Прохождение практики в условиях реального предприятия — уникальный шанс для учащихся ознакомиться с технологическими и производственными процессами, применить теоретические знания и продемонстрировать уровень своего профессионализма. По результатам проделанной работы необходимо отчитаться перед комиссией. Дневник является обязательным дополнением к отчету. При его отсутствии студент не будет допущен к защите производственной практики.

Что такое дневник по практике

Дневник производственной практики студенты получают у куратора или оформляют самостоятельно. Основной функцией отчета является фиксация на ежедневной основе проделанной работы. В документе необходимо написать следующие данные:

• дату;
• деятельность;
• итог выполнения поставленных задач.

В течение всей практики дневник служит главным документом для студента. Необходимо каждый день выполнять задания и вносить о них записи. Существуют определенные требования к заполнению отчета, которые прописаны в методических указаниях. После того, как защита производственной практики выполнена, дневник сохраняется в архиве учебного заведения до конца обучения студента.

Для чего нужен дневник

Дневник производственной практики нужен для составления отчета о деятельности студента. Документы дополняются характеристикой куратора, содержание которой включает:

• качество выполнения поставленных задач;
• специфика работы;
• общая оценка профессиональных навыков практиканта.

Пакет документов необходим для защиты и служит основанием для допуска студента к сдаче экзаменов. Представленная информация должна быть полной и достоверной. Пробную работу по специальности оценивает и подтверждает подписью представитель предприятия, которое предоставило необходимые ресурсы для прохождения практики.

Как заполнить дневник

Многие вузы требуют не только предоставить отчет о производственной практике, но и успешно защитить его перед комиссией. Особые требования предъявляются к оформлению дневника. Перед началом практики студенты получают следующую информацию:

• инструктаж;
• бланк дневника;
• методические рекомендации;
• направление на практику.

Учебное заведение, как правило, дублирует образцы документов и программу практики на официальном сайте учреждения. На предприятии учащиеся обращаются в отдел кадров для передачи направления на практику. После предоставления согласия на обработку персональных данных студенты знакомятся с локальными актами организации:

• уставом;
• положением об отделе, где студенту предстоит работать;
• правилами технической эксплуатации оборудования;
• инструкцией по технике безопасности и противопожарной профилактике.

Затем практикант допускается к рабочему месту и продолжает знакомство с особенностями профессии вместе с назначенным куратором. Ежедневно после окончания трудового дня студент заполняет дневник, отмечая в нем выполненные задания. Ответственный подход к решению поставленных задач и достоверное отражение информации в отчете может послужить основой для дальнейшей подготовки дипломной работы.

Особое внимание уделяется правильному оформлению дневника в соответствии со стандартной формой, утвержденной учебным заведением. В документе обязательно проставляются визы представителей вуза и предприятия, на котором студент проходит практику. Бланк легко найти на сайте образовательного учреждения. Специфика оформления дневника может отличаться в зависимости от специализации студента:

• учащиеся с факультета экономики могут готовить отчет по бухгалтерскому учету;
• программисты часто практикуются в написании программ, приложений, систем;
• агрономы работают с удобрениями, культивируют растения;
• студенты, изучающие менеджмент, нередко формируют наряд-заказы на поставки товаров, практикуются в продвижении продуктов и услуг на рынке.

После того как студент подготовил дневник, документ подписывается у куратора на предприятии. Подпись сопровождается печатью организации. Отчет по производственной практике направляется в учебный отдел образовательного учреждения.

Как в Ворде сделать дневник по практике

Все студенты имеют доступ к официальному сайту учебного заведения, где можно легко скачать бланк дневника и пособие с правилами по его заполнению. Основные требования:

• читаемый и разборчивый текст;
• допускается оформление дневника в печатном виде с подписью руководителя;
• занесенные в документ работы должны соответствовать специализации студента;
• начало и окончание практики фиксируются в графах «прибыл» и «убыл».

После заполнения записи в дневнике в Ворде его можно распечатать и показать куратору, чтобы согласовать правильность записей. Комплект документов, которые практикант предоставляет в учебное заведение, включает:

• отчет;
• дневник;
• характеристику с места практики, заверенную руководителем предприятия.

Заполняя дневник в текстовом редакторе, необходимо указать на титульной странице следующие данные:

• наименование образовательного учреждения;
• факультет и курс;
• фамилию, имя, отчество практиканта.

В основной части документа прописываются строки с заданиями. Они могут несколько отличаться от учебного плана, так как на каждом предприятии предусмотрены свои производственные процедуры и расписание технологических процессов. Однако все заявленные в методических указаниях пункты должны быть отражены. К примеру, в дневнике указывается следующая информация:

1. Место и время работы.
2. Характеристики природных и климатических условий.
3. Краткая справочная информация о предприятии.
4. Направление деятельности организации.
5. Непосредственные обязанности студента.
6. Должность, на которую принят практикант.

В дневнике указываются задания, которые учащийся выполнял или при которых он присутствовал в процессе производственной практики. Необходимо дополнить отчет собственными выводами о проделанной работе. Следует отметить полезные навыки и знания, которые студент приобрел, работая на предприятии. Дополнительным преимуществами являются анализ выявленных недостатков и конструктивные предложения по их устранению. Обязательным условием для защиты служат отзывы куратора от организации и научного руководителя от образовательного учреждения — относительно качества проделанной в рамках производственной практики работы.

Дневник производственной практики: образец заполнения

Дневник учебной практики: пример

Производственная практика является важным этапом обучения. Многие студенты используют полученные практические знания для подготовки диплома и совершенствования собственных профессиональных навыков. Успешно сдать отчет по практике легко, если следовать методическим указаниям и ответственно выполнять поставленные задачи, применяя в процессе багаж теоретических знаний. При возникновении каких-либо сложностей при самостоятельном оформлении дневника можно обратиться за помощью к сервису Фенкис.Хелп, где компетентные специалисты решают задачи любой сложности в самые короткие сроки. 

Эссе как творческое направление обладает множеством сходств с классическим сочинением. Но подобное произведение имеет и отличия, которые заключаются в особенностях структуры, правилах написания и некоторых других характеристиках. Предлагаем подробно ознакомиться со спецификой написания эссе, а также узнать о полезных советах по выполнению работы отличного качества.

Что такое эссе

Согласно «Толковому словарю иноязычных слов» Л.П. Крысина, эссе является очерком, в котором трактуются какие-либо проблемы в свободной форме. «Большой энциклопедический словарь» определяет эссе, как один из жанров философской, литературно-критической, историко-биографической, публицистической прозы. В нем автор излагает в непринужденной форме, ориентированной на разговорную речь, свою индивидуальную позицию. 2024

Слово «эссе» из французского языка «essai» переводится как «опыт», «проба», «набросок», «очерк». Исторически происходит от латинского слова «exagium» или «взвешивание».

Как и у любого литературного жанра, у эссе есть специфические особенности. К некоторым признакам данного произведения можно отнести:

• конкретика в выборе темы;
• выражение субъективного мнения автора по какому-то вопросу;
• предполагает новое, субъективно окрашенное слово о чем-либо;
• содержание основано на мировоззрении, мыслях, чувствах автора.

Создателем жанра считается М. Монтень, автор произведения «Опыты», опубликованного в 1580 году. В последнее время эссе пользуется большой популярностью. Подобные сочинения нередко предлагаются в качестве заданий учащимся средней школы, техникумов, ВУЗов. Авторы участвуют в конкурсах разного уровня, демонстрируя талант и профессионализм в данном направлении. Опыт, полученный в результате такой работы, будет полезен в будущем, поможет активно развивать собственные коммуникативные навыки и умение грамотно излагать мысли с помощью:

• подбора четких формулировок;
• структурирования информации;
• использования основных понятий;
• выделения причинно-следственных связей;
• иллюстрации опыта по средствам конкретных примеров;
• аргументации выводов.

Наиболее актуальная тема для молодых специалистов — «Будущая профессия». Исходя из качества сочинения о карьере, будущие работодатели оценивают уровень мышления, наличие творческих способностей, энтузиазм и потенциал кандидата. Наиболее эффективный способ написать хорошее эссе — излагать мысли прямо и откровенно, быть честным перед самим собой.

Чем эссе отличается от сочинения

Эссе путают с классическим сочинением не без оснований. Сходство действительно присутствует, но есть и существенные отличия. Особенности творческой работы под названием эссе следующие:

• композиция выстраивается произвольным образом;
• главной целью является побуждение читателей к размышлению;
• произведение пишется на конкретную тему;
• работа отличается небольшим объемом.

Сочинение характеризуется заданной темой и четкой структурой. Читатели могут быть солидарны с автором или не соглашаться с его мнением, в отличие от эссе, где основой творческой работы является авторское понимание проблемы и его субъективное мнение, относительно решения вопроса. Написание эссе требует четкого и грамотного формулирования мыслей, структурирования информации, аргументации выводов, личной позиции. Произведение не должно быть банальным и скучным. Успех в этом жанре зависит от установления доверительных отношений с читателем.

Виды эссе

Эссе как литературный жанр, включает различные направления. Существует несколько классификаций подобного произведения по определенным признакам. Стандартная методика выделяет две основные группы:

• объективное эссе, в котором анализируется конкретное направление, подкрепляемое какими-либо фактами;
• субъективное произведение, отражающее личную точку зрения по конкурентному вопросу, не подкрепленную и не претендующую на истину.

Например, эссе на тему «Формула воды» для ЕГЭ будет относиться к первой категории. Если автор размышляет по поводу существования НЛО, то такое произведение является субъективным. Исходя из содержания, работы подразделяются на несколько категорий:

• философские;
• критические;
• литературные;
• исторические;
• художественные и другие.

Основываясь на критерии литературной формы, эссе классифицируются по следующим типам:

• миниатюра;
• заметка;
• рецензия;
• очерк;
• письмо и другие.

Произведения могут отличаться по композиционным особенностям. С этой точки зрения эссе могут быть:

• описательными;
• повествовательными;
• рефлексивными;
• критическими;
• аналитическими и другими.

Исходя из классификации произведений, можно сказать, что эссе представляет собой достаточно обширное направление. Несмотря на разнообразные категории, неизменным остается главный признак жанра, который заключается в обязательном наличии авторского мнения или наблюдения, лежащего в основе эссе.

Основные правила написания

Написание эссе не предполагает соблюдения строгих правил. Формально требуется лишь составить заголовок. Структура произведения, как правило, произвольная. Так как это письменная работа малой формы, повторять выводы по теме в конце произведения не требуется, их можно включить в основную часть или название. Автор может приводить аргументы, доказывать правильность собственной точки зрения до формулировки проблемы, которая часто совпадает с окончательными выводами.

Эссе представляет собой реплику, адресованную подготовленному читателю. Целевая аудитория уже имеет представление о теме произведения. Поэтому автор не загромождает работу изложением служебных деталей, может сосредоточиться на раскрытии вопроса.

В отдельных случаях к оформлению эссе предъявляются строгие требования. Соблюдение стандартных правил написания произведения требуется от учащихся средних, профессиональных и высших учебных заведений. Основные рекомендации для составления текста в редакторе Ворд:

• шрифт Times New Roman, 14 размер;
• межстрочный интервал 1,5;
• отступ для первой строки 10 миллиметров;
• размер левого поля 30 миллиметров, правого — 10 миллиметров, верхнего и нижнего — 20 миллиметров.

Первой страницей эссе является титульный лист. Он оформляется, согласно общепринятым стандартам. Слово «ЭССЕ» размещается по центру листа и печатается большими буквами.

Пример титульного листа эссе

После титульного листа следует страница с содержанием работы. Заголовки оформляются правильно с помощью прописных букв. Нумерация выполняется арабскими цифрами.

Пример содержания эссе

В конце эссе необходимо напечатать список использованных источников. Он оформляется отдельной страницей.

Пример списка использованных источников эссе

Выбор темы

Многие авторы сталкиваются с проблемой выбора темы для эссе. Необходимо выбрать из множества вопрос, который действительно интересен писателю. Эффектным способом решения такой задачи является поиск удивительных фактов, явлений, закономерностей в обычных вещах или событиях. Когда тема эссе сформулирована, важно записать заголовок, чтобы не забыть его. Автор не ограничен в выборе тематики работы, которая может отражать его индивидуальные интересы, жизненную позицию, страхи или мечты. Распространенные темы:

1. В качестве темы можно выбрать событие. Это относительно простая задача, так как вокруг человека постоянно что-то происходит. Если писать о событии, которое произошло недавно, то легко описать его подробности, не упустив важные детали.
2. Нередко авторы рассматривают какие-либо ситуации и используют прием «отстранение», то есть анализируют привычные вещи с нового ракурса.
3. Вспоминая собственные впечатления, полученные в прошлом времени, писателю удается обнаружить важные и интересные для себя темы.
4. Переживания представляют собой внутренние события, которые намного глубже, чем другие впечатления. Осмысление переживаний позволяет погрузиться в тему и поразмышлять о важных личных вопросах.

В поисках темы для эссе авторы нередко обращают внимание на людей, события, которые с ними произошли, их впечатления и переживания. В этом случае писателю будет полезно лично пообщаться с будущими героями произведения. Тематика эссе может быть основана на каких-либо предметах. Интересным решением является новый взгляд на привычные вещи.

Структура

К структуре эссе не предъявляются особые требования. Для упрощения работы с материалом и структурирования информации можно следовать стандартным правилам:

• мысли по теме эссе излагаются в виде кратких тезисов;
• каждая мысль сопровождается доказательствами, то есть после тезиса автор приводит аргументы.

Аргументы могут быть представлены в виде фактов, явлений общественной жизни, событий, жизненных ситуаций и опыта, научных доказательств, ссылок на мнения ученых. Целесообразно использовать два аргумента для каждого тезиса, так как меньшее количество доказательств не является убедительным, а большее нарушает принципы написания эссе такие, как краткость и образность.

Тезисы и аргументы определяются темой, планом произведения, логикой развития мысли. Работа выполняется по кольцевой структуре, соответствует алгоритму:

1. Введение.
2. Тезис и доказательства.
3. Тезис и доказательства.
4. Тезис и доказательства.
5. Вывод.

Количество мыслей и аргументов может быть разным в зависимости от индивидуальных особенностей произведения. Основные аспекты, которые следует учитывать при написании эссе:

• во введении и заключении автору необходимо фокусировать внимание читателя на тематике;
• вступление предполагает постановку вопроса, а в выводе писатель резюмирует собственное мнение;
• при оформлении эссе необходимо выделять абзацы, красные строки, устанавливать логические связи для того, чтобы работа выглядела целостной;
• стиль изложения может быть эмоциональным, экспрессивным, художественным.

Перед тем, как приступить к написанию произведения, следует задаться вопросом о содержании эссе. К примеру, можно подготовить краткие ответы на один или несколько вопросов:

• Чем я отличаюсь от других людей?
• Почему я занимаюсь своим делом?
• Почему я запомнил это событие?
• Как событие повлияло на мою личность?
• Почему мне интересен этот человек?
• Хотел бы я быть на месте этого человека?
• Что полезного я почерпнул из этой ситуации?

Заинтересовать читателя поможет эффектная формулировка мыслей, использование коротких, простых, разнообразных по интонации предложений. Стиль отражает индивидуальность автора.

Объем

По объему для эссе отсутствуют ограничения. Если автор пишет произведения в процессе обучения в каком-либо образовательном учреждении, то обычно текст выходит на несколько тысяч знаков. Для журналистики характерны меньшие объемы.

Литература предполагает полную свободу писателя, поэтому эссе в этом случае может состоять из одной фразы или послужить материалом для целой книги. Автор ограничивается конкретной тематикой и проблемой, что главным образом определяет объем произведения.

Шаблонные фразы и клише

Существуют распространенные фразы, которые нередко используются при написании эссе. Такие клише универсальны в применении, позволяют максимально грамотно и четко выразить собственные мысли автора. Шаблоны для вводной части произведения:

• автор высказывания имеет в виду, что…;
• автор цитаты поднимает такой вопрос, как …;
• данная тема актуально по причине …;
• в наше время можно нередко наблюдать …;
• в своей жизни я неоднократно сталкивался с проблемой …;
• проблема актуальна не только для меня лично, но и для всего мира;
• данное высказывание наталкивает на мысль …;
• категорически не согласен с мнением …

В основной части автор, как правило, раскрывает тему, используя термины и определения. Нередко описываются примеры из реальной жизни, опыты, практики. Для представления информации и рассуждений писатели прибегают к использованию следующих фраз:

• рассматривая проблему в теории …;
• теоретическая аргументация проблемы заключается в …;
• следует рассмотреть вопрос с разных сторон …;
• можно доказать утверждение с помощью примеров …;
• рассмотрев вопрос, основываясь на личном опыте, я сделал вывод …;
• в подтверждении моей точки зрения, обратимся к …;
• в качестве доказательств используем яркие примеры из истории …;
• в нашей жизни можно найти немало примеров …

В заключении автор вновь формулирует проблему и представляет заключительный вывод по теме эссе. Следует избегать точного копирования формулировки вопроса, которая была дана во введении. Эффектно подвести итог помогут несколько популярных клише:

• из вышесказанного можно сделать вывод …;
• таким образом …;
• в заключении хотелось бы отметить …;
• подводя общую черту, можно сказать …;
• на основании вышеизложенного, можно утверждать, что …

Ошибки при написании

Данный жанр не предполагает формат multiple-choice (при написании эссе не предлагается несколько вариантов ответа на выбор). Выполнение работы не ограничено временными рамками. Допускается переписывание текста для исправления недочетов и корректировки. Эффективным решением является пробное прочтение с друзьями или близкими для предварительной оценки произведения. Ответственный подход к написанию является залогом успеха эссе. Однако авторы часто допускают следующие ошибки:

• пренебрежение проверкой текста на грамотность, отсутствие двусмысленных выражений, неудачных формулировок и подобных недочетов;
• недостаточное количество деталей, утомительное введение, перечисление тезисов без аргументации;
• идеи, не имеющие отношения к теме, повторение одних и тех же мыслей, множество слов, которые отвлекают внимание читателя от основного вопроса;
• использование слишком длинных и сложных фраз;
• некорректное употребление терминов.

Важно, чтобы эссе было написано доступным для широкой аудитории языком. Грамотное преподнесение информации поможет лучше передать мысли автора, донести до читателя основную идею. Проверка на ошибки не займет много времени, позволит выявить и исправить недочеты, что положительно скажется на результате работы.

Образец эссе

Эссе является отличным способом тренировки структурированного мышления. Это ценное качество пригодится в профессиональной деятельности любому современному специалисту. Творческие люди с помощью практики в популярном жанре учатся управлять потоком сознания и развивают воображение. Главное при написании эссе — сформулировать мысль и качественно ее аргументировать, что обязательно пригодится человеку в работе, учебе, личной жизни. Грамотная и конструктивная формулировка мыслей является важным коммуникативным навыком, с помощью которого автор взаимодействует с собеседником.

Учащимся часто предлагают написать эссе. При плотном графике учебы или работы выполнить такую задачу непросто. Но всегда можно обратиться за помощью в сервис Феникс.Хелп. Компетентные специалисты помогут выполнить задания любой сложности, используя богатый опыт, высокий уровень профессионализма и индивидуальный подход к каждому клиенту.

Интеграл является одним из наиболее важных понятий в математическом анализе. Его применяют в алгебре для расчета площади под кривой, преодоленного пути в процессе неравномерного движения, массы, которой обладает неоднородное тело и решения других подобных задач. С помощью интеграла вычисляют функцию по известной производной.

Интегралы для чайников — базовые понятия

Понятие интеграла в теории основано на нахождении непрерывной функции. Для начала следует ознакомиться с этим термином.

Процедура поиска первообразной функции f(х) представляет собой операцию интегрирования в определенном порядке.

Неопределенный интеграл

В легком виде формулу для расчета неопределенного интеграла можно записать в такой форме:

\(\int f(x)dx=F(x)+C\), где

• f(x) является подынтегральной функцией;
• F(x) представляет собой первообразную функцию функции f(x);
• dx определяется дифференциалом;
• C является численной константой интегрирования.

В неопределенный интеграл включен спектр первообразных, так как имеется постоянная интегрирования. Дифференциалом называют произвольное, бесконечно малое приращение переменной величины. Среди основных свойств неопределенного интеграла можно отметить такие пояснения:

Табличная форма неопределенных интегралов в виде \(\int f(x)dx=F(x)+C\) имеет вид:

Определенный интеграл

В общем виде определенный интеграл можно записать таким образом:

\(\int_{a}^{b}{} f(x)dx\), где

• f(x) представляет собой подынтегральную функцию;
• a и b являются пределами интегрирования;
• dx соответствует дифференциалу.

Вычислить определенный интеграл можно с помощью уравнения Ньютона-Лейбница:

Свойства определенных интегралов:

• если определенный интеграл обладает одинаковыми пределами интегрирования, то его значение соответствует нулю;
• значение определенного интеграла является независимой от обозначения переменной интегрирования величиной;
• постоянный множитель допустимо выносить за знак определенного интеграла;
• определенный интеграл в случае алгебраической суммы конечного числа функций рассчитывается как алгебраическая сумма определенных интегралов;
• при разбивке отрезка интегрирования на части определенный интеграл в отношении всего отрезка соответствует сумме определенных интегралов его частей;
• перестановка пределов интегрирования не меняет абсолютную величину определенного интеграла, а изменяет его знак;
• определенный интеграл рассчитывается как произведение длины отрезка интегрирования и значения подынтегральной функции в какой-то точке х0 внутри него;
• в том случае, если верхний предел интегрирования больше, чем нижний, и подынтегральная функция соответствует неотрицательному или положительному значению, определенному интегралу будет соответствовать неотрицательная или положительная величина;
• когда верхний предел интегрирования больше, чем нижний, и функции f(х) и g(х) не прерываются, то допустимо почленно интегрировать неравенство f(x) >=g(x).

Таблица интегралов для студентов (основные формулы)

Существует несколько основных приемов решения задач с интегралами. Процесс заключается в интегрировании функции по переменной. В том случае, если интеграл обладает табличным видом, то проблем с поиском его значения не возникнет. Когда форма записи интеграла отлична от табличной, решение сводится к приведению интеграла к табличному виду.

Таблица первообразных для решения интегралов имеет следующий вид:

В первую очередь необходимо ознакомиться с основными свойствами интегралов:

С помощью данных понятий можно решать несложные интегралы. Но в большинстве случаев встречаются задачи с непростыми интегралами, для работы с которыми требуется прибегнуть к дополнительным приемам.

Правила вычисления интегралов, примеры решения

Специальные методики позволяют рассчитывать большую часть интегралов. Основными приемами для поиска решений являются:

1. Замена переменной с применением навыков нахождения производных.

2. Интегрирование по частям с помощью формулы: \(\int udv=uv-\int vdu\).
3. Интегрирование дробно-рациональных функций:

• разложением дроби на простейшие \(\int F_{n}(x)/G_{m}(x)dx\);
• выделением полного квадрата \(\int dx/(ax^{2}+bx+c)\);
• созданием в числителе дифференциала знаменателя \(\int (mx+n)dx/(ax^{2}+bx+c)\).

4. Интегрирование дробно-иррациональных функций:

• выделением под корнем полного квадрата \(\int dx/(\sqrt{ax^{2}+bx+c})\);
• созданием в числителе дифференциала подкоренного выражения \(\int (mx+n)dx/(\sqrt{ax^{2}+bx+c})\).

5. Интегрирование тригонометрических функций:

• с помощью формул разложения для произведения \(\int \sin \alpha x*\cos \beta xdx\);
• с помощью создания \(d(cos x)\) при m-нечетном, n-любом для выражений вида \(\int \sin^{n}x*\cos^{m} xdx\) применимо тождество \(\sin^{2}+\cos^{2}=1\), где m, n являются четными, \(\sin^{2}x=(1-\cos^{2}x)/2$$ и $$ \cos^{2}x=(1+\cos^{2}x)/2\);

6. Применение свойства \(\tan ^{2}x=1/\cos ^{2}x-1\) для выражения в виде \(\int tan^{n}xdx\).

Решать интегралы целесообразно с помощью данного алгоритма:

1. Вникнуть в суть интегралов, включая базовые понятия и методы решения. Интеграл представляет собой сумму элементарных частей объекта интегрирования. В том случае, когда рассматривается интегрирование функции, следует идентифицировать интеграл как площадь фигуры между графиком функции, осью х и границами интегрирования. При неопределенном интеграле, то есть неизвестных границах интегрирования, решать задачу необходимо с помощью нахождения первообразной. В случае определенного интеграла в найденную функцию подставляют значения границ.
2. Научиться пользоваться таблицей первообразных и основными свойствами интегралов. Множество функций уже определены первообразными, которые отмечены в таблице. Для интегралов, которые занесены в табличную форму, уже имеется готовое решение.
3. Освоение способов и приобретение навыков решения интегралов. В том случае, когда в задаче имеется интеграл, не соответствующий табличной форме, его необходимо привести к этому виду. Данная операция выполняется с помощью применения основных свойств интегралов и приемов по их решению.

Примеры решения интегралов:

Задача 1

Требуется решить интеграл:

\(\int (x^{5}+\frac{1}{\sqrt{x}})dx\)

Решение

Заметим, что по условию интеграл — неопределенный. Сначала необходимо найти первообразную. Для этого интеграл суммы можно разложить на сумму интегралов:

\(\int x^{5}dx+\frac{1}{\sqrt{x}}dx\)

Таким образом, каждый из интегралов преобразован в табличный вид. Решение можно найти с помощью таблицы:

\(\frac{x^{6}}{6}+2\sqrt{x}+С\)

Выполним проверку решения с помощью поиска производной:

\((\frac{x^{6}}{6}+2\sqrt{x})^{,}=x^{2}+\frac{1}{\sqrt{x}}\)

Ответ: \(\frac{x^{6}}{6}+2\sqrt{x}+С\)

Задача 2

Требуется решить интеграл:

\(\int \sqrt[5]{(x+5)}\)

Решение

Имеется неопределенный интеграл. Для начала необходимо найти первообразную. При сравнении с таблицей выяснилось, что подобное решение отсутствует. Способ разложения, исходя из свойств интеграла, не применим в данном случае. Следует обратиться к приемам. В этом случае целесообразно воспользоваться заменой переменной. Таким образом, выполним замену выражения \(х+5\) на \(t^{5}\).

\(t^{5}=x+5\)

После преобразований получим \(\int tdx.\)

Выражение dx также требуется заменить на t. В таком случае:

\(x=t^{5}-5\)

\(dx=(t^{5}-5)^{,}=5t^{4}\)

Выполним подстановку значений:

\(5\int t^{4}*tdt=5\int t^{5}dt\)

Интеграл соответствует табличной форме. Его можно посчитать \(\frac{5t^{6}}{6}\).

Далее необходимо заменить t на выражение \(\sqrt[5]{(x+5)}\).

Таким образом:

\(\int \sqrt[5]{(x+5)}=5/6\sqrt[5]{(x+5)^{6}}\)

Ответ: \(\int \sqrt[5]{(x+5)}=5/6\sqrt[5]{(x+5)^{6}}.\)

Задача 3

Необходимо найти решение интеграла:

\(\int \frac{dx}{\sqrt{4x^{2}+4x+5}}\)

Решение

В рамках данной задачи целесообразно выделить полный квадрат:

\(4x^{2}+4x+5=4x^{2}+4x+1+4=(2x+1)^{2}+1\)

\(\int \frac{dx}{\sqrt{4x^{2}+4x+5}}=\int \frac{dx}{\sqrt{(2x+1)^{2}+1}}=\frac{1}{2}\int \frac{d(2x+1}{\sqrt{(2x+1)^{2}+1}}\)

Результат преобразований соответствует табличному виду. Можно найти первообразную:

\(\int \frac{dx}{\sqrt{x^{2}+a^{2}}}=\ln \left|x+\sqrt{x^{2}+a^{2}} \right|+C\)

\(\int \frac{dx}{\sqrt{4x^{2}+4x+5}}=\ln \left|2x+1+\sqrt{(2x+2)^{2}+1} \right|+C\)

\((2x+1)^{2}+1=4x^{2}+4x+1\)

В результате получим:

\(\int \frac{dx}{\sqrt{4x^{2}+4x+5}}=\ln \left|2x+1+\sqrt{4x^{2}+4x+1} \right|+C\)

Ответ: \(\int \frac{dx}{\sqrt{4x^{2}+4x+5}}=\ln \left|2x+1+\sqrt{4x^{2}+4x+1} \right|+C\)

Математический анализ — достаточно сложная дисциплина. Одной из главных тем является решение интегралов. С подобными задачами часто сталкиваются учащиеся профильных вузов. Если в процессе обучения студент испытывает какие-либо трудности, правильное решение — обратиться к сервису Феникс.Хелп.

С числовыми последовательностями человек сталкивается постоянно. Ранее русские математики оперировали термином вариант, который ввел Ш. Мерэ. Последовательность включает ряд чисел. Данный объект является одним из ключевых понятий в математическом анализе.

Что такое числовая последовательность — понятие и определение

Последовательность обладает рядом отличительных признаков:

• каждый элемент из множества соотносится с натуральным числом;
• число используют для обозначения номера элемента и идентификации позиции этого компонента в рассматриваемой последовательности;
• для всех элементов можно определить следующий за ним компонент последовательности.

Предположим, что х является числовым множеством. Тогда можно использовать его в формулировке числовой функции.

Множество х в данном случае представляет собой область определения.

С помощью функции можно определить любой член из последовательности. Этим свойством она отличается от произвольного комплекса чисел. В математике принято использовать буквы и числа для записи понятий и законов. Числовые последовательности, как правило, обозначают буквой х, хотя строгих правил на этот счет не предусмотрено.

\(x_{n}=f\left(n \right)\)

\(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4},...x_{n},...\)

В число самых интересных и популярных числовых последовательностей входит последовательность Фибоначчи. Она обладает удивительными свойствами и нередко наблюдается в природном мире. К примеру, семена подсолнечника расположены в порядке, который имеет форму спирали. Числа, с помощью которых обозначают количество семян в каждой из них, представляют собой члены последовательности Фибоначчи.

Какие бывают последовательности чисел

Данное понятие может быть представлено в разных видах. Среди числовых последовательностей различают следующие формы:

• постоянная или монотонная, имеет вид: 1, 1, 1, 1, 1 …;
• возрастающая характеризуется признаком, согласно которому каждый последующий компонент будет больше предыдущего;
• убывающая, в которой каждый следующий элемент меньше предыдущего.

Кроме стандартной классификации, числовые последовательности подразделяют на следующие категории:

• сходящиеся, с конечным пределом;
• расходящиеся, в которых предел соответствует бесконечности, либо вообще отсутствует.

Наиболее распространенными примерами последовательностей являются те, которые проходят на школьных уроках. К ним относят арифметическую и геометрическую прогрессию.

Арифметическая прогрессия

Раскрыть данное понятие поможет последовательность чисел:

1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15…

a₁, a₂, a₃, a₄, a₅, a₆, a₇, a₈... a_n,...

Следует отметить, что данные числа являются нечетными. Каждый следующий элемент можно вычислить, если прибавить к нему одно и то же число. Пусть данное число будет записано, как d. В данном примере d = 2.

Представленная последовательность является арифметической прогрессией. Для этого вида числового ряда справедлива формула:

\(a_{n+1}=a_{n}+d\)

Элемент а, которому соответствует номер n, является общим членом последовательности. Число d представляет собой разность арифметической прогрессии.

\(a_{n}=a_{1}+d(n-1)\)

\(d=a_{n+1}-a_{n}\)

Сумму первых n компонентов последовательности можно рассчитать с помощью уравнения:

\(S_{n}=\frac{a_{1}+a_{n}}{2}n\)

Ряд свойств характерен для арифметической прогрессии:

\(a_{n}=\frac{a_{n+1}+a_{n-1}}{2}\)

Геометрическая прогрессия

Данное определение соответствует последовательности чисел, состоящей из элементов, каждый из которых, начиная со второго, равен предыдущему члену, умноженному на одно и то же число q. Данное число является знаменателем прогрессии. Для компонентов геометрической прогрессии справедливо выражение:

\(b_{n+1}=b_{1}\times q^{n}\)

При рассмотрении геометрических прогрессий используют основные формулы. Для расчета n-го элемента прогрессии следует воспользоваться уравнением:

\(b_{n}=b_{1}\times q^{n-1}\)

Определить сумму первых n членов последовательности можно таким образом:

если \(q\neq 1\)

то \(S_{n}=\frac{b_{1}(q^{n}-1)}{q-1}\)

если \(\left| q\right|< 1\)

то \(S_{n}=\frac{b_{1}}{q-1}\)

Характеристическим свойством геометрической прогрессии является следующее равенство:

\(b^{2}_{n}=b_{n-1}\times b_{n+1}\)

Предел последовательности, основные свойства

Согласно определению, последовательность является некоторой функцией. Поэтому определение пределов последовательностей во многом сходится с вычислением пределов функций, но обладает некоторыми особенностями.

По-другому, предел последовательности представляет собой число, в окрестности которого расположены все компоненты последовательности, начиная с определенного. Переменная n в данном случае всегда будет стремиться к бесконечности, в сторону увеличения натуральных чисел.

Способы задания числовых последовательностей

Такие действия можно выполнять по-разному. К основным способам задания последовательностей относят:

• аналитический или с помощью формулы;
• реккурентный, при наличии нескольких известных первых элементов прогрессии и формулы для определения следующих членов последовательности;
• описательный, включает простое перечисление всех компонентов последовательности.

Аналитический способ задания числовой последовательности

Считают, что последовательность задана аналитически, когда представлено уравнение для расчета ее n-го элемента.

\(y_{n}=f(n)\)

В качестве примера можно рассмотреть:

\(y_{n}=\frac{1}{n}\)

Это аналитический способ задания последовательности чисел:

\(1;\frac{1}{2};\frac{1}{3};...\frac{1}{n};...\)

Зная конкретное значение n, можно определить элемент последовательности с соответствующим номером. Можно изобразить данную последовательность на графике. Исходя из определения графика функции, он будет представлять собой множество всех точек:

\((n;\frac{1}{n})\)

Указанные точки будут расположены на правой ветви гиперболы:

\(y=\frac{1}{x}\)

Функция  \(y=\frac{1}{x}\) в случае, когда x > 0, будет убывающей. В таком случае числовая последовательность \(y_{n}=\frac{1}{n}\) также будет убывать.

Можно рассмотреть второй пример, когда:

\(y_{n}=\left|n-5 \right|\)

Следует представить несколько элементов данной числовой прогрессии:

\(y_{1}=\left|1-5 \right|=4\)

\(y_{2}=\left|2-5 \right|=3\)

\(y_{3}=\left|3-5 \right|=2\)

Графиком рассматриваемой последовательности будет являться множество точек, которые характеризуются координатами:

\((n;\left|n-5 \right|)\)

Эти точки принадлежат ломаной линии:

\(y=\left|x-5 \right|\)

Числовая последовательность \(y_{n}=\left|n-5 \right|\) будет убывать, если n соответствует интервалу от 1 до 5, и возрастать – при n от 5 до бесконечности.

Описательный метод задания числовой последовательности

Данная методика используется не всегда. Описательный способ записи последовательности чисел целесообразно применять, когда в условии задачи отсутствуют формулы, а правило прогрессии изложено лишь словами. В качестве примера можно рассмотреть такую последовательность, в которой:

\(a_{n}\) является цифрой после запятой в десятичной записи числа \(\sqrt{2}\)

\(\sqrt{2}=1,41421…\)

\(a_{1}=4\); \(a_{2}=1\);\(a_{3}=4\);\(a_{4}=2\);\(a_{5}=1\);…

Рекуррентный способ задания числовой последовательности

Рекуррентной называют последовательность, в правилах которой указано, что для расчета n-го члена необходимо знать значение предыдущих. В качестве примера можно привести такие условия:

\(y_{1}=1\)

\(y_{2}=1\)

\(y_{n}=y_{n-2}+y_{n-1}\)

\(n = 3, 4, 5 …\)

Данный пример демонстрирует возможность рассчитать любой n-ый элемент числовой последовательности.

Действия над числовыми последовательностями

Представленные формулы позволяют производить разнообразные манипуляции с рядом чисел. К основным действиям относятся:

1. Суммировать последовательности x_n и y_n в виде последовательности x_n + y_n с элементами x₁+y₁  x₂+y₂  x₃+y₃  … x_n+y_n.
2. Найти разность последовательностей x_n и y_n в виде последовательности x_n - y_n с элементами x₁-y₁  x₂-y₂  x₃-y₃  … x_n-y_n.
3. Умножение последовательностей x_n и y_n в виде последовательности x_n * y_n с элементами x₁*y₁  x₂*y₂  x₃*y₃  … x_n*y_n.
4. Поиск частного последовательностей x_n и y_n в виде последовательности x_n / y_n с элементами x₁/y₁  x₂/y₂  x₃/y₃  … x_n/y_n.

При выполнении расчетов и решении задач с последовательностью чисел следует учитывать важные особенности:

• последовательность может обладать только одним пределом;
• последовательность с пределом считается ограниченной, обратное утверждение не всегда справедливо;
• в случае, когда элементы какой-либо последовательности z_n находятся между соответствующими компонентами пары последовательностей x_n и y_n сходящихся к одному пределу, то и эта последовательность сходится к тому же пределу;
• предел постоянной числовой прогрессии соответствует ее постоянному;
• равные между собой числовые последовательности x и y обладают равными друг другу пределами при их наличии;
• в ситуации, когда каждый элемент сходящейся последовательности не превосходит соответствующего элемента другой сходящейся последовательности, то и предел первой не превосходит предела второй;
• предел суммы или разности пары числовых прогрессий соответствует сумме или разности их пределов в случае, когда рассматриваемые последовательности обладают пределами;
• предел произведения пары числовых прогрессий, для которых характерно наличие пределов, имеет место быть и рассчитывается, как произведение пределов последовательностей;
• при работе с постоянным множителем допускается выносить его за знак предела;
• предел частного пары числовых прогрессий, обладающих пределами, равен частному пределов этих последовательностей, если предел знаменателя не равен нулю.

Примеры задач с решением

Задача 1

Дана числовая последовательность

\(y_1=1\)

\(y_2=1\)

\(y_n=y_{n-2}+y_{n-1}\)

\(n = 3, 4, 5 …\)

Требуется найти 7-ой элемент последовательности.

Решение

Для определения 7 члена числовой последовательности следует узнать 5 и 6 компоненты.

\(y_4=3\)

\(y_5=5\)

\(y_6=3+5=8\)

\(y_7=5+8=13\)

Ответ: 7 член равен 13.

Задача 2

По условию задачи

\(x_{n}=\frac{n-1}{2n+1}\)

Требуется найти \(x_{3}\)

Решение

В начало необходимо подставить n=3 в уравнение для определения n-го элемента последовательности:

\(x_{n}=\frac{n-1}{2n+1}\)

Формула будет преобразована таким образом:

\(x_{3}=\frac{3-1}{2*3+1}=\frac{2}{7}\)

Ответ: \(x_{3}=\frac{2}{7}\)

Задача 3

Дана формула для определения n-го компонента прогрессии:

\(x_{n}=\frac{n-1}{2n+1}\)

Требуется выяснить, является ли число \(\frac{4}{11}\) каким-либо из элементов рассматриваемой последовательности.

Решение

Следует приравнять уравнение для n-го компонента последовательности \(x_{n}=\frac{n-1}{2n+1}\) к указанному в условии задачи числу \(\frac{4}{11}\) для получения уравнения относительно n. В том случае, когда n представляет собой натуральное число, то число \(\frac{4}{11}\) будет являться членом заданной прогрессии.

\(\frac{n-1}{2n+1}=\frac{4}{11}\)

\(11n – 11 = 8n + 4\)

\(3n = 15\)

\(n = 5\)

Ответ: число \(\frac{4}{11}\) является 5 членом последовательности.

Задача 4

Требуется записать уравнение общего члена последовательности, которая задана несколькими компонентами: 1, 4, 9, 16, 25.

Решение

Сначала необходимо записать каждый из членов прогрессии в таком виде:

\(y_{1}=1=1^{2}\)

\(y_{2}=4=2^{2}\)

\(y_{3}=9=3^{2}\)

\(y_{4}=16=4^{2}\)

\(y_{5}=25=5^{2}\)

Следует отметить, что компоненты прогрессии являются квадратами последовательных натуральных чисел. Согласно этому утверждению, можно сделать следующий вывод:

\(y_{n}=n^{2}\)

Ответ: \(y_{n}=n^{2}\)

Числовые последовательности исследовались многими математиками с мировым именем на протяжении веков. Зная основные формулы и правила работы с прогрессиями, можно достаточно просто решать задачи с рядами чисел и определять компоненты последовательностей. Если в процессе освоения какой-либо темы возникают сложности, можно обратиться за помощью к сервису Феникс.Хелп.

Человек регулярно сталкивается с разными видами движения. Перемещение тела по окружности позволяет понять многие физические процессы. На основе закономерностей такого явления работают разнообразные механизмы. Рассчитать характеристики движения по окружности достаточно просто, если знать и уметь применять несколько основных формул.

Движение тела по окружности — какими законами описывается

Тело может двигаться по окружности двумя способами:

• равномерно;
• неравномерно.

Равномерное движение тела характеризуется постоянной угловой скоростью. Для описания такого перемещения применяют следующие формулы:

• угловая скорость: \(\omega =\frac{2\pi }{T}\)
• скорость движения: \(V =\frac{2\pi R}{T}=\omega R\)
• угол поворота: \(\phi =2\pi \frac{t}{T}=\omega t\)
• ускорение: \(\frac{2\pi v}{T}=\omega ^{2}R\)

Неравномерное движение возможно при переменной угловой скорости тела. В данном случае применимы формулы:

• тангенциальное ускорение: \(a_{t}=\frac{dv}{dt}\)
• центростремительное ускорение: \(a_{n}=\frac{v^{2}}{R}=\omega ^{2}R\)

В представленных уравнениях используются такие параметры, как:

• Т — период вращения;
• t — время;
• ω — угловая скорость;
• R — радиус;
• a_t — тангенциальное ускорение;
• a_n — центростремительное или полное ускорение.

При отсутствии специальных оговорок, в процессе решения задач движение тела по окружности принимают за равномерное. Для расчета пройденного пути используют формулу:

\(S=\frac{v}{t}\)

где:

• S является расстоянием, которое преодолело тело;
• v представляет собой скорость движения тела;
• t определяет время движения.

Таким образом, справедливы выражения:

\(v=\frac{S}{t}\)

\(t =\frac{v}{S}\)

Величины, которые применяют для решения задач, характеризуются положительными значениями:

S > 0, v > 0, t > 0

Секретом заданий на движение тела по окружности является то, что обгоняющий будет преодолевать на 1 круг больше при первом обгоне. Данное расстояние считается на n кругов больше, если первый объект обогнал другого в n-ый раз.

Задачи на движение по окружности от простых до сложных

Задачи на движение тела по окружности отличаются по степени сложности. Можно рассмотреть примеры простых заданий.

Задача 1

Длина круговой трассы составляет 8 километров. Из ее точки в один момент времени в одинаковом направлении выехали два автомобиля. Первый автомобиль развил скорость 114 км/ч и, спустя 20 минут после начала движения, обогнал второй автомобиль на один круг. Требуется определить скорость, с которой двигался второй автомобиль. Ответ необходимо представить в км/ч.

Решение

Известно, что старт произошел одновременно для обоих автомобилей. Через 20 минут после начала движения первое транспортное средство опережало второе на один круг. Таким образом, в течение 20 минут или 1/3 часа первый автомобиль преодолел на 1 круг больше, то есть на 8 км больше. За час первый автомобиль проехал на 8*3=24 км больше, чем второй. Скорость второго транспортного средства на 24 км/ч меньше по сравнению с первым, и равна 114-24=90 км/ч.

Ответ: второй автомобиль двигался со скоростью 90 км/ч.

Задача 2

Из пункта А круговой трассы выехал велосипедист, а спустя полчаса стартовал мотоциклист. Через 10 минут после начала пути водитель мотоцикла догнал велосипедиста в первый раз. Спустя еще 30 минут мотоциклист догнал велосипедиста повторно. Требуется определить, какова скорость мотоциклиста, в том случае, когда длина трассы составляет 30 км. Ответ необходимо представить в км/ч.

Решение

В первую очередь требуется перевести минуты в часы. Скорости мотоциклиста и велосипедиста можно обозначить х и у. В первый раз водитель мотоцикла обогнал велосипедиста, спустя 10 минут или 1/6 часа после начала движения. До этого момента велосипедист находился в движении 40 минут или 2/3 часа.

Можно упростить запись условий задачи:

велосипедист: v = х, t = 2/3, S = 2/3*х;

мотоциклист: v = у, t = 1/6, S = 1/6*у.

Велосипедист и мотоциклист преодолели одинаковый путь:

\(\frac{1}{6}y=\frac{2}{3}x\)

Спустя 30 минут или 1/2 часа после первого обгона мотоциклист выполнил второй обгон велосипедиста.

Таким образом:

велосипедист: v = х, t = 1/2, S = 1/2*х;

мотоциклист: v = у, t = 1/2, S = 1/2*у.

Требуется определить расстояния, которые преодолели гонщики. Мотоциклист обогнал велосипедиста, то есть проехал больше на один круг. Это является ключевым моментом в данной задаче. Один круг составляет 30 километров. Второе уравнение будет иметь вид:

\(\frac{1}{2}y-\frac{1}{2}x=30\)

Далее необходимо решить полученную систему:

у = 4х

у – х = 60

Таким образом, х = 20, у = 80.

Ответ: скорость мотоциклиста равна 80 км/ч.

Бывают задания на движение тела по окружности с повышенной степенью сложности. Как правило, подобные примеры при невозможности проведения экспериментов требуют сложных вычислений.

Задача 3

На часах со стрелками время 8 часов 00 минут. Требуется определить, через сколько минут минутная стрелка в четвертый раз догонит часовую стрелку.

Решение

Спустя один час минутная стрелка преодолевает один круг, а часовая проходит лишь 1/12 циферблата. Допустим, что скорости равны 1 круг в час и 1/12 круга в час соответственно. Начало движения приходится на 8.00. Необходимо определить время, в течение которого минутной стрелке в первый раз удастся догнать часовую.

Минутная стрелка преодолеет на 2/3 круга больше. Исходя из этого, можно записать уравнение:

\(1*t-\frac{1}{12}t=\frac{2}{3}\)

Таким образом, спустя 8/11 часа стрелки совпадут. Предположим, что через время z стрелки совпадут повторно. Минутная стрелка преодолеет расстояние 1*z, а часовая 1/12*z. При этом минутной стрелкой будет пройдено на один круг больше. Можно записать уравнение:

\(1*z-\frac{1}{12}z=1\)

Решение данного уравнения будет таким:

\(z=\frac{12}{11}\)

Таким образом, через 12/11 часа стрелки совпадут повторно. Спустя еще 12/11 часа они встретятся вновь и так далее. Поэтому при старте в 8.00 в четвертый раз минутная стрелка догонит часовую через:

\(\frac{8}{11}+3\frac{12}{11}\) часа

Ответ: минутная и часовая стрелки совпадут в четвертый раз через \(\frac{8}{11}+3\frac{12}{11}\)часа.

Нередко при решении задач на движение по окружности требуется рассчитать среднюю скорость тела. Важно, что данная величина не совпадает со средним арифметическим скоростей. Средняя скорость определяется с помощью формулы:

\(v=\frac{S_{0}}{t_{0}}\)

где v является средней скоростью;

S₀ представляет собой общий путь;

t₀ определяет общее время.

При наличии двух участков пути средняя скорость рассчитывается по формуле:

\(v=\frac{S_{1}+S_{2}}{t_{1}+t_{2}}\)

Наиболее сложными задачами считаются примеры с пятизначными дискриминантами. Рассмотрим алгоритм действий в таком случае.

Задача 4

Пара гонщиков участвует в соревновании. Путь, который требуется преодолеть, равен 60 кругам кольцевой трассы в 3 км. После одновременного старта первый гонщик пересек финиш раньше, чем второй на 10 минут. Требуется рассчитать среднюю скорость второго гонщика. Известно, что впервые первый участник обогнал второго на круг, спустя 15 минут после начала движения. Ответ требуется записать в км/ч.

Решение

Первый участник гонки, находясь в движении 15 минут, догнал второго гонщика на первом круге. Таким образом, в течение 15 минут он преодолел на 1 круг или на 3 км больше, чем второй. За час первый гонщик проехал 3*4=12 километров больше. При этом скорость его движения на 12 км/ч превышает скорость второго гонщика. 10 минут соответствует ¼ часа. Можно записать уравнение:

\(\frac{180}{x}-\frac{180}{x+12}=\frac{1}{6}\)

Далее необходимо преобразовать выражение к квадратному уравнению:

\(x^{2}+12x-12960=0\)

Таким образом, получен пятизначный дискриминант. Есть более простой вариант решения задачи. Можно записать уравнение:

\(\frac{180}{x}-\frac{180}{x+12}=\frac{1}{6}\)

В нем 180 можно поделить на 12. Заменим х=12z:

\(\frac{180}{12z}-\frac{180}{12z+12}=\frac{1}{6}\)

\(\frac{15}{z}-\frac{15}{z+1}=\frac{1}{6}\)

\(\frac{90}{z}-\frac{90}{z+1}=1\)

Данное равенство можно преобразить в квадратное уравнение. Целый положительный корень такого выражения z=9. Тогда получим:

\(х=12z=108\)

Ответ: средняя скорость второго гонщика равна 108 км/ч.

Нахождение линейной скорости при движении по окружности

Любая точка, находящаяся на окружности, перемещается с некоторой скоростью. Данная величина называется линейной скоростью. Вектор линейной скорости всегда совпадает по направлению с касательной к окружности. К примеру, стружка из точильного станка движется, повторяя направление мгновенной скорости.

Можно рассмотреть какую-то точку на окружности, совершившую один оборот. При этом было затрачено время равное периоду Т. Расстояние или путь, пройденный точкой, представляет собой длину рассматриваемой окружности.

Задачи на тему равномерное движение по окружности

Задача 1

Радиус выпуклого моста равен 90 м. Требуется определить скорость, с которой автомобиль должен пройти его середину, чтобы пассажир на мгновение ощутил невесомость.

Решение

Согласно условиям задачи:

R = 90 м

N = 0

Сила реакции опоры обладает нулевым значением, так как пассажир в состоянии невесомости не оказывает давление на сиденье автомобиля.

Решение задачи необходимо представить в системе отсчета, которая связана с Землей. Человек совершает движение вместе с автомобилем. Ускорение при этом направлено вниз. На пассажира действует сила притяжения Земли, которая будет центростремительной:

\(mg=m\frac{v^{2}}{R}\)

Таким образом:

\(v=\sqrt{\frac{Rmg}{m}}=\sqrt{Rg}=\sqrt{90*10}=30\) м/с

Ответ: скорость автомобиля составляет 30 м/с.

Задача 2

Масса девочки 40 кг. Она качается на качелях, длина подвеса которых составляет 4 м. Требуется определить силу, с которой девочка давит на сиденье при прохождении среднего положения со скоростью 5 м/с.

Решение

На девочку действует сила тяжести \(m\vec{g}\) и сила реакции опоры \(\vec{N}\).

Качели находятся под действием силы давления  \(\vec{F_{g}}\), которая направлена вниз. Согласно третьему закону Ньютона, данная сила соответствует взятой со знаком минус силе реакции опоры:

\(\vec{F_{g}}=-\vec{N}\)

Таким образом, решением задачи является определение силы реакции опоры. Исходя из закона динамики:

\(m\vec{g}+\vec{N}= m\vec{a}\)

В проекции на ось Х:

\(N-mg=m\frac{v^{2}}{R}\)

Из чего следует вывод:

\(F_{g}=\left|N \right|=m(g+\frac{v^{2}}{R})\)

\(F_{g}=40(10+\frac{5^{2}}{4})=650\) Н

Ответ: сила равна 650 Н.

Задача 3

Шарик привязали с помощью нити к подвесу. Он описывает в горизонтальной плоскости окружность, совершая движение с постоянной скоростью. Нить обладает длиной 0,6 м и составляет с вертикалью угол в 60 градусов. Необходимо рассчитать, какова скорость шарика.

Решение

Сумма сил \(m\vec{g}\) и натяжения \(\vec{F_{n}}\), исходя из правила параллелограмма, соответствует результирующей силе, направленной в центр вращения \(\sum_{i}^{}{\vec{F}_{i}}\):

\(\sum_{i}^{}{\vec{F}_{i}}= m\vec{g}+\vec{F_{n}}= m\vec{a}\)

Силы в сумме определяются из прямоугольного треугольника с углом α равным 60 градусам. Исходя из того, что \(\vec{F_{n}}\) является противолежащим катетом, получим:

\(\vec{F_{n}}=mg*tg α\)

Таким образом:

\(mg*tg α= m\vec{a}= m\frac{v^{2}}{R}\)

\(v^{2}=\frac{mg*\tan \alpha *R}{m}=gR*\tan \alpha\)

R включен в прямоугольный треугольник, в котором длина нити представляет собой гипотенузу. R является катетом, противолежащий углу α в 60 градусов.

\(R=l*\sin \alpha\)

Преобразив формулу квадрата скорости шарика с помощью подстановки выражения для радиуса, получим:

\(v^{2}=gl*\sin \alpha *\tan \alpha \)

\(v=\sqrt{gl*\sin \alpha *\tan \alpha }=\sqrt{10*0.6*\frac{\sqrt{3}}{2}*\sqrt{3}}=3\) м/с

Ответ: скорость шарика составляет 3 м/с.

Задача 4

Необходимо определить максимальную скорость мотоцикла по горизонтальной плоскости, который описывает при этом дугу окружности с радиусом 100 м. Коэффициент трения резины о плоскость составляет 0,4.

Решение

Во время поворота мотоцикл наклоняется к центру поворота. На транспортное средство оказывают действие:

• сила тяжести \(m\vec{g}\);
• сила реакции опоры \(\vec{N}\);
• сила трения \(\vec{F_{tr}}\);
• сила тяги \(\vec{F_{t}}\);
• сила сопротивления \(\vec{F_{c}}\).

Данные силы в сумме составляют:

\(m\vec{g}+\vec{N}+\vec{F_{tr}}+\vec{F_{t}}+\vec{F_{c}}= m\vec{a}\)

Согласно выражениям:

\(m\vec{g}+\vec{N}=0\)

\(\vec{F_{t}}+\vec{F_{c}}=0\)

Получим:

\(\vec{F_{tr}}= m\vec{a}\)

Сила трения составляет:

\(F_{tr}= \mu mg\)

Таким образом:

\(\mu mg=ma= m\frac{v^{2}}{R}\)

\(v=\sqrt{\frac{\mu mgR}{m}}=\sqrt{\mu gR}=\sqrt{0.4*10*100}=20\) м/с

Ответ: максимальная скорость равна 20 м/с.

Задачи разной сложности по теме движения тела по кружности часто встречаются не только в школьной программе, но и во время обучения в вузе. Знание основных закономерностей позволит быстро найти решение примера любой сложности. Если в процессе расчетов возникают трудности, всегда можно обратиться за помощью к сервису Феникс.Хелп.