства крыш, включая изоляционные и отделочные работы;
• бетонщик, специализируется на работах по бетону, включая изготовление панелей, лестниц, плит перекрытий;
• каменщик, возводит и ремонтирует конструкции из камня или кирпича;
• монтажник, устанавливает и демонтирует разнообразные конструкции;
• прораб, отвечает за производство и организацию строительных работ на вверенном ему участке;
• маляр-штукатур, специализируется на внутренней и внешней отделке зданий;
• электрогазосварщик, в зону ответственности входит резка и соединение металлических конструкций с помощью специального оборудования.

Ключевым критерием выбора профессии является ее востребованность на рынке труда и достойный уровень дохода. Колледжи строительства и дизайна предлагают широкий спектр специализаций, которые отвечают данным критериям. Актуальность получения профессионального образования в сфере строительства обоснована другими важными причинами:

1. Постоянный рост спроса и цен на недвижимость формирует потребность в высококвалифицированном персонале, что положительно влияет на оплату труда.
2. Доступность карьерного роста, масса возможностей для повышения квалификации.
3. Строительные специальности востребованы по всему миру.
4. Активное развитие отрасли, появление новых технологий и материалов, что позволяет представителям профессий реализовать себя после окончания техникума и развиваться в будущем.

Специалисты, окончившие строительные колледжи, достаточно быстро занимают престижные вакансии, повышают уровень профессионализма с опытом и становятся конкурентоспособными специалистами. Кроме того, после техникума можно получить высшее образование. Многие вузы страны сотрудничают с учебными заведениями, которые предлагают среднее специальное образование.

Какой колледж выбрать, рейтинг самых популярных в России

При выборе строительного колледжа следует обратить внимание на важные факторы. К значимым критериям оценки относят следующие характеристики учебного заведения:

• качество профессиональной подготовки, престижность учреждения;
• стоимость обучения, наличие бюджетных мест;
• проходной балл, льготы;
• форма обучения, включая заочную;
• удаленность от места жительства, наличие общежитий;
• варианты стажировки, профессиональная практика;
• сотрудничество с крупными предприятиями, предложения по трудоустройству.

Большой популярностью пользуются данные учебные заведения:

• Московский колледж архитектуры и градостроительства;
• Колледж архитектуры, дизайна и реинжиниринга № 26;
• Образовательный комплекс градостроительства «Столица»;
• Рязанский строительный колледж;
• Ставропольский строительный техникум;
• Новгородский строительный колледж;
• Краснодарский монтажный техникум;
• Уфимский автотранспортный колледж;
• Воронежский техникум строительных технологий;
• Ростовский-на-Дону автодорожный колледж.

Перечисленные учебные заведения предлагают высококлассное обучение по широкому спектру специальностей в области строительства и дизайна. Современные образовательные учреждения предлагают разные формы обучения на платной и бесплатной основе.

Как поступить на бюджет, требования

Обучение на бюджетном отделении позволит студенту существенно сэкономить финансовые затраты на получение средне специального образования. Наиболее статусные и престижные колледжи характеризуются высоким конкурсом. Большой проходной балл означает, что абитуриенту необходимо на отлично сдать вступительные экзамены. Количество бюджетных мест, как правило, сильно ограничено. К примеру, на 90 мест может быть определено всего 10-15 квот на бесплатное обучение. Предпочтение отдается следующим категориям абитуриентов:

• льготники;
• обладатели отличного аттестата;
• призеры олимпиад.

Если заранее позаботиться о поступлении, то шансы учиться бесплатно в колледже существенно повышаются. Например, следует зарабатывать дополнительные баллы, участвовать в конкурсных мероприятиях, посещать курсы дополнительной подготовки.

Абитуриентов зачисляют на бюджетное отделение по проходному баллу. В случае, когда таких претендентов больше, чем предусмотренных мест, образовательное учреждение прибегает к конкурсу аттестатов, точнее, анализирует средний балл аттестата и результаты экзаменов. Обладатели наилучшего суммарного балла занимают бюджетные места, остальные абитуриенты смогут пойти учиться на платной основе. В зависимости от колледжа, студенты могут рассчитывать не только на бесплатное образование, но и на получение стипендии. Выплата определяется успеваемостью учащегося и может быть снята, если оценки не удовлетворяют требованиям.

Какие предметы сдают после 9-11 класса на бюджетной основе

Перед поступлением в строительный техникум необходимо выбрать специальность. В зависимости от кафедры вступительные экзамены могут отличаться. Уточнить перечень предметов для аттестации можно на официальном сайте учебного заведения или в приемной комиссии. Наиболее распространены такие дисциплины, как:

• русский язык;
• математика.

Комиссия будет учитывать не только успешность сдачи вступительных экзаменов, но и средний балл по аттестату. В том случае, если абитуриент претендует на такие специальности, как дизайн или архитектура, то нужно будет пройти творческий конкурс. Будущим студентам колледжа предлагают выполнить рисунок или подготовить чертеж.

Поступить в строительный техникум можно как после девятого, так и по окончании одиннадцатого класса. В первом случае обычно предлагается больше бюджет мест.

Профессии в сфере строительства и дизайна актуальны сегодня и будут востребованы в будущем. Это обосновано ростом городов и увеличением численности населения. Строительные и сопутствующие работы связаны не только с возведением и отделкой зданий, но и касаются проектов инфраструктуры. Такая специализация не ограничивается работой на стройке, характеризуется большими перспективами карьерного роста и профессионального развития.

Получить востребованную специальность можно, окончив учебное заведение. А квалифицированную помощь в обучении — обратившись к сервису Феникс.Хелп.

Благодаря великим ученым было открыто множество эффективных теорем для работы со сложными математическими задачами. Один из таких примеров — метод Гаусса.

Метод Гаусса — что это такое

Метод Гаусса представляет собой методику эквивалентного преобразования исходной системы линейных уравнений в систему, решаемую существенно проще, чем исходный вариант.

Метод Гаусса используют для решения систем линейных алгебраических формул. Такой способ обладает рядом важных преимуществ:

1. Нет необходимости сравнивать уравнения для оценки совместимости.
2. Решение систем равенств, в которых число определителей совпадает или не совпадает с количеством неизвестных переменных.
3. Поиск решений для уравнений с нулевым определителем.
4. Сравнительно небольшое количество вычислительных операций для получения результата.

Основные определения и обозначения

Матрицы: определение и свойства

Такие системы являются наиболее удобным способом представления данных, с которыми впоследствии производят манипуляции. Матрица имеет вид прямоугольника для удобства расчетов. При использовании метода Гаусса работа осуществляется с треугольными матрицами, при записи которых применяется прямоугольник с нулями на тех местах, где числа отсутствуют. Часто нули не записывают, а только подразумевают.

Важным параметром матрицы является размер:

• ширина — это количество строк, обозначают буквой m;
• длину выражают числом столбцов, записывают буквой n.

Размер матрицы будет записан в формате А m*n. В случае, когда m=n, матрица является квадратной, а m=n служит ее порядком. Номера строк и столбцов изменяются.

Определитель

Матрица обладает крайне важной характеристикой. Таким параметром является определитель. Данную величину рассчитывают с помощью диагонали. Для этого в матрице необходимо провести воображаемые диагональные линии. Затем следует найти произведение элементов, которые располагаются на этих диагоналях, а полученные значения суммировать таким образом:

1. Если диагональ обладает наклоном в правую сторону, то знак «+».
2. Для диагоналей, наклоненных влево, знак «–».

Если необходимо определить данный параметр для прямоугольной матрицы, то следует выполнить следующие манипуляции:

• из числа строк и числа столбцов выбрать наименьшее и обозначить его k;
• отметить в матрице произвольным образом k столбцов и k строк.

Элементы, которые расположены на пересечении отмеченных столбцов и строк, образуют новую квадратную матрицу. В случае, когда определитель является числом, не равным нулю, то данный параметр будет обозначен как базисный минор первоначальной прямоугольной матрицы. Перед решением систем уравнений методом Гаусса полезно рассчитать определитель. Если данная характеристика равна нулю, то матрица имеет бесконечное множество решений либо не имеет их вовсе. В таком случае потребуется определить ранг матрицы.

Классификация систем

Ранг матрицы является распространенным понятием. Он обозначает максимальный порядок ее определителя, который не равен нулю. По-другому можно сказать, что ранг матрицы представляет собой порядок базисного минора. Исходя из данного критерия, СЛАУ классифицируют на несколько типов. В совместных системах, которые состоят лишь из коэффициентов, ранг основной матрицы совпадает с рангом расширенной. Для подобных систем характерно одно или множество решений. По этой причине совместные системы подразделяют на следующие типы:

• определенные, обладающие одним решением, в которых наблюдается равенство ранга матрицы и количество неизвестных;
• неопределенные;
• обладающие бесконечным числом решений с рангом матрицы, который меньше количества неизвестных.

В несовместных системах ранги, характеризующие основную и расширенную матрицы, отличаются. С помощью метода Гаусса в процессе решения можно прийти либо к однозначному доказательству несовместности системы, либо к решению общего вида для системы, обладающей бесконечным количеством решений.

Основные правила и разрешаемые преобразования при использовании метода Гаусса

Перед тем, как решать систему, необходимо ее упростить. На данном этапе выполняют элементарные преобразования, которые не влияют на конечный результат. Определенные манипуляции справедливы лишь в случае матриц, исходниками которых являются СЛАУ. Список элементарных преобразований:

1. Перестановка строк. При перемене записей в системе местами ее решение не меняется. Можно менять место строк в матрице, учитывая столбец со свободными членами.
2. Произведение всех элементов строк и некоторого коэффициента. Сокращаются большие числа в матрице, и исключаются нули. При этом множество решений сохраняется без изменений, а дальнейшие манипуляции существенно упрощаются. Важным условием является отличие от нуля коэффициента.
3. Удаление строк, которые содержат пропорциональные коэффициенты. Данное преобразование следует из предыдущего пункта. При условии, что две или более строк в матрице обладают пропорциональными коэффициентами, то при произведении или делении одной из строк на коэффициент пропорциональности получают две или более абсолютно одинаковые строки. В этом случае лишние строки исключают, оставляя только одну.
4. Удаление нулевой строки. Бывают случаи, когда в процессе манипуляций с уравнениями возникает строка, все элементы которой, в том числе свободный член, равны нулю. Нулевую строку допустимо исключать из матрицы.
5. Суммирование элементов одной строки с элементами другой, умноженными на некоторый коэффициент, в соответствующих столбцах. Данное преобразование имеет наиболее важное значение из всех перечисленных.

Особенности использования метода Гаусса для решения СЛАУ

На первом этапе система уравнений записывается в определенном виде. Пример выглядит следующим образом:

Коэффициенты необходимо представить в виде таблицы. С правой стороны в отдельном столбце записаны свободные члены. Данный блок отделен для удобства решения. Матрицу со столбцом со свободными членами называют расширенной.

Затем основная матрица с коэффициентами приводится к верхней треугольной форме. Данное действие является ключевым моментом при решении системы уравнений с помощью метода Гаусса. По итогам преобразований матрица должна приобрести такой вид, чтобы слева внизу находились одни нули:

При записи новой матрицы в виде системы уравнений можно отметить, что последняя строка уже содержит значение одного из корней, которое в дальнейшем подставляется в уравнение выше для нахождения следующего корня и так далее. Подобное описание позволяет разобраться в методе Гаусса в общих чертах.

Обратный и прямой ход метода Гаусса

В первом случае необходимо представить запись расширенной матрицы системы. При выполнении обратного метода Гаусса далее в главную матрицу добавляют столбец со свободными членами.

Суть такого способа заключается в выполнении элементарных преобразований, по итогам которых данная матрица приводится к ступенчатому или треугольному виду. В этом случае над или под главной диагональю матрицы располагаются только нули.

Варианты дальнейших действий:

• перемена строк матрицы местами, при наличии одинаковых или пропорциональных строк их можно исключить, кроме одной;
• деление либо умножение строки на любое число, не равное нулю;
• удаление нулевых строк;
• добавление строки, умноженной на число, не равное нулю, к другой строке.

Имея преобразованную систему с одной неизвестной Xn, которая становится известной, можно выполнить поиск в обратном порядке остальных неизвестных с помощью подстановки известных х в уравнения системы, вплоть до первого. Данный способ называют обратным методом Гаусса.

Примеры решений с объяснением

Пример 1

Требуется решить с помощью метода Гаусса систему линейных уравнений, которая выглядит следующим образом:

Решение

Необходимо записать расширенную матрицу:

Затем нужно выполнить преобразования. В результате матрица должна приобрести треугольный вид. Для этого следует умножить первую строку на (3) и умножить вторую строку на (-1). В результате суммирования второй и первой строк получается следующее:

Далее следует умножить третью строку на (-1). После добавления третьей строки ко второй получаем следующие преобразования:

После этого необходимо умножить первую строку на (6) и вторую строку на (13). Далее следует добавить вторую строку к первой:

После того, как система преобразована, остается вычислить неизвестные:

\(x_{3}=\frac{98}{49}=2\)

\(x_{2}=\frac{14-7x_{3}}{6}=\frac{14-7*2}{6}=0\)

\(x_{3}=\frac{-9+5x_{2}+6x_{3}}{3}=\frac{-9+5*0+6*2}{3}=1\)

Данный пример демонстрирует единственное решение системы.

Пример 2

Необходимо решить систему уравнений, которая выглядит следующим образом:

Решение

Необходимо составить матрицу:

Согласно методу Гаусса уравнение первой строки по итогам преобразований не меняется. Удобнее, когда левый верхний элемент матрицы обладает наименьшим значением. В таком случае первые элементы остальных строк после преобразований будут равны нулю. Таким образом, составленная матрица будет решаться проще, если на место первой строки поставить вторую:

вторая строка:

\(k = (-a_{21} /a_{11}) = (-3/1) = -3\)

\(a"_{21} = a_{21} + k×a_{11} = 3 + (-3)×1 = 0\)

\(a" _{22} = a_{22} + k×a _{12} = -1 + (-3)×2 = -7\)

\(a"_{ 23} = a_{23} + k×a_{13} = 1 + (-3)×4 = -11\)

b" 2 = b 2 + k×b 1 = 12 + (-3)×12 = -24

третья строка: 

\(k = (-a_{31} /a_{11}) = (-5/1) = -5\)

\(a"_{31} = a_{31} + k×a_{11} = 5 + (-5)×1 = 0\)

\(a"_{32} = a_{32} + k×a_{12} = 1 + (-5)×2 = -9\)

\( a"_{33} = a_{33} + k×a_{13} = 2 + (-5)×4 = -18\)

\( b"_3 = b_3 + k×b_1 = 3 + (-5)×12 = -57\)

Матрица с промежуточными результатами манипуляций будет иметь следующий вид:

Благодаря некоторым операциям можно придать матрице наиболее удобный вид. К примеру, вторую строку можно избавить от всех «минусов» путем умножения каждого элемента на «-1». Можно заметить, что для третьей строки характерны все элементы, кратные трем. В этом случае строка сокращается с помощью произведения каждого элемента на «-1/3». Минус позволит удалить отрицательные значения.

Далее следует приступить к манипуляциям со второй и третьей строками. Необходимо суммировать третью и вторую строки. Вторая строка при этом умножается на такой коэффициент, при котором элемент а 32 будет равен нулю.

\(k = (-a_{32} /a_{22}) = (-3/7) = -3/7\)

\(a"_{32} = a_{32} + k×a_{22} = 3 + (-3/7)×7 = 3 + (-3) = 0\)

\(a"_{33} = a_{33} + k×a_{23} = 6 + (-3/7)×11 = -9/7\)

\(b"_3 = b_3 + k×b_2 = 19 + (-3/7)×24 = -61/7\)

Преобразованная матрица будет иметь следующий вид:

 

Матрица обладает ступенчатым видом. Дальнейшие преобразования с помощью метода Гаусса нецелесообразны. В этом случае можно удалить из третьей строки общий коэффициент «-1/7».

Затем необходимо представить запись матрицы в виде системы уравнений для вычисления корней.

x + 2y + 4z = 12 (1)

7y + 11z = 24 (2)

Найти корни можно обратным методом Гаусса. Уравнение (3) содержит значение z:

y = (24 - 11×(61/9))/7 = -65/9

С помощью первого уравнения можно определить х:

x = (12 - 4z - 2y)/1 = 12 - 4×(61/9) - 2×(-65/9) = -6/9 = -2/3

Подобная система является совместной и определенной, для которого характерно единственное решение. Ответ будет следующим:

x 1 = -2/3, y = -65/9, z = 61/9.

Метод Гаусса предполагает последовательное исключение неизвестных. Методика справедлива в случае решения квадратных систем линейных алгебраических уравнений. Несмотря на простоту метода, многие студенты сталкиваются с некоторыми трудностями в процессе поиска правильного решения. Это связано с наличием знаков «+» и «-». Поэтому для решения СЛАУ требуется проявить внимательность. А получить квалифицированную помощь можно на ресурсе Феникс.Хелп.

Документальные сериалы нравятся зрителям по всему миру 2024. Этот жанр отличается увлекательным сюжетом и оперированием реальными фактами. Это не только интересное развлечение, но и полезный контент о мире, событиях и природе.

Сериалы про космос и устройство Вселенной

Людей всегда интересовал Космос. Еще с древних времен великие философы, мыслители и астрономы пытались постичь тайны Вселенной и изучали звезды. Сейчас современные технологии позволяют заглянуть все дальше за пределы нашей планеты. Открытия в пространстве и времени, строении Солнечной системы и планет, а также версии о формировании Космоса и зарождении жизни — все это можно узнать из документальных фильмов.

Сквозь червоточину с Морганом Фрименом/Through the Wormhole

Серия научно-популярных фильмов была запущена каналом Discovery в 2010 году. Каждый эпизод начинается с рассказа ведущего Моргана Фримана о каком-то эпизоде из его детства. Воспоминания перетекают в рассказ о загадках мироздания. В основе сюжета — гравитация, как главная сила во Вселенной. Благодаря фильму зрители узнают, как гравитация существует, какое влияние она оказывает на все окружающие нас тела. В процессе исследований публика раскрывает тайны Вселенной, знакомиться с теориями о будущем.

Во Вселенную со Стивеном Хокингом/Into the Universe with Stephen Hawking

Сериал стартовал в 2010 году. Его создателем является Стивен Хокинг, который присутствует в некоторых эпизодах. Главный рассказчик, Бенедикт Камбербэтч, повествует о наиболее интересных для обычного человека темах. В первом фильме зрителям предлагается узнать, какова вероятность жизни на других планетах, можем ли мы когда-нибудь встретиться с внеземными разумными существами. Вторая часть представлена в виде прогулки от начала времен до настоящего, в процессе которой можно предположить, что ждет человечество в будущем. В третьем фильме автор делится собственным мнением о многих важных вещах.

Космос: Пространство и время/Cosmos: A SpaceTime Odyssey

В 2014 году состоялся запуск сериала, который является своеобразным сиквелом к собранию фильмов о космосе, отснятых еще в 1980 году по сценарию Карла Сагана. Обновленная версия предлагает взглянуть с другой стороны на природу мироздания. С того времени было сделано множество открытий в области изучения Вселенной. Многие теории были подтверждены или опровергнуты. Зрителям предлагается совершить путешествие в Космос, получить полезные знания, которые доходчиво подают авторы. Особое наслаждение доставляют современные спецэффекты, используемые при создании фильма.

Космос: Персональное путешествие (Cosmos: A Personal Journey, 1980)

Научно-популярный сериал из серии документальных фильмов снят по сценарию Карла Сагана, Энн Друян и Стивена Сотера. Саган выступил в качестве ведущего. Всего было отснято тринадцать эпизодов, которые посвящены разнообразным темам: про происхождение жизни и о том, какое место человечество занимает во Вселенной. Дополнительно была опубликована книга «Космос». В 1989 году Turner Home Entertainment выкупили права на сериал. Некоторые эпизоды для показа на телевидении были сокращены. Фильмы сопровождались эпилогами, в которых Саган делился со зрителями актуальной информацией о совершенных научных открытиях.

Исторические сериалы

Большой популярностью пользуются фильмы, повествующие о жизни, людях, событиях, которые произошли когда-то в прошлом. Исторические документальные сериалы являются уникальной возможностью расширить кругозор. Благодаря научным исследованиям и передовым технологиям ученые воссоздают исторические эпохи с максимальной точностью. Каждому будет интересно узнать, как человечество развивалось на пути к прогрессу, какие личности и явления оказали на наш мир существенное влияние.

Тесла. Рассекреченные архивы/Tesla's Death Ray

В сентябре 2016 года Discovery Channel запустил серию фильмов о великом ученом Никола Тесле. В основу сериала легли материалы ФБР о смерти изобретателя. Расследование связано с версией гибели Теслы, согласно которой причиной стало убийство из-за работы ученого над оружием массового поражения. Команда, в которой состоят военный детектив, историк и инженер, решила пролить свет на столь загадочную историю. Ведущие изучают секретные файлы, общаются с потомками великого изобретателя и его соратниками, чтобы раскрыть тайну жизни и смерти Никола Теслы.

Цивилизации/Civilisations

Серия документальных фильмов написана и представлена историком искусства Кеннетом Кларком. Сериал включает тринадцать эпизодов. Широкой аудитории предлагается увлекательное путешествие в мир западного искусства, архитектуры и философии. Показ фильма был запущен в 1969 году компанией BBC. Беспрецедентное число зрителей по достоинству оценили увлекательный и яркий сюжет сериала. В дополнении была опубликована книга, которая с 1969 года никогда не снималась с печати.

Сериалы про мистику и паранормальные явления

Они пользуются большой популярностью у широкой аудитории. Уникальный жанр нельзя однозначно отнести к ужасам, научной фантастике или фэнтези. Загадочные, необъяснимые явления пробуждают в зрителях неподдельный интерес. Качественно отснятые и срежиссированные фильмы сочетают научные идеи с потусторонней мистикой, предлагая объяснения паранормальным событиям.

Исчезновения/Stardust Lost In The Andes

Сериал выпущен в 1995 году и посвящен историческим событиям, объяснить которые не удалось нескольким поколениям людей. В каждом эпизоде авторы повествуют о загадочных происшествиях, связанных с необъяснимым на первый взгляд исчезновением людей, исследовательских команд и экипажей судов. В некоторых эпизодах авторы стараются пролить свет на «белые» пятна в биографии известных личностей. Расследования подкреплены биографическими сведениями и историческими фактами. Наибольший интерес представляют уникальные документы и редкие записи.

Древние пришельцы/Ancient Aliens

Документальный сериал производства США завоевал любовь зрителей по всему миру. Съемки фильма проводили специалисты компании Prometheus Entertainment для канала History Channel. Показ пилотной серии состоялся в 2009 году. На протяжении семи сезонов зрители знакомятся с различными аспектами теории палеоконтакта, подкрепленными историческими свидетельствами со всего мира. Фильм рассказывает о фактах, доказывающих и опровергающих существование внеземных цивилизаций.

Сериалы про мозг и психологию

Документальные фильмы, посвященные нейронауке, способны переопределить понятие человека. Исследования мозговой активности актуальны и по сей день. Современную аудиторию интересуют научные открытия в области нейробиологии, доказательства и опровержения теорий о способностях человеческого организма, тайнах сознания.

Тайны души: Архетип. Невроз. Либидо

Российский документальный телесериал срежиссирован Татьяной Маловой и Анастасией Строевой. Запуск сериала состоялся в 2011 году. В цикле 20 серий, которые посвящены обзору исследований известных психиатров, ученых и экспериментаторов в области психоанализа. Научно-познавательный сериал вызовет интерес не только у компетентных специалистов, но и простых обывателей, которые желают повысить уровень знаний в области психиатрии. В сериях рассматриваются такие темы, как архетипы, влияние либидо, неврозы, широкие возможности изучения психологии и уникальные методы психотерапии.

Мозг. Тайны сознания / The Brain. A Secret History

Серия научно-познавательных зарубежных фильмов об экспериментальной психологии позволит по-новому взглянуть на возможности человека. Специфика сериала, запуск которого состоялся в 2010 году, заключается в акцентировании внимания на контроле и управлении людьми. Зрителям демонстрируются уникальные эксперименты, в процессе которых ученые находят способы влиять на поведение, эрудицию и волю человека. Первая серия освещает методы управления сознанием с помощью псилоцибина. Далее аудитория знакомится с особенностями человеческих эмоций и исследованиями поврежденного мозга.

Сериалы про планету Земля

Наша планета отличается богатым разнообразием форм жизни. Несмотря на активное изучение животного и растительного мира, человечеству не удалось до конца исследовать окружающую среду. На суше и в океане есть огромные пространства, недоступные для человека. Люди постоянно сталкиваются с природными катаклизмами и проблемами глобального характера. В научно-документальных фильмах зрители могут почерпнуть полезную информацию о своем доме и обитателях планеты.

Неизвестная планета Земля/One Storage Rock

Современный научно-познавательный сериал выпущен в 2018 году. Каждый эпизод посвящен загадкам и секретам нашей планеты. Проект освещает актуальные исследования природы, человека и Космоса. Также зрителям будет интересно ознакомиться с уникальными фактами о событиях прошлого, понять, какие явления на протяжении миллиардов лет меняли Землю и способствовали развитию живых организмов. Фильм отличается высоким качеством и впечатляет спецэффектами.

Могучие Реки/Jeremy Wade's Mighty Rivers

Сюжет построен на увлекательном путешествии опытного рыболова-исследователя Джереми Вайта. Фильм был выпущен в 2018 году и сразу завоевал симпатию зрителей. Вместе со знаменитым ведущим можно посетить шесть наиболее крупных рек планеты Земля. В ходе экспедиции Джереми знакомится с местным населением, узнает особенности культуры, которая плотно связана с жизнью на берегах крупных водоемов. Главной целью исследования является проверка воды доступными способами и выявление проблем.

Прогулки с динозаврами с Николаем Дроздовым

Цикл фильмов состоит из шести эпизодов. Сериал запущен в 1999 году каналом ВВС и повествует о жизни динозавров. Широкой аудитории рассказывается о климате планеты миллионы лет назад, ее обитателях. В фильме можно увидеть детальные сцены из жизни, охоты, поиска пропитания, рождения, взаимодействия разнообразных видов динозавров. Качественная компьютерная графика обеспечивает высокое разрешение видео. 

Одиссея Жака Кусто (The Cousteau Odyssey, 1977) 

В 1966 году состоялся запуск этого проекта о морях и океанах. В фильме детально описывается подводный мир, о котором человечеству многое не известно. В центре сюжета — научно-исследовательская экспедиция под руководством Жака-Ива Кусто. Знаменитый исследователь Мирового океана, который является режиссером этого сериала, прославился изобретением акваланга и камеры для подводной съемки. Благодаря этим открытиям, а также таланту Кусто, зрители смогут оценить захватывающие виды, яркость красок и эффектность съемки.

Отдавая предпочтение научно-популярным фильмам, можно совершить увлекательное путешествие по неизведанным мирам, не выходя из дома. Многие зрители документальных фильмов вдохновляются идеей заняться собственными исследованиями. Для того, чтобы реализовать мечты о карьере ученого, необходимо получить профессиональное образование. Если в процессе обучения возникают какие-либо сложности, то компетентную помощь всегда можно получить на портале Феникс.Хелп.

Формулы Дж. Максвелла являются основой теоретического описания электромагнитных явлений, которое предложил ученый. С помощью выявленных закономерностей объясняют эмпирические факты, известные в тот период времени, и предсказываются некоторые эффекты. Основным выводом, который выражает теория Максвелла, является положение, подтверждающее наличие волн электромагнитного характера, распространяющихся со скоростью света.

Уравнения Максвелла

С помощью обозначения формул Максвелла обобщают основные закономерности электрических и электромагнитных явлений. Как основа теоретического исследования электромагнитного поля, данная система формул направлена на решение задач на поиск электрических и магнитных полей, образованных путем заданного распределения электрических зарядов и токов. Уравнения Максвелла послужили основой для развития теории относительности Эйнштейна. Благодаря объяснению теории Максвелла, удалось раскрыть электромагнитную природу света.

Самостоятельно Максвеллом было выведено 20 формул, в которых использовалось 20 неизвестных, записанных в дифференциальном виде. В дальнейшем уравнения были преобразованы. Данные исследования получили негативные оценки критиков, которые являлись современниками Максвелла. Причиной является существенное отличие предложенных формул от ранее известных определений.

Несмотря на скептическое отношение в то время, сегодня уравнения Максвелла воспринимаются, как правильные и справедливые не только для привычного макромира, но и областей квантовой механики. Благодаря данному исследованию, произошел настоящий переворот восприятия людьми научной картины мира. Уравнения предвосхитили обнаружение радиоволн и продемонстрировали смысл электромагнитной природы света.

Границы применимости уравнений Максвелла

При необходимости исследований с учетом движения среды, формулы Максвелла не изменяют, а движение учитывают при составлении материальных уравнений. В данных отношениях наблюдается зависимость от характеристики скорости сред, что усложняет формулы в системе СИ. При этом материальные уравнения более не являются соотношениями между парами величин. К примеру, наблюдается зависимость плотности тока проводимости от индукции магнитного поля, наряду с напряженностью электрического поля. Для системы уравнения Максвелла характерны следующие ограничения:

• неподвижность материальных тел в поле;
• зависимость постоянных ε, μ, σ от координат, но не от времени и векторов поля;
• отсутствие в поле постоянных магнитов и ферромагнетиков.

Первое уравнение Максвелла

Описание данного уравнения тесно связано с понятием дивергенции. Данное явление называют дифференциальным оператором, с помощью которого определяют поток конкретного поля сквозь какую-то поверхность. Уместно сравнить данную систему с краном или трубой. К примеру, при большом диаметре крана и напора в трубе увеличивается поток жидкости через поверхность в виде крана. Современная форма первого уравнения Максвелла имеет следующий вид:

\(div\vec{E}=\frac{\rho }{\varepsilon _{0}}\)

В данном уравнении Максвелла Е является векторным электрическим полем, зависящим от суммарного заряда, который заключен внутри замкнутой поверхности. Данное уравнение является законом Гаусса.

Второе уравнение Максвелла

Данная формула, выведенная ученым, представляет собой закон Фарадея. На основе данных закономерностей функционируют электрические двигатели. В конструкции моторов ток в катушке возникает, благодаря вращающимся магнитам. Второе уравнение Максвелла имеет следующий вид:

\(rot\vec{E}=\frac{d\vec{B}}{dt}\)

Ротор электрического поля в виде интеграла через замкнутую поверхность выражается скоростью, с которой изменяется магнитный поток, пронизывающий эту поверхность. Наглядным примером такого явления может служить вода в ванной, сливаемая через отверстие. Вокруг слива будет образована воронка. Ротор в этом случае будет являться суммой или интегралом векторов скоростей молекул воды, вращающихся вокруг сливного отверстия.

Третье уравнение Максвелла

Представленная ученым формула является законом Гаусса. Следует отметить, что третье уравнение Максвелла справедливо не для электрического поля, а для магнитного. Формулировка имеет следующий вид:

\(div\vec{B}=0\)

Данное соотношение демонстрирует нулевое значение потока магнитного поля через замкнутую поверхность. Электрические заряды с положительным или отрицательным значением существуют отдельно друг от друга и приводят к образованию электрического поля в окружающей среде. Магнитные заряды в природе отсутствуют.

Четвертое уравнение Максвелла

Данная формула считается наиболее важной из всех приведенных ранее. Согласно четвертому уравнению, Максвелл определил что такое ток смещения. Равенство записывают таким образом:

\(rot\vec{B}=\frac{j}{\varepsilon _{0}c^{2}}+\frac{1}{c^{2}}\frac{dE}{dt}\)

Данные уравнения носят название теоремы о циркуляции вектора магнитной индукции. Согласно этому утверждению, вихревое магнитное поле образовано электрическим током и изменением электрического поля.

Следствия из уравнений Максвелла

Все формулы объясняют определенные явления. Суть каждого из них заключается в следующем:

• первое уравнение – электрическое поля образовано электрическим зарядом;
• второе уравнение – вихревое электрическое поле является результатом изменений магнитного поля;
• третье уравнение – отсутствие в природе магнитных зарядов;
• четвертое уравнение – вихревое магнитное поле сформировано электрическим током и изменением электрической индукции.

Уравнения Максвелла полностью соотносятся с принципами специальной теории относительности. Формулы необходимы для микроскопического описания вещества в условиях классического электромагнитного поля и заряженных частиц, подчиняющихся принципам квантовой механики. Более последовательное объединение полевого подхода с принципами квантовой механики осуществляют по средствам методов квантовой теории поля в квантовой электродинамике.

Подобные дисциплины изучают студенты современных профильных вузов. Данные области научных знаний достаточно сложны для восприятия. Поэтому при возникновении трудностей в образовательном процессе можно обратиться к ресурсу Феникс.Хелп.

Одно из самых значимых понятий в математике — интеграл. Термин часто можно встретить при решении задач по математике и физике. С помощью интеграла существенно упрощается поиск площади под кривой, пройденного пути объекта, движущегося неравномерно, массы неоднородного тела, функции по производной.

Что такое интеграл — понятие и определение

Интеграл является эффективным инструментом для решения задач из математического анализа. Слово «интеграл» происходит от латинского «integer», то есть «целый». Впервые это понятие ввел Иоганн Бернулли.

Разобраться в определении интеграла можно, если рассмотреть понятный график функции:

Исходя из графика, можно сделать вывод, что интегралом является сумма малых частей, которые составляют в целом рассматриваемый объект. Компоненты складываются в какую-то геометрическую фигуру. При сложении этих частей можно определить, какова ее площадь. Таким образом, пояснение для интеграла заключается в следующем: интеграл является площадью какой-то фигуры, расположенной под линией функции.

Данное понятие относится к определенному интегралу. Он определен на отрезке между точками а и b. В верхней части в качестве ограничения выступает некоторый график функции, как представлено на рисунке:

Математическая запись интеграла:

\(\int_{a}^{b}{f(x)dx}\)

где f(x) является той самой функцией, график которой ограничивает фигуру в верхней части;

a и b представляют собой пределы;

x соответствует направлению, вдоль которого построены столбцы на графике.

Процесс интегрирования является обратным дифференцированию. В том случае, когда требуется определить минимальный промежуток заданной функции, целесообразно взять от нее производную. Это объясняется тем, что производная или дифференциал являются быстрым методом поиска части чего-либо. Можно наглядно определить с помощью рисунка, что минимальная фигура, которая является частью целого, при таком числе составляющих компонентов не повторяет форму кривой функции. Таким образом, требуется уменьшить габариты таких частей, чтобы они максимально точно совпадали с графиком. Площадь наименьшего компонента фигуры будет стремиться к нулевому значению. Точность повышается с уменьшением размеров рассматриваемой части. Площадь геометрической фигуры состоит из суммы таких частей, которые стремятся к нулю. Записать это можно с помощью уравнения:

\(P=\lim_{\Delta x_{i}\rightarrow 0}\sum{y_{i}\Delta x_{i}}\)

Подробно полученное выражение можно рассмотреть на графике:

Площадь малой части фигуры определяется так же, как площадь прямоугольника. Значение Y нужно помножить на значение ΔХ. Так как фигура представляет собой совокупность малых частей, то их требуется сложить. Следует учитывать, что каждый компонент фигуры ΔХ стремится к нулевому значению. Поэтому формула, которая представлена выше, включает это условие и позволяет определить результат максимально точно.

Если обозначить количество частей ΔХ, стремящихся к бесконечности, то можно определить, что существует предел интегральной суммы, которая состоит из таких компонентов, стремящихся к нулю и к бесконечности по числу таких частей. Таким образом, правая граница фигуры, изображенной на графике, является пределом. В этом выражается геометрический смысл определенного интеграла.

Физический смысл интеграла состоит в том, что это сумма бесконечно малых величин на бесконечно большом интервале. Исходя из этого, можно определить любую величину, которая изменяется, согласно функции. К примеру, рассчитать общий путь по закону изменения скорости. Необходимость в интеграле возникла, когда потребовалось рассчитать площади каких-либо фигур и объем любых тел, выбранных произвольно.

В том случае, когда расчеты подразумевают наличие постоянной характеристики, к примеру, скорости, найти путь можно с помощью произведения этой постоянной скорости и времени. Этот же момент можно проверить при вычислении интеграла от такой функции и записи уравнения прямой. Но скорость в процессе движения может меняться. Данное изменение можно представить в виде зависимости. Тогда следует вписать граничные условия, например, в случае пути — это время, в интеграл скорости по времени. Полученное выражение будет равно площади трапеции, которая расположена под функцией скорости, что является физическим смыслом определенного интеграла.

Свойства, которыми обладает определенный интеграл:

1. Когда функции f и g интегрируются на интервале [a, b], то для любых чисел \(\alpha\) и \(\beta (\alpha \in R,\ \beta \in R)\) функция \(\varphi(x) = \alpha f(x) + \beta g(x)\) также интегрируема на отрезке [a, b]. Справедливо равенство: \(\int\limits_a^b (\alpha f(x) + \beta g(x)) dx = \alpha \int\limits_a^b f(x) dx + \beta \int\limits_a^b g(x) dx.\label{ref1}\)
2. Если функции f и g интегрируемы на отрезке [a, b], то функция \(\varphi(x) = f(x)g(x)\) также интегрируема на этом отрезке.
3. В том случае, когда функция f(x) интегрируема на отрезке \(\Delta = [a, b]\) она интегрируема на любом отрезке \(\Delta_{1} \subset \Delta.\)
4. При функции f(x), интегрируемой на отрезке [a, b] и a < c  < b, будет работать формула: \(\int\limits_a^b f(x) dx = \int\limits_a^c f(x) dx + \int\limits_c^b f(x) dx\)
5. При функции f, интегрируемой на отрезке [a, b] и если \(c_{1}, c_{2}, c_{3}\) являются любыми точками данного интервала, то \(\int\limits_{c_{1}}^{c_{3}} f(x) dx = \int\limits_{c_{1}}^{c_{2}} f(x) dx + \int\limits_{c_{2}}^{c_{3}} f(x) dx\)

Термин «неопределенный интеграл» применим в ситуациях, когда требует найти площадь криволинейной трапеции, путь в соответствии с известной скоростью тела, которое движется неравномерно, и для решения других подобных задач.

Свойства, которыми характеризуется неопределенный интеграл:

1. Константу можно выносить за знак интеграла: \(\int kf(x) dx = k\int f(x) dx\)
2. Интеграл разности или суммы функций соответствует разности или сумме интегралов от этих функций: \(\int ( f(x) \pm g(x) ) dx = \int f(x) dx \pm \int g(x) dx\)
3. Производная интеграла определяется как выражение, находящееся под знаком интеграла: \(\bigg (\int f(x) dx \bigg )' = f(x)\)
4. Интеграл от производной функции равен сумме этой функции и постоянной: \(\int F'(x) dx = F(x) + C\)
5. Интеграл дифференциала функции равен сумме этой функции и постоянной интегрирования: \(\int df(x) dx = f(x) + C\)

Таблица интегралов для студентов

Такие формулы позволяют упростить решение многих задач. Основные интегралы:

\(\int 0dx=C\)

\(\int dx=\int 1dx=x+C\)

\(\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1}+C\)

\(\int \frac{dx}{x}=\ln |x|+C\)

\(\int a^x dx = \frac{a^x}{\ln a} + C\)

\(int e^x dx = e^x + C\)

\(\int \sin x dx = -\cos x + C\)

\(\int \cos x dx = \sin x+C\)

\(\int \frac{dx}{\sin^2 x}=-ctgx + C\)

\(\int \frac{dx}{\cos^2 x}=tgx+C\)

\(\int \frac{dx}{\sqrt{a^2-x^2}}=\arcsin \frac{x}{a}+C\)

\(\int \frac{dx}{a^2+x^2}=\frac{1}{a}arctg\frac{x}{a}+C\)

\(\int \frac{dx}{a^2-x^2}=\frac{1}{2a} \ln|\frac{a+x}{a-x}|+C\)

\(\int \frac{dx}{\sqrt{x^2\pm a^2}}=\ln|x+\sqrt{x^2\pm a^2}|\)

Методы решения интегралов

Данные методики позволяют преобразовать сложные уравнения в простые формы, решения которых можно найти в таблице. Также к преобразованным выражениям можно применять свойства интегралов.

Непосредственное интегрирование

Данный метод целесообразно применять, когда в интеграле имеются табличные простейшие функции, либо функции, которые можно представит в таком виде по результатам элементарных действий. К примеру, когда требуется вынести константу за знак интеграла, разбить интеграл на слагаемые в виде интегралов, чтобы в подынтегральном выражении присутствовала готовая функция для интегрирования. Можно привести простой пример:

Необходимо определить интеграл непосредственным интегрированием:

\(\int \bigg ( x^3 + \frac{3}{2\sqrt{x}} + \frac{2}{x} \bigg ) dx\)

Исходя из свойства суммы интегралов, получим:

\(\int \bigg ( x^3 + \frac{3}{2\sqrt{x}} + \frac{2}{x} \bigg ) dx = \int x^3 dx + \int \frac{3 dx}{2\sqrt{x}} + \int \frac{2 dx}{x}\)

Первый интеграл записан в табличном виде. В таком случае можно воспользоваться непосредственным интегрированием:

\(\int x^3 dx = \frac{x^{3+1}}{3+1} = \frac{x^4}{4} + C\)

Второй интеграл обладает константой, которую допустимо вынести за знак. Затем интеграл будет преобразован в табличную форму:

\(\int \frac{3dx}{2\sqrt{x}} = 3 \int \frac{dx}{2\sqrt{x}} = 3 \sqrt{x} + C\)

В третьем интеграле можно вынести константу. Далее необходимо воспользоваться методом непосредственного интегрирования:

\(\int \frac{2dx}{x} = 2\int \frac{dx}{x} = 2 \ln x + C\)

Полученные выражения необходимо представить в виде одной записи:

\(\int \bigg ( x^3 + \frac{3}{2\sqrt{x}} + \frac{2}{x} \bigg ) dx = \frac{x^4}{4} + 3\sqrt{x} + 2\ln x + C\)

Ответ: \(\int \bigg ( x^3 + \frac{3}{2\sqrt{x}} + \frac{2}{x} \bigg ) dx = \frac{x^4}{4} + 3\sqrt{x} + 2\ln x+ C\)

Метод подведения под знак дифференциала

Решить некоторые типы интегралов можно с помощью этого способа. Он заключается в вынесении под знак интеграла. Таким образом получается интеграл табличной формы. Формула имеет следующий вид:

\(f'(x) dx = d( f(x) )\)

В том случае, когда подынтегральная функция содержит произведение пары функций, одна из которых представляет собой дифференциал другой, нужно внести под знак дифференциала нужную функцию. Данное действие можно записать таким образом:

\(\int f(\varphi(x)) \varphi'(x) dx = \int f(\varphi(x)) d(\varphi(x))=\int f(u) du\)

\(u=\varphi(x)\)

Воспользоваться способом подведения основных функций можно при знании таблицы производных и интегрирования. Из них следуют следующие уравнения:

\(dx = d(x+c) \)

\(c=const\)

\(-\sin x dx=d(\cos x)\)

\(dx=\frac{1}{a} d(ax)\)

\(\cos x dx = d(\sin x)\)

\(xdx=\frac{1}{2} d(x^2+a) \)

\(\frac{dx}{x} = d(\ln x)\)

\(-\frac{dx}{x^2}= d(\frac{1}{x})\)

\(\frac{dx}{\cos^2 x} = d(tg x)\)

\(\int f(kx+b)dx = \frac{1}{k} \int f(kx+b)d(kx+b) = \frac{1}{k} F(kx+b) + C\)

В качестве примера можно решить задачу на нахождение интеграла, обладающего таким видом:

\(\int \sin x \cos x dx\)

В этом случае допустимо заносить под знак дифференциала любую из указанных функций. Целесообразно занести \(cos x\) из-за удобства смены знаков. Применяя формулы, получим:

\(\int \sin x \cos xdx = \int \sin x d(\sin x) = \frac{1}{2} \sin^2 x + C\)

Ответ: \(\int \sin x \cos x dx = \frac{1}{2} \sin^2 x + C\)

Метод интегрирования по частям

Данная методика применима, когда требуется решить интегралы от произведения двух простейших функций. Одна из них достаточно просто дифференцируется, а вторая — интегрируется. В данном случае справедлива методика для неопределенных и определенных интегралов. Неопределенный интеграл характеризуется уравнением:

\(\int udv = uv - \int vdu\)

Определенный интеграл соответствует формуле:

\(\int \limits_{a}^{b} udv = uv \bigg |_{a}^{b} - \int \limits_{a}^{b} vdu\)

В качестве примера можно определить интеграл:

\(\int xe^xdx\)

Заметим, что в состав подынтегральной функции входит пара функций. Одна из них путем дифференцирования преобразуется в единицу, а вторая достаточно просто интегрируется. Поэтому в данном случае справедлив метод интегрирования по частям. Можно предположить, что:

\(u = x \rightarrow du=dx\)

\(dv = e^x dx \rightarrow v=e^x\)

Далее необходимо подставить полученные значения в первую формулу интегрирования:

\(\int xe^x dx = xe^x - \int e^x dx = xe^x - e^x + C\)

Ответ: \(\int xe^x dx = xe^x - e^x + C\)

Метод замены переменной или метод подстановки

Этот способ нахождения интегралов применим в задачах, где одна функция — это производная второй функции. Допустим, что интеграл записан так:

\(\int f(x) dx\)

Можно заменить \(x=\phi(t)\). При этом функция \(\phi(t)\) является дифференцируемой, поэтому можно найти \(dx = \phi'(t) dt.\)

Далее следует подставить \(\begin{vmatrix} x = \phi(t) \\ dx = \phi'(t) dt \end{vmatrix}\) в интеграл. Таким образом:

\(\int f(x) dx = \int f(\phi(t)) \cdot \phi'(t) dt\)

Полученное выражение является формулой замены переменной в неопределенном интеграле.

При условиях задачи, которая содержит интеграл \(\int f(\phi(x)) \cdot \phi'(x) dx\), целесообразно заменить переменную на новую:

\(t = \phi(x)\)

\(dt = \phi'(t) dt\)

Таким образом, интеграл преобразуется в форму, которую легко рассчитать с помощью основных методов интегрирования:

\(\int f(\phi(x)) \cdot \phi'(x) dx = \int f(t)dt\)

Следует помнить, что по итогам расчетов требуется вернуть замененную переменную назад к x.

Например, можно рассмотреть задачу, по условиям которой необходимо вычислить неопределенный интеграл с помощью замены переменной:

\(\int e^{3x} dx\)

Замена переменной будет выполнена следующим образом:

\(t = 3x\)

\(dt = 3dx\)

Таким образом:

\(\int e^{3x} dx = \int e^t \frac{dt}{3} = \frac{1}{3} \int e^t dt =\frac{1}{3} e^t + C = \frac{1}{3} e^{3x} + C\)

Ответ: \(\int e^{3x} dx = \frac{1}{3} e^{3x} + C\)

Примеры решения

Задача 1

Требуется рассчитать определенный интеграл:

\(\int_0^1 \frac{x}{x^4+1} dx\)

Решение

Требуется заменить \(t = x^2\)

Таким образом, \(dt = 2xdx\)

Далее необходимо пересчитать пределы интегрирования для переменной t. Для этого нужно подставить 0 и 1 в замену \(t = x^2\)

В данной задаче они остались прежними. После манипуляций с подстановками получим:

\(\int_0^1 \frac{x}{x^4+1}dx = \int_0^1 \frac{1}{2} \frac{dt}{t^2+1}\)

Можно найти интеграл по таблице:

\(\int_0^1 \frac{1}{2} \frac{dt}{t^2+1}=\frac{1}{2} arctg t \bigg |_0^1\)

Используя формулу Ньютона-Лейбница, запишем решение:

\(\frac{1}{2} arctg t \bigg |_0^1 =\frac{1}{2} arctg 1 - \frac{1}{2} arctg 0 = \frac{1}{2} \cdot \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{8}\)

Ответ: \(\int_0^1 \frac{x}{x^4+1} dx = \frac{\pi}{8}\)

Задача 2

Необходимо решить определенный интеграл:

\(\int_0^\pi (x+5)\sin x dx\)

Решение

Можно заметить произведение двух функций, которое находится под интегралом. В этом случае целесообразно воспользоваться методом интегрирования по частям:

\(\int udv = uv - \int vdu\)

\(\int_0^\pi (x+5) \sin x dx = \begin{vmatrix} u = x+5 & du = dx \\ dv = \sin x dx & v = -\cos x \end{vmatrix}\)

Нужно подставить в уравнение интегрирования по частям рассчитанные данные из вертикальных скобок:

\(-(x+5)\cos x \bigg |_0^\pi&nbsp;+ \int_0^\pi&nbsp;\cos x dx\)

С помощью формулы Ньютона-Лейбница для вычисления определенного интеграла запишем ответ:

\(-(x+5)\cos x \bigg |_0^\pi + \int_0^\pi \cos x dx = -(\pi+5) \cdot (-1) + 5 + \sin x \bigg |_0^\pi = \pi + 10 + \sin \pi - \sin 0 = \pi + 10\)

Ответ:  \(\int_0^\pi (x+5)\sin x dx = \pi + 10\)

Задача 3

Требуется найти определенны интеграл, записанный в виде:

\(\int_0^2 (x^3 + 2x + 2) dx\)

Решение

Используя способ разложения интеграла на простейшие, после получения промежуточного результата необходимо интегрировать каждый интеграл индивидуально:

\(\int_0^2 (x^3+2x+2) dx = \int_0^2 x^3dx + 2\int_0^2 xdx + 2\int_0^2 dx\)

В случае первых двух интегралов целесообразно воспользоваться правилом:

\(x^p = \frac{x^{p+1}}{p+1}\)

Третий интеграл содержит константу. Таким образом:

\(\int_0^2 x^3dx + 2\int_0^2 xdx + 2\int_0^2 dx = \frac{x^4}{4} \bigg |_0^2 + 2 \frac{x^2}{2} \bigg |_0^2 + 2x \bigg |_0^2 = \frac{x^4}{4} \bigg |_0^2 + x^2 \bigg |_0^2 + 2x \bigg |_0^2 \)

Далее следует подставить пределы интегрирования в каждую функцию и записать ответ:

\(\int_0^2 x^3dx + 2\int_0^2 xdx + 2\int_0^2 dx = \frac{x^4}{4} \bigg |_0^2 + 2 \frac{x^2}{2} \bigg |_0^2 + 2x \bigg |_0^2 = \frac{x^4}{4} \bigg |_0^2 + x^2 \bigg |_0^2 + 2x \bigg |_0^2 \)

Ответ: \(\int_0^2 (x^3 + 2x + 2) dx = 12\)

Задача 4

Необходимо найти решение интеграла:

\(\int 3\cos x dx\)

Решение

Требуется вынести константу по первому свойству за знак интеграла и записать ответ:

\(\int 3\cos x dx = 3 \int \cos x dx = 3 \sin x + C\)

Ответ: \(\int 3\cos x dx = 3 \sin x + C\)

Задача 5

Необходимо определить интеграл:

\(\int (e^x + \sin x) dx\)

Решение

Исходя из первого свойства неопределенного интеграла, интеграл суммы равен сумме интегралов:

\(\int (e^x + \sin x) dx = \int e^x dx + \int \sin x dx = e^x - \cos x\)

Ответ: \(\int (e^x + \sin x) dx = e^x - \cos x\)

Задача 6

Требуется определить производную от интеграла:

\( \int \ln x dx\)

Решение

Согласно третьему свойству неопределенного интеграла, производная неопределенного интеграла определяется, как подынтегральная функция:

\(\bigg (\int \ln x dx \bigg )' = \ln x\)

Ответ: \(\bigg (\int \ln x dx \bigg )' = \ln x\)

Задача 7

Требуется доказать следующее выражение:

\( \int (x^2+x)' = x^2+x+C\)

Решение

В первую очередь необходимо определить производную подынтегральной функции:

\( (x^2+x)' = (x^2)' + (x)' = 2x + 1\)

Исходя из первого и второго свойства неопределенного интеграла, получим ответ:

\(\int (2x+1) dx = \int 2x dx + \int 1 dx = 2 \int x dx + \int 1 dx =2 \cdot \frac{x^2}{2} + x + C = x^2 + x + C\)

Ответ: выражение доказано.

Благодаря теоретическим знаниям и практическим навыкам решения задач с интегралами, можно с легкостью осваивать самые сложные темы по физике и математическому анализу. Главное — уметь пользоваться таблицей с основными формулами и свойствами определенного и неопределенного интегралов. Если в процессе изучения материала возникают трудности, то в любое время можно открыть сервис Феникс.Хелп.