Формулы Дж. Максвелла являются основой теоретического описания электромагнитных явлений, которое предложил ученый. С помощью выявленных закономерностей объясняют эмпирические факты, известные в тот период времени, и предсказываются некоторые эффекты. Основным выводом, который выражает теория Максвелла, является положение, подтверждающее наличие волн электромагнитного характера, распространяющихся со скоростью света.

Уравнения Максвелла

С помощью обозначения формул Максвелла обобщают основные закономерности электрических и электромагнитных явлений. Как основа теоретического исследования электромагнитного поля, данная система формул направлена на решение задач на поиск электрических и магнитных полей, образованных путем заданного распределения электрических зарядов и токов. Уравнения Максвелла послужили основой для развития теории относительности Эйнштейна. Благодаря объяснению теории Максвелла, удалось раскрыть электромагнитную природу света.

Самостоятельно Максвеллом было выведено 20 формул, в которых использовалось 20 неизвестных, записанных в дифференциальном виде. В дальнейшем уравнения были преобразованы. Данные исследования получили негативные оценки критиков, которые являлись современниками Максвелла. Причиной является существенное отличие предложенных формул от ранее известных определений.

Несмотря на скептическое отношение в то время, сегодня уравнения Максвелла воспринимаются, как правильные и справедливые не только для привычного макромира, но и областей квантовой механики. Благодаря данному исследованию, произошел настоящий переворот восприятия людьми научной картины мира. Уравнения предвосхитили обнаружение радиоволн и продемонстрировали смысл электромагнитной природы света.

Границы применимости уравнений Максвелла

При необходимости исследований с учетом движения среды, формулы Максвелла не изменяют, а движение учитывают при составлении материальных уравнений. В данных отношениях наблюдается зависимость от характеристики скорости сред, что усложняет формулы в системе СИ. При этом материальные уравнения более не являются соотношениями между парами величин. К примеру, наблюдается зависимость плотности тока проводимости от индукции магнитного поля, наряду с напряженностью электрического поля. Для системы уравнения Максвелла характерны следующие ограничения:

• неподвижность материальных тел в поле;
• зависимость постоянных ε, μ, σ от координат, но не от времени и векторов поля;
• отсутствие в поле постоянных магнитов и ферромагнетиков.

Первое уравнение Максвелла

Описание данного уравнения тесно связано с понятием дивергенции. Данное явление называют дифференциальным оператором, с помощью которого определяют поток конкретного поля сквозь какую-то поверхность. Уместно сравнить данную систему с краном или трубой. К примеру, при большом диаметре крана и напора в трубе увеличивается поток жидкости через поверхность в виде крана. Современная форма первого уравнения Максвелла имеет следующий вид:

\(div\vec{E}=\frac{\rho }{\varepsilon _{0}}\)

В данном уравнении Максвелла Е является векторным электрическим полем, зависящим от суммарного заряда, который заключен внутри замкнутой поверхности. Данное уравнение является законом Гаусса.

Второе уравнение Максвелла

Данная формула, выведенная ученым, представляет собой закон Фарадея. На основе данных закономерностей функционируют электрические двигатели. В конструкции моторов ток в катушке возникает, благодаря вращающимся магнитам. Второе уравнение Максвелла имеет следующий вид:

\(rot\vec{E}=\frac{d\vec{B}}{dt}\)

Ротор электрического поля в виде интеграла через замкнутую поверхность выражается скоростью, с которой изменяется магнитный поток, пронизывающий эту поверхность. Наглядным примером такого явления может служить вода в ванной, сливаемая через отверстие. Вокруг слива будет образована воронка. Ротор в этом случае будет являться суммой или интегралом векторов скоростей молекул воды, вращающихся вокруг сливного отверстия.

Третье уравнение Максвелла

Представленная ученым формула является законом Гаусса. Следует отметить, что третье уравнение Максвелла справедливо не для электрического поля, а для магнитного. Формулировка имеет следующий вид:

\(div\vec{B}=0\)

Данное соотношение демонстрирует нулевое значение потока магнитного поля через замкнутую поверхность. Электрические заряды с положительным или отрицательным значением существуют отдельно друг от друга и приводят к образованию электрического поля в окружающей среде. Магнитные заряды в природе отсутствуют.

Четвертое уравнение Максвелла

Данная формула считается наиболее важной из всех приведенных ранее. Согласно четвертому уравнению, Максвелл определил что такое ток смещения. Равенство записывают таким образом:

\(rot\vec{B}=\frac{j}{\varepsilon _{0}c^{2}}+\frac{1}{c^{2}}\frac{dE}{dt}\)

Данные уравнения носят название теоремы о циркуляции вектора магнитной индукции. Согласно этому утверждению, вихревое магнитное поле образовано электрическим током и изменением электрического поля.

Следствия из уравнений Максвелла

Все формулы объясняют определенные явления. Суть каждого из них заключается в следующем:

• первое уравнение – электрическое поля образовано электрическим зарядом;
• второе уравнение – вихревое электрическое поле является результатом изменений магнитного поля;
• третье уравнение – отсутствие в природе магнитных зарядов;
• четвертое уравнение – вихревое магнитное поле сформировано электрическим током и изменением электрической индукции.

Уравнения Максвелла полностью соотносятся с принципами специальной теории относительности. Формулы необходимы для микроскопического описания вещества в условиях классического электромагнитного поля и заряженных частиц, подчиняющихся принципам квантовой механики. Более последовательное объединение полевого подхода с принципами квантовой механики осуществляют по средствам методов квантовой теории поля в квантовой электродинамике.

Подобные дисциплины изучают студенты современных профильных вузов. Данные области научных знаний достаточно сложны для восприятия. Поэтому при возникновении трудностей в образовательном процессе можно обратиться к ресурсу Феникс.Хелп.

Одно из самых значимых понятий в математике — интеграл. Термин часто можно встретить при решении задач по математике и физике. С помощью интеграла существенно упрощается поиск площади под кривой, пройденного пути объекта, движущегося неравномерно, массы неоднородного тела, функции по производной.

Что такое интеграл — понятие и определение

Интеграл является эффективным инструментом для решения задач из математического анализа. Слово «интеграл» происходит от латинского «integer», то есть «целый». Впервые это понятие ввел Иоганн Бернулли.

Разобраться в определении интеграла можно, если рассмотреть понятный график функции:

Исходя из графика, можно сделать вывод, что интегралом является сумма малых частей, которые составляют в целом рассматриваемый объект. Компоненты складываются в какую-то геометрическую фигуру. При сложении этих частей можно определить, какова ее площадь. Таким образом, пояснение для интеграла заключается в следующем: интеграл является площадью какой-то фигуры, расположенной под линией функции.

Данное понятие относится к определенному интегралу. Он определен на отрезке между точками а и b. В верхней части в качестве ограничения выступает некоторый график функции, как представлено на рисунке:

Математическая запись интеграла:

\(\int_{a}^{b}{f(x)dx}\)

где f(x) является той самой функцией, график которой ограничивает фигуру в верхней части;

a и b представляют собой пределы;

x соответствует направлению, вдоль которого построены столбцы на графике.

Процесс интегрирования является обратным дифференцированию. В том случае, когда требуется определить минимальный промежуток заданной функции, целесообразно взять от нее производную. Это объясняется тем, что производная или дифференциал являются быстрым методом поиска части чего-либо. Можно наглядно определить с помощью рисунка, что минимальная фигура, которая является частью целого, при таком числе составляющих компонентов не повторяет форму кривой функции. Таким образом, требуется уменьшить габариты таких частей, чтобы они максимально точно совпадали с графиком. Площадь наименьшего компонента фигуры будет стремиться к нулевому значению. Точность повышается с уменьшением размеров рассматриваемой части. Площадь геометрической фигуры состоит из суммы таких частей, которые стремятся к нулю. Записать это можно с помощью уравнения:

\(P=\lim_{\Delta x_{i}\rightarrow 0}\sum{y_{i}\Delta x_{i}}\)

Подробно полученное выражение можно рассмотреть на графике:

Площадь малой части фигуры определяется так же, как площадь прямоугольника. Значение Y нужно помножить на значение ΔХ. Так как фигура представляет собой совокупность малых частей, то их требуется сложить. Следует учитывать, что каждый компонент фигуры ΔХ стремится к нулевому значению. Поэтому формула, которая представлена выше, включает это условие и позволяет определить результат максимально точно.

Если обозначить количество частей ΔХ, стремящихся к бесконечности, то можно определить, что существует предел интегральной суммы, которая состоит из таких компонентов, стремящихся к нулю и к бесконечности по числу таких частей. Таким образом, правая граница фигуры, изображенной на графике, является пределом. В этом выражается геометрический смысл определенного интеграла.

Физический смысл интеграла состоит в том, что это сумма бесконечно малых величин на бесконечно большом интервале. Исходя из этого, можно определить любую величину, которая изменяется, согласно функции. К примеру, рассчитать общий путь по закону изменения скорости. Необходимость в интеграле возникла, когда потребовалось рассчитать площади каких-либо фигур и объем любых тел, выбранных произвольно.

В том случае, когда расчеты подразумевают наличие постоянной характеристики, к примеру, скорости, найти путь можно с помощью произведения этой постоянной скорости и времени. Этот же момент можно проверить при вычислении интеграла от такой функции и записи уравнения прямой. Но скорость в процессе движения может меняться. Данное изменение можно представить в виде зависимости. Тогда следует вписать граничные условия, например, в случае пути — это время, в интеграл скорости по времени. Полученное выражение будет равно площади трапеции, которая расположена под функцией скорости, что является физическим смыслом определенного интеграла.

Свойства, которыми обладает определенный интеграл:

1. Когда функции f и g интегрируются на интервале [a, b], то для любых чисел \(\alpha\) и \(\beta (\alpha \in R,\ \beta \in R)\) функция \(\varphi(x) = \alpha f(x) + \beta g(x)\) также интегрируема на отрезке [a, b]. Справедливо равенство: \(\int\limits_a^b (\alpha f(x) + \beta g(x)) dx = \alpha \int\limits_a^b f(x) dx + \beta \int\limits_a^b g(x) dx.\label{ref1}\)
2. Если функции f и g интегрируемы на отрезке [a, b], то функция \(\varphi(x) = f(x)g(x)\) также интегрируема на этом отрезке.
3. В том случае, когда функция f(x) интегрируема на отрезке \(\Delta = [a, b]\) она интегрируема на любом отрезке \(\Delta_{1} \subset \Delta.\)
4. При функции f(x), интегрируемой на отрезке [a, b] и a < c  < b, будет работать формула: \(\int\limits_a^b f(x) dx = \int\limits_a^c f(x) dx + \int\limits_c^b f(x) dx\)
5. При функции f, интегрируемой на отрезке [a, b] и если \(c_{1}, c_{2}, c_{3}\) являются любыми точками данного интервала, то \(\int\limits_{c_{1}}^{c_{3}} f(x) dx = \int\limits_{c_{1}}^{c_{2}} f(x) dx + \int\limits_{c_{2}}^{c_{3}} f(x) dx\)

Термин «неопределенный интеграл» применим в ситуациях, когда требует найти площадь криволинейной трапеции, путь в соответствии с известной скоростью тела, которое движется неравномерно, и для решения других подобных задач.

Свойства, которыми характеризуется неопределенный интеграл:

1. Константу можно выносить за знак интеграла: \(\int kf(x) dx = k\int f(x) dx\)
2. Интеграл разности или суммы функций соответствует разности или сумме интегралов от этих функций: \(\int ( f(x) \pm g(x) ) dx = \int f(x) dx \pm \int g(x) dx\)
3. Производная интеграла определяется как выражение, находящееся под знаком интеграла: \(\bigg (\int f(x) dx \bigg )' = f(x)\)
4. Интеграл от производной функции равен сумме этой функции и постоянной: \(\int F'(x) dx = F(x) + C\)
5. Интеграл дифференциала функции равен сумме этой функции и постоянной интегрирования: \(\int df(x) dx = f(x) + C\)

Таблица интегралов для студентов

Такие формулы позволяют упростить решение многих задач. Основные интегралы:

\(\int 0dx=C\)

\(\int dx=\int 1dx=x+C\)

\(\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1}+C\)

\(\int \frac{dx}{x}=\ln |x|+C\)

\(\int a^x dx = \frac{a^x}{\ln a} + C\)

\(int e^x dx = e^x + C\)

\(\int \sin x dx = -\cos x + C\)

\(\int \cos x dx = \sin x+C\)

\(\int \frac{dx}{\sin^2 x}=-ctgx + C\)

\(\int \frac{dx}{\cos^2 x}=tgx+C\)

\(\int \frac{dx}{\sqrt{a^2-x^2}}=\arcsin \frac{x}{a}+C\)

\(\int \frac{dx}{a^2+x^2}=\frac{1}{a}arctg\frac{x}{a}+C\)

\(\int \frac{dx}{a^2-x^2}=\frac{1}{2a} \ln|\frac{a+x}{a-x}|+C\)

\(\int \frac{dx}{\sqrt{x^2\pm a^2}}=\ln|x+\sqrt{x^2\pm a^2}|\)

Методы решения интегралов

Данные методики позволяют преобразовать сложные уравнения в простые формы, решения которых можно найти в таблице. Также к преобразованным выражениям можно применять свойства интегралов.

Непосредственное интегрирование

Данный метод целесообразно применять, когда в интеграле имеются табличные простейшие функции, либо функции, которые можно представит в таком виде по результатам элементарных действий. К примеру, когда требуется вынести константу за знак интеграла, разбить интеграл на слагаемые в виде интегралов, чтобы в подынтегральном выражении присутствовала готовая функция для интегрирования. Можно привести простой пример:

Необходимо определить интеграл непосредственным интегрированием:

\(\int \bigg ( x^3 + \frac{3}{2\sqrt{x}} + \frac{2}{x} \bigg ) dx\)

Исходя из свойства суммы интегралов, получим:

\(\int \bigg ( x^3 + \frac{3}{2\sqrt{x}} + \frac{2}{x} \bigg ) dx = \int x^3 dx + \int \frac{3 dx}{2\sqrt{x}} + \int \frac{2 dx}{x}\)

Первый интеграл записан в табличном виде. В таком случае можно воспользоваться непосредственным интегрированием:

\(\int x^3 dx = \frac{x^{3+1}}{3+1} = \frac{x^4}{4} + C\)

Второй интеграл обладает константой, которую допустимо вынести за знак. Затем интеграл будет преобразован в табличную форму:

\(\int \frac{3dx}{2\sqrt{x}} = 3 \int \frac{dx}{2\sqrt{x}} = 3 \sqrt{x} + C\)

В третьем интеграле можно вынести константу. Далее необходимо воспользоваться методом непосредственного интегрирования:

\(\int \frac{2dx}{x} = 2\int \frac{dx}{x} = 2 \ln x + C\)

Полученные выражения необходимо представить в виде одной записи:

\(\int \bigg ( x^3 + \frac{3}{2\sqrt{x}} + \frac{2}{x} \bigg ) dx = \frac{x^4}{4} + 3\sqrt{x} + 2\ln x + C\)

Ответ: \(\int \bigg ( x^3 + \frac{3}{2\sqrt{x}} + \frac{2}{x} \bigg ) dx = \frac{x^4}{4} + 3\sqrt{x} + 2\ln x+ C\)

Метод подведения под знак дифференциала

Решить некоторые типы интегралов можно с помощью этого способа. Он заключается в вынесении под знак интеграла. Таким образом получается интеграл табличной формы. Формула имеет следующий вид:

\(f'(x) dx = d( f(x) )\)

В том случае, когда подынтегральная функция содержит произведение пары функций, одна из которых представляет собой дифференциал другой, нужно внести под знак дифференциала нужную функцию. Данное действие можно записать таким образом:

\(\int f(\varphi(x)) \varphi'(x) dx = \int f(\varphi(x)) d(\varphi(x))=\int f(u) du\)

\(u=\varphi(x)\)

Воспользоваться способом подведения основных функций можно при знании таблицы производных и интегрирования. Из них следуют следующие уравнения:

\(dx = d(x+c) \)

\(c=const\)

\(-\sin x dx=d(\cos x)\)

\(dx=\frac{1}{a} d(ax)\)

\(\cos x dx = d(\sin x)\)

\(xdx=\frac{1}{2} d(x^2+a) \)

\(\frac{dx}{x} = d(\ln x)\)

\(-\frac{dx}{x^2}= d(\frac{1}{x})\)

\(\frac{dx}{\cos^2 x} = d(tg x)\)

\(\int f(kx+b)dx = \frac{1}{k} \int f(kx+b)d(kx+b) = \frac{1}{k} F(kx+b) + C\)

В качестве примера можно решить задачу на нахождение интеграла, обладающего таким видом:

\(\int \sin x \cos x dx\)

В этом случае допустимо заносить под знак дифференциала любую из указанных функций. Целесообразно занести \(cos x\) из-за удобства смены знаков. Применяя формулы, получим:

\(\int \sin x \cos xdx = \int \sin x d(\sin x) = \frac{1}{2} \sin^2 x + C\)

Ответ: \(\int \sin x \cos x dx = \frac{1}{2} \sin^2 x + C\)

Метод интегрирования по частям

Данная методика применима, когда требуется решить интегралы от произведения двух простейших функций. Одна из них достаточно просто дифференцируется, а вторая — интегрируется. В данном случае справедлива методика для неопределенных и определенных интегралов. Неопределенный интеграл характеризуется уравнением:

\(\int udv = uv - \int vdu\)

Определенный интеграл соответствует формуле:

\(\int \limits_{a}^{b} udv = uv \bigg |_{a}^{b} - \int \limits_{a}^{b} vdu\)

В качестве примера можно определить интеграл:

\(\int xe^xdx\)

Заметим, что в состав подынтегральной функции входит пара функций. Одна из них путем дифференцирования преобразуется в единицу, а вторая достаточно просто интегрируется. Поэтому в данном случае справедлив метод интегрирования по частям. Можно предположить, что:

\(u = x \rightarrow du=dx\)

\(dv = e^x dx \rightarrow v=e^x\)

Далее необходимо подставить полученные значения в первую формулу интегрирования:

\(\int xe^x dx = xe^x - \int e^x dx = xe^x - e^x + C\)

Ответ: \(\int xe^x dx = xe^x - e^x + C\)

Метод замены переменной или метод подстановки

Этот способ нахождения интегралов применим в задачах, где одна функция — это производная второй функции. Допустим, что интеграл записан так:

\(\int f(x) dx\)

Можно заменить \(x=\phi(t)\). При этом функция \(\phi(t)\) является дифференцируемой, поэтому можно найти \(dx = \phi'(t) dt.\)

Далее следует подставить \(\begin{vmatrix} x = \phi(t) \\ dx = \phi'(t) dt \end{vmatrix}\) в интеграл. Таким образом:

\(\int f(x) dx = \int f(\phi(t)) \cdot \phi'(t) dt\)

Полученное выражение является формулой замены переменной в неопределенном интеграле.

При условиях задачи, которая содержит интеграл \(\int f(\phi(x)) \cdot \phi'(x) dx\), целесообразно заменить переменную на новую:

\(t = \phi(x)\)

\(dt = \phi'(t) dt\)

Таким образом, интеграл преобразуется в форму, которую легко рассчитать с помощью основных методов интегрирования:

\(\int f(\phi(x)) \cdot \phi'(x) dx = \int f(t)dt\)

Следует помнить, что по итогам расчетов требуется вернуть замененную переменную назад к x.

Например, можно рассмотреть задачу, по условиям которой необходимо вычислить неопределенный интеграл с помощью замены переменной:

\(\int e^{3x} dx\)

Замена переменной будет выполнена следующим образом:

\(t = 3x\)

\(dt = 3dx\)

Таким образом:

\(\int e^{3x} dx = \int e^t \frac{dt}{3} = \frac{1}{3} \int e^t dt =\frac{1}{3} e^t + C = \frac{1}{3} e^{3x} + C\)

Ответ: \(\int e^{3x} dx = \frac{1}{3} e^{3x} + C\)

Примеры решения

Задача 1

Требуется рассчитать определенный интеграл:

\(\int_0^1 \frac{x}{x^4+1} dx\)

Решение

Требуется заменить \(t = x^2\)

Таким образом, \(dt = 2xdx\)

Далее необходимо пересчитать пределы интегрирования для переменной t. Для этого нужно подставить 0 и 1 в замену \(t = x^2\)

В данной задаче они остались прежними. После манипуляций с подстановками получим:

\(\int_0^1 \frac{x}{x^4+1}dx = \int_0^1 \frac{1}{2} \frac{dt}{t^2+1}\)

Можно найти интеграл по таблице:

\(\int_0^1 \frac{1}{2} \frac{dt}{t^2+1}=\frac{1}{2} arctg t \bigg |_0^1\)

Используя формулу Ньютона-Лейбница, запишем решение:

\(\frac{1}{2} arctg t \bigg |_0^1 =\frac{1}{2} arctg 1 - \frac{1}{2} arctg 0 = \frac{1}{2} \cdot \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{8}\)

Ответ: \(\int_0^1 \frac{x}{x^4+1} dx = \frac{\pi}{8}\)

Задача 2

Необходимо решить определенный интеграл:

\(\int_0^\pi (x+5)\sin x dx\)

Решение

Можно заметить произведение двух функций, которое находится под интегралом. В этом случае целесообразно воспользоваться методом интегрирования по частям:

\(\int udv = uv - \int vdu\)

\(\int_0^\pi (x+5) \sin x dx = \begin{vmatrix} u = x+5 & du = dx \\ dv = \sin x dx & v = -\cos x \end{vmatrix}\)

Нужно подставить в уравнение интегрирования по частям рассчитанные данные из вертикальных скобок:

\(-(x+5)\cos x \bigg |_0^\pi&nbsp;+ \int_0^\pi&nbsp;\cos x dx\)

С помощью формулы Ньютона-Лейбница для вычисления определенного интеграла запишем ответ:

\(-(x+5)\cos x \bigg |_0^\pi + \int_0^\pi \cos x dx = -(\pi+5) \cdot (-1) + 5 + \sin x \bigg |_0^\pi = \pi + 10 + \sin \pi - \sin 0 = \pi + 10\)

Ответ:  \(\int_0^\pi (x+5)\sin x dx = \pi + 10\)

Задача 3

Требуется найти определенны интеграл, записанный в виде:

\(\int_0^2 (x^3 + 2x + 2) dx\)

Решение

Используя способ разложения интеграла на простейшие, после получения промежуточного результата необходимо интегрировать каждый интеграл индивидуально:

\(\int_0^2 (x^3+2x+2) dx = \int_0^2 x^3dx + 2\int_0^2 xdx + 2\int_0^2 dx\)

В случае первых двух интегралов целесообразно воспользоваться правилом:

\(x^p = \frac{x^{p+1}}{p+1}\)

Третий интеграл содержит константу. Таким образом:

\(\int_0^2 x^3dx + 2\int_0^2 xdx + 2\int_0^2 dx = \frac{x^4}{4} \bigg |_0^2 + 2 \frac{x^2}{2} \bigg |_0^2 + 2x \bigg |_0^2 = \frac{x^4}{4} \bigg |_0^2 + x^2 \bigg |_0^2 + 2x \bigg |_0^2 \)

Далее следует подставить пределы интегрирования в каждую функцию и записать ответ:

\(\int_0^2 x^3dx + 2\int_0^2 xdx + 2\int_0^2 dx = \frac{x^4}{4} \bigg |_0^2 + 2 \frac{x^2}{2} \bigg |_0^2 + 2x \bigg |_0^2 = \frac{x^4}{4} \bigg |_0^2 + x^2 \bigg |_0^2 + 2x \bigg |_0^2 \)

Ответ: \(\int_0^2 (x^3 + 2x + 2) dx = 12\)

Задача 4

Необходимо найти решение интеграла:

\(\int 3\cos x dx\)

Решение

Требуется вынести константу по первому свойству за знак интеграла и записать ответ:

\(\int 3\cos x dx = 3 \int \cos x dx = 3 \sin x + C\)

Ответ: \(\int 3\cos x dx = 3 \sin x + C\)

Задача 5

Необходимо определить интеграл:

\(\int (e^x + \sin x) dx\)

Решение

Исходя из первого свойства неопределенного интеграла, интеграл суммы равен сумме интегралов:

\(\int (e^x + \sin x) dx = \int e^x dx + \int \sin x dx = e^x - \cos x\)

Ответ: \(\int (e^x + \sin x) dx = e^x - \cos x\)

Задача 6

Требуется определить производную от интеграла:

\( \int \ln x dx\)

Решение

Согласно третьему свойству неопределенного интеграла, производная неопределенного интеграла определяется, как подынтегральная функция:

\(\bigg (\int \ln x dx \bigg )' = \ln x\)

Ответ: \(\bigg (\int \ln x dx \bigg )' = \ln x\)

Задача 7

Требуется доказать следующее выражение:

\( \int (x^2+x)' = x^2+x+C\)

Решение

В первую очередь необходимо определить производную подынтегральной функции:

\( (x^2+x)' = (x^2)' + (x)' = 2x + 1\)

Исходя из первого и второго свойства неопределенного интеграла, получим ответ:

\(\int (2x+1) dx = \int 2x dx + \int 1 dx = 2 \int x dx + \int 1 dx =2 \cdot \frac{x^2}{2} + x + C = x^2 + x + C\)

Ответ: выражение доказано.

Благодаря теоретическим знаниям и практическим навыкам решения задач с интегралами, можно с легкостью осваивать самые сложные темы по физике и математическому анализу. Главное — уметь пользоваться таблицей с основными формулами и свойствами определенного и неопределенного интегралов. Если в процессе изучения материала возникают трудности, то в любое время можно открыть сервис Феникс.Хелп. 

Понять окружающий мир можно с помощью фундаментальных законов физики. Благодаря изучению взаимодействия электрических зарядов ученые совершают открытия в области электродинамики. Данные закономерности были обнаружены еще до Шарля Кулона. Однако исследователь первым обнародовал свои выводы.

Закон Кулона простым языком

С помощью данной закономерности можно описать механизм взаимодействия тел, обладающих зарядом. Закон Кулона является фундаментальным, то есть обладает экспериментальным подтверждением и не был установлен на основе какого-либо природного закона. Формулировка утверждения справедлива для точечных зарядов в вакуумной среде, которые неподвижны. В реальном мире подобная ситуация невозможна. Однако таковыми можно считать заряды, обладающие размерами, существенно меньшими по сравнению с расстоянием между ними. Сила взаимодействия в воздухе практически соизмерима с силой взаимодействия в вакууме и отличается лишь на одну тысячную.

Описание механизма взаимного воздействия неподвижных зарядов друг на друга было представлено физиком из Франции Ш. Кулоном в 1785 году. В подтверждение закона были проведены опыты по измерению взаимодействия между шарами с размерами, которые значительно меньше, чем расстояние, на котором они расположены. Подобные тела получили название точечных зарядов. По итогам многочисленных опытов Кулон вывел закон.

Модули зарядов обозначают, как \(|q_1|\) и \(|q_2|\). В этом случае Закон Кулона можно представить в виде уравнения:

\(F=k\times \frac{\left|q1 \right|\times \left|q2 \right|}{r^{2}}\)

Коэффициент пропорциональности k, согласно закону Кулона, определяется выбором системы единиц.

\(k=\frac{1}{4\pi \varepsilon _{0}}\)

Полная формула закона Кулона обладает следующим видом:

\(F=\frac{\left|q1 \right|\times \left|q2 \right|}{4\pi \varepsilon _{0}\varepsilon r^{2}}\)

где \(F\) — Сила Кулона,

\(q_1\) и \(q_2\) являются электрическими зарядами тел;

r — расстояние между зарядами;

\(\varepsilon _{0}\) — электрическая постоянная, равная \(8,85*10^{-12}\);

\(\varepsilon \)  — диэлектрическая проницаемость среды, равная 9*109;

k — коэффициент пропорциональности в законе Кулона.

Силы взаимодействия определяются третьим законом Ньютона:

\(\vec{F}_{12}=\vec{F}_{21}\)

Данные силы представляют собой силы отталкивания при одинаковых знаках зарядов и силами притяжения при разных знаках. Для обозначения электрических зарядов используют буквы q и Q. Благодаря имеющимся фактам, полученным в результате экспериментов, можно сделать следующие выводы:

1. Имеется два типа электрических зарядов, которые условно обозначают положительными и отрицательными.
2. Допускается передача заряда от одного объекта к другому, так как в отличие от массы, не принадлежат к категории неотъемлемых характеристик тела, поэтому один и тот же объект при разных обстоятельствах может обладать как положительным, так и отрицательным зарядом.
3. Одноименные заряды будут отталкиваться, а разноименные — притягиваться, что подтверждает принципиальную разницу между электромагнитными и гравитационными силами, ведь, благодаря гравитации тела в любом случае притягиваются друг к другу.

Электрическое или кулоновское взаимодействие называют взаимодействием неподвижных электрических зарядов. Существует специальный раздел в электродинамике под названием электростатика, целью которого является изучение кулоновского взаимодействия. Справедливое утверждение закона Кулона распространяется на точечные заряженные тела. В случае когда размеры зарядов намного меньше, чем расстояние между ними, закон Кулона действует на практике. Для его выполнения необходимо соблюдать несколько важных условий:

• точечность зарядов;
• неподвижность зарядов;
• взаимодействие зарядов в вакууме.

Единица силы тока — Ампер — относится к основным единицам измерения таким, как длина, время, масса. В Международной системе СИ принято использовать в качестве единицы заряда кулон (Кл).

Применение закона Кулона на практике

Закон Кулона работает во всех областях современной электротехники. Данное утверждение справедливо, начиная с электрического тока, заканчивая простейшим заряженным конденсатором. Простейший случай — введение диэлектрика. Сила, с которой заряды взаимодействуют в вакууме, больше, чем сила взаимодействия аналогичных зарядов, разделенных диэлектрическим материалом.

Диэлектрической проницаемостью среды называют величину для количественного определения сил, независимо от расстояния между зарядами и от их величин. Чтобы рассчитать силу, которая будет действовать в присутствии диэлектрика, необходимо силу взаимодействия зарядов в вакууме поделить на диэлектрическую проницаемость внесенного диэлектрика.

С помощью изучения закона Кулона удается спроектировать сложное исследовательское оборудование в виде ускорителя заряженных частиц. Подобные установки функционируют на механизме взаимодействия электрического поля и заряженных частиц. Энергия частицы увеличивается за счет работы, которую совершает электрическое поле в ускорителе. Закон Кулона в этом случае полностью соблюдается, так как ускоряемую частицу можно рассмотреть в качестве точечного заряда, а действие ускоряющего электрического поля ускорителя представить в виде суммарной силы со стороны других точечных зарядов.

Направление частицы, исходя из силы Лоренца, определяет магнитное поле. Данная сила не воздействует на энергию и траекторию движения частиц в ускорителе.

К наиболее распространенным защитным электротехническим сооружениям относят молниеотводы. Работа данного устройства основана на законе Кулона. Гроза сопровождается появлением на Земле больших индуцированных зарядов. Заряды притягиваются в направлении грозовой тучи. В результате на поверхности планеты образуется мощное электрическое поле. В области острых проводников напряженность поля достигает больших значений. На заостренном наконечнике молниеприемника включается коронный заряд, который притягивается к заряду грозового облака, согласно закону Кулона. Около молниеотвода коронный заряд сильно ионизирует воздух, что приводит к уменьшению напряженности электрического поля вблизи острия. Индуцированные заряды не скапливаются на здании, что снижает вероятность возникновения молний. При ударе молнии заряд полностью будет отведен в землю без повреждения установки.

Примеры решения задач на напряженность электрического поля

Задача 1

В вакуумной среде расположена пара одинаковых положительных точечных зарядов. Расстояние между ними составляет r. Необходимо определить напряженность электрического поля в точке, которая равноудалена на расстояние r от этих зарядов.

Решение:

Исходя из принципа суперпозиции полей, напряженность, которую нужно вычислить, определяется геометрической суммой напряженностей полей, которые создаются зарядами. Формула будет иметь следующий вид:

\(\vec{E}=\vec{E_{1}}+\vec{E_{2}}\)

Модули напряженности полей зарядов определяются таким образом:

\(\vec{E_{1}}=\vec{E_{2}}=k\frac{q}{r^{2}}\)

Если с помощью векторов первого и второго электрических полей построить параллелограмм, то его диагональ будет обозначать напряженность результирующего поля. Модуль напряженности результирующего поля равен:

\(E=2E_{1}\cos 30^{0}=2k\frac{q}{r^{2}}\frac{\sqrt{3}}{2}=k\frac{q\sqrt{3}}{r^{2}}\)

Задача 2

Проводящая сфера, радиус (R) которой равен 0,2 метра, обладает зарядом (q) \(1,8*10^{-4}\) Кл. Сфера находится в вакуумной среде. Необходимо определить:

• модуль напряженности электрического поля \(\vec{E}\) на ее поверхности;
• модуль напряженности электрического поля \(\vec{E_{1}}\) в точке, которая удалена на расстояние \(r_1\) = 10 метров от центра сферы;
• модуль напряженности \(\vec{E_{0}}\) в центральной точке сферы.

Решение:

Электрическое поле, характерное для заряженной сферы, будет равно полю точечного заряда. Отсюда следует равенство:

\(E=k\frac{q}{r^{2}}\)

Таким образом, искомые величины можно рассчитать:

• \(E=k\frac{q}{R^{2}}=4\times 10^{7}\) (Н/Кл);
• \(E=k\frac{q}{r_{1}^{2}}=16\times 10^{3}\) (Н/Кл);
• напряженность поля в сфере, независимо от местонахождения точки, соответствует нулевому значению, то есть Е0 = 0.

Знание основных физических формул является гарантией успешного решения задач не только школьной программы, но и вуза. Если в процессе обучения и постижения законов физики у студентов возникают проблемы, то решение есть. Можно воспользоваться сервисом Феникс.Хелп, чтобы сэкономить массу времени и получить результат высокого качества. 

С электрическим полем человек сталкивается не только на уроках физики в школе или институте, но и в повседневной жизни. Изучение такого явления способствует техническому прогрессу. Важно уметь пользоваться основными формулами для расчета характеристик электрического поля, что поможет понять природу взаимодействия заряженных тел и решать задачи любой сложности.

Электрическое поле: решение задач

Электромагнитное поле возникает в процессе изменений магнитного поля, к примеру, в волнах электромагнитного характера. В физике можно встретить множество задач по теме электрического поля. Для того чтобы рассчитать характеристики данного явления, необходимо знать фундаментальные законы и основные формулы.

Электрическое поле выступает в роли материального передатчика взаимодействия заряженных частиц, который формируется вокруг наэлектризованных тел. Свойства такого физического явления:

• образуется зарядами;
• воздействует на заряженные частицы.

Напряженностью электрического поля является векторная величина в виде силовой характеристики электрического поля. Данный параметр определяется отношением силы воздействия поля на точечный положительный заряд и этого заряда. Обозначается напряженность таким образом: \(\vec{E}\) (Н/Кл)

Формула для расчета напряженности электрического поля выглядит следующим образом:

\(\vec{E}=\frac{\vec{F}}{q}\)

где q является зарядом, на который действует поле.

Напряженность поля точечного заряда определяется, согласно формулам:

\(E=\frac{F}{q}\)

\(F=K\frac{\left|Q \right|\times \left|q \right|}{r^{2}\times \varepsilon }\)

Таким образом:

\(E=K\frac{Q}{r^{2}\times \varepsilon }\)

Можно сделать вывод, что поле уменьшается при увеличении расстояния.

Принцип суперпозиции полей заключается в том, что при нахождении в точке пространства различных заряженных частиц, создающих электрические поля с напряженностью:

\(\vec{E_{1}}\), \(\vec{E_{2}}\), \(\vec{E_{3}}\), \(\vec{E_{n}}\)

Результирующая напряженности поля в указанной точке будет равна геометрической сумме этих напряженностей:

\(\vec{E}=\vec{E_{1}}+\vec{E_{2}}+\vec{E_{3}}...+\vec{E_{n}}\)

Задача №1. Закон Кулона

Шар, обладающий зарядом, соприкасается с аналогичным незаряженным шаром. Если расстояние между этими объектами составляет r=15 см, то они отталкивают друг друга с силой F=1 мН. Требуется рассчитать первоначальный заряд заряженного шара.

Решение

Соприкасаясь, одинаковые объекты делят пополам первоначальный заряд. С помощью данной силы взаимодействия можно рассчитать заряды шаров, которыми они стали обладать после соприкосновения. Перед этим необходимо перевести все величины в единицы СИ:

\(F=10^{-3}\) H

\(r = 0,15\) м

Затем необходимо записать основные формулы:

\(F=\frac{kq^{2}}{r^{2}}\)

\(q^{2}=\frac{Fr^{2}}{k}\)

\(k=\frac{1}{4\pi \varepsilon _{0}}=9\times 10^{9}\)

Подставив значения, получим уравнение:

\(q=\sqrt{\frac{Fr^{2}}{k}}=\sqrt{\frac{10^{-3}\times (0.15)^{2}}{9\times 10^{9}}}=5\times 10^{-8}\)

Известно, что первоначальный заряд был в два раза больше:

\(q=2\times 5\times 10^{-8}=10^{-7}\)

Ответ: первоначальный заряд составлял \(10^{-7}\) Кл или 10 мкКл.

Задача №2. Электрическое поле

Необходимо определить силу взаимодействия двух заряженных частиц, которые обладают зарядами по 10 нКл и удалены друг от друга на 3 см. Данные заряды можно считать точечными и находящимися в вакуумной среде.

Решение

Требуется записать значение величин в стандартном виде:

\(q_{1}=q_{2}=10\) нКл или \(10^{-8}\) Кл

\(r=3\) см или  \(r=3*10^{-2}\) м

Далее необходимо записать формулу для F:

\(F=k\frac{\left|q_{1} \right|\times \left|q_{2} \right|}{r^{2}}\)

Подставив числовые значения, получим:

\(F=9\times 10^{-9}\frac{10^{-8}\times 10^{-8}}{\left(3\times 10^{-2} \right)^{2}}=10^{-3}\) Н или 1 мН

Ответ: заряды взаимодействуют с силой в 1мН.

Задача №3. Конденсатор

Разность потенциалов между точками А и В составляет U=9 В. Значения емкости конденсаторов равны соответственно \(C_{1}=3\) мкФ и \(C_{2}=6\) мкФ. Требуется определить заряды \(Q_{1}\) и \(Q_{2}\) и разности потенциалов \(U_{1}\) и \(U_{2}\) для обкладок первого и второго конденсаторов.

Решение

Общая емкость такого соединения составит:

\(\frac{1}{C_{\Sigma }}=\frac{1}{C_{1}}+\frac{1}{C_{2}}\)

\(C_{\Sigma }=\frac{C_{1}\times C_{2}}{C_{1}+C_{2}}=\frac{3\times 6}{3+6}=2\) мкФ

Емкость рассчитана в микрофарадах для того, чтобы не прибегать к расписыванию степени десятки.

Величину заряда можно определить по формуле:

\(q_{\Sigma }=C_{\Sigma }\times U=2\times 9=18\) мкКл

Если соединение пластин конденсатора выполнено последовательно, то заряды будут обладать одинаковыми значениями. Таким образом, можно записать справедливые равенства:

\(q_{1}=q_{\Sigma }=C_{1}\times U_{1}\)

\(q_{2}=q_{\Sigma }=C_{2}\times U_{2}\)

Формула для определения напряжения на конденсаторах будет записана таким образом:

\(U_{1}=\frac{q_{1}}{C_{1}}=\frac{18\times 10^{-6}}{3\times 10^{-6}}=6\) В

\(U_{2}=\frac{q_{2}}{C_{2}}=\frac{18\times 10^{-6}}{6\times 10^{-6}}=3\) В

Ответ: разность потенциалов составляет 18 мкКл, напряжения соответственно равны 6 В и 3В.

Задача №4. Энергия конденсатора

Диэлектрическая проницаемость диэлектрика, которым заполнили плоский конденсатор, равна 2. Если конденсатор не имеет диэлектрика, то его энергия составляет 20 мкДж. Требуется рассчитать энергию конденсатора, отключенного от питания и заполненного диэлектрическим веществом.

Решение

Энергию конденсатора в незаполненном состоянии можно рассчитать по формуле:

\(W_{0}=\frac{q_{0}}{2C_{0}}=\frac{C_{0}U_{0}^{2}}{2}\)

Когда конденсатор заполнили диэлектриком, его емкость изменится таким образом:

\(C_{1}=\varepsilon C_{0}\)

Исходя из этого утверждения, энергию конденсатора можно определить так:

\(W_{1}=\frac{\varepsilon C_{0}U_{0}^{2}}{2}=\varepsilon W_{0}=2\times 20=40\) мкФ

Ответ: энергия конденсатора после заполнения диэлектрика составит 40 мкФ.

Задача №5. Потенциал поля

Два точечных зарядов величиной 100 нКл и 10 нКл удалены друг от друга на расстояние r = 10 см. Требуется определить потенциальную энергию системы этих зарядов.

Решение

Формула для расчета точечного заряда имеет вид:

\(\phi =\frac{q}{4\pi \varepsilon _{0}r}\)

Таким образом, потенциальную энергию зарядов можно рассчитать по формуле:

\(E=\frac{q_{1}q_{2}}{4\pi \varepsilon _{0}r}\)

Подставив числовые значения, получим:

\(E=\frac{10^{-7}\times 10^{-8}}{4\pi \times 8.85\times 10^{-12}\times 0.1}=9\times 10^{-5}\) Дж

Ответ: потенциальная энергия системы зарядов равна \(9\times 10^{-5}\) Дж

Вопросы на тему «Электрическое поле»

1. Как переводится слово electron с греческого языка? Ответ: Янтарь.
2. Название величины, которая характеризует свойство объектов участвовать в электромагнитных взаимодействиях. Ответ: Электрический заряд.
3. Каким образом обозначают электрический заряд в физике. Ответ: с помощью букв q или Q.
4. Единица заряда в международной системе СИ. Ответ: кулон.
5. Прибор для определения заряженных частиц. Ответ: электрометр.
6. Что такое точечный заряд? Ответ: точечным зарядом является заряженное тело с размерами, которые существенно меньше, чем расстояние между этим телом, точкой наблюдения или другими заряженными телами.
7. Пример положительно заряженных тел. Ответ: стекло, наэлектризованное путем трения о шелковую ткань.
8. Пример отрицательно заряженных тел. Ответ: эбонитовая палочка, наэлектризованная путем трения о шерстяную ткань.
9. Описать взаимодействие заряженных тел. Ответ: одинаковые заряды отталкиваются, а разноименные – притягиваются.
10. Объяснить понятие дискретности электрического заряда. Ответ: Дискретность заряда означает существование некоторого наименьшего, универсального, далее не делимого элементарного заряда.
11. Какова величина элементарного заряда? Ответ: \(e=1,6\times 10^{-19}\) Кл.
12. Дать определение протона и электрона. Ответ: Частицу, которая обладает элементарным положительным зарядом, называется протоном. Частица, для которой характерен элементарный отрицательный заряд, является электроном.
13. Объяснить положительный и отрицательный заряд тела. Ответ: Тело будет заряжено положительно, если в нем преобладает количество протонов по сравнению с числом электронов. При избытке электронов тело будет заряжено отрицательно.
14. Закон сохранения электрического заряда. Ответ: в условиях замкнутой системы алгебраическая сумма электрических зарядов сохраняет постоянное значение при любых взаимодействиях внутри этой системы.
15. Что такое изолированная или замкнутая система? Ответ: изолированной или замкнутой системой тел является такая система, в которую не добавляют и не выводят из нее электрические заряды.
16. Способы электризации тел. Ответ: трением, воздействием различных излучений, с помощью электрической индукции.
17. Когда открыт закон Кулона? Ответ: в 1785 году.
18. Какой прибор Кулон использовал в опытах? Ответ: крутильные весы.
19. Запись закона Кулона. Ответ: \(F=k\frac{\left|q_{1} \right|\times \left|q_{2} \right|}{r^{2}}\)
20. Что называют точечным зарядом? Ответ: точечным зарядом называют заряженное тело с размерами, которые можно не учитывать в решении данной задачи.
21. Единица заряда. Ответ: кулон (кл).
22. Представить запись электрической постоянной. Ответ: \(\varepsilon _{0}=8,85\times 10^{-12}\) Кл2/Н*м2.
23. Назвать источник и ключевое свойство электрического поля. Ответ: электрическое поле создается любым заряженным телом, его главным свойством является действие на электрические заряды с какой-то силой.
24. Определение напряженности. Ответ: напряженностью называют силовую характеристику электрического поля.
25. Что такое электростатическое поле. Ответ это электрическое поле зарядов, которые не двигаются и не меняются в течение времени.
26. Зачем нужны силовые линии? Ответ: с помощью силовых линий наглядно представляют электрическое поле.
27. Чему равна работа сил электростатического поля, если заряд перемещается по какой-то замкнутой траектории. Ответ: нулю.
28. Дать определение потенциала электрического поля. Ответ: физическая величина, которая равна отношению потенциальной энергии электрического заряда в электрическом поле к величине этого заряда.
29. Единицы измерения потенциала в СИ. Ответ: вольт.

Зная методику решения распространенных задач по теме электрического поля, можно без труда выполнять расчеты основных его показателей. Такие навыки и умения пригодятся для более углубленного изучения электромагнетизма и сопутствующих тем. При возникновении каких-либо трудностей в процессе освоения материала можно обратиться за помощью к ресурсу Фенинкс.Хелп. 

Каждому студенту предстоит пройти производственную практику. В процессе требуется фиксировать выполненные задачи и полученные навыки. Данная информация оформляется в виде отчета. Но это еще не все. Важно защитить свою работу перед аттестационной комиссией. Процедура похожа на стандартную защиту дипломных и курсовых проектов. Однако есть некоторые важные нюансы, которые следует учитывать, чтобы получить высокий балл.

Особенности защиты отчета по практике

На итоговую оценку практической работы влияет качество выступления студента перед аттестационной комиссией, а также то, насколько грамотно составлена и презентована защитная речь. Процесс регламентирован определенными требованиями. Как правило, студенты руководствуются методическими рекомендациями, которые имеются в каждом вузе. Защита проходит обычно, спустя две недели после практики. За это время от учащихся требуется оформить отчет и написать речь. Конкретная дата будет установлена руководством кафедры.

Допуском к защите является характеристика с места прохождения стажировки. Главные тезисы защиты:

• описание предприятия;
• специфика деятельности;
• выполняемые работы;
• выявленные проблемы;
• пути решения актуальных вопросов;
• способы оптимизации технологических и производственных процессов.

Мероприятие занимает немного времени. Рассказ студента, как правило, длится около пяти минут. Далее преподаватели могут задать вопросы по теме. Спикеру необходимо предоставить развернутые ответы, основываясь на собственных теоретических знаниях и полученных практических навыках.

Кто присутствует на защите отчета по практике

На данном мероприятии может присутствовать весь преподавательский состав кафедры. Однако в реальных условиях аттестационная комиссия состоит из одного или нескольких преподавателей. Небольшое количество проверяющих не влияет на строгость соблюдения правил и оценку защиты. Поэтому от студентов требуется ответственно подойти к подготовке отчета и речи.

Порядок защиты отчета по практике

Защитная речь должна быть напечатана на листах формата А4. Данный текст оформляется так же, как и непосредственно сам отчет по практике, включая стиль, шрифт, поля и другие параметры. Правила оформления представлены в методических рекомендациях, которые можно получить у научного руководителя или на официальном сайте института. Первый лист должен содержать следующую информацию:

• название высшего учебного заведения;
• руководитель;
• практикант;
• место и дата защиты;
• данные о руководстве предприятия;
• организация, в которой студент проходил стажировку.

Наиболее важным критерием оценки является соответствие структуры текста логике изложения. Необходимо акцентировать внимание на цели и задачах, которые были решены в процессе стажировки. Перед этим несколькими предложениями следует описать деятельность и особенности предприятия, где проходила практика. Также автор отмечает суть заданий, которые он выполнял, и уточняет несколько моментов:

• решение ряда задач требуется для достижения поставленной цели;
• краткое описание применяемых методов.

Второй пункт содержит сведения об актуальности темы практической работы и ее ценности для современных условий. Информация представляет собой краткое изложение введения и заключения отчета по практике. Раздел обычно включает 7-10 предложений. Далее студенту необходимо описать процесс стажировки, суть которой заключается в сборе данных для мониторинга. Так как этот пункт должен содержать последовательную информацию, целесообразно взять за основу для его написания дневник стажировки.

В защите следует упомянуть о проводимых исследованиях и методиках, которые при этом использовал практикант. Текст в данном случае будет кратким пересказом основной части отчета и занимает наибольший объем среди остальных пунктов. В заключении студент представляет выводы по результатам практического исследования, которые подкрепляет объективной оценкой практики.

Текст защитной речи должен быть написан в соответствии со структурой, а также быть четко сформулирован для удобного восприятия. Грамотная защита произведет благоприятное впечатление на аттестационную комиссию, послужит доказательством того, что студент владеет теоретическими знаниями и умеет применять их на практике.

Современные вузы обладают качественными материальными ресурсами. К примеру, популярностью пользуется оборудование для проведения презентаций. Подобный формат уместно использовать во время защиты производственной практики. С помощью слайдов удобно представлять графические изображения и таблицы. Данные элементы оформляются, исходя из стандартов ГОСТ, и позволяют более наглядно продемонстрировать результаты научного исследования.

При подготовке презентации следует соблюдать оптимальный объем. К примеру, если речь занимает около трех листов, то уместно подготовить десять слайдов по теме. Предварительно можно ознакомиться с примерами защиты. В качестве основных тезисов уместно использовать следующие положения:

1. Здравствуйте уважаемые члены аттестационной комиссии. Тема практической работы «…»
2. Актуальность выбранной темы в том, что «…»
3. На основании данного положения была сформулирована цель «…»
4. В процессе прохождения практики были решены следующие задачи «…».

Образец основной части:

1. Отчет составлен на базе организации «…», которая специализируется на «…». Среди основных факторов, которые оказывают влияние на дальнейшее развитие предприятия, являются «…».
2. В результате практической работы были достигнуты результаты «…».
3. Основываясь на проделанной работе, мной составлены следующие рекомендации/предложения/мероприятия по совершенствованию/повышению эффективности «…».

Заключение можно оформить в виде перечисления методов реализации планов и итогов практической работы. Также студенту следует поблагодарить аудиторию за внимание.

Какие факторы влияют на итоговую оценку, как узнать результаты

Защищая отчет по стажировке, студент должен уложиться примерно в 15 минут. Данного времени вполне достаточно, чтобы донести до аудитории ключевые аспекты проделанной работы. Одним из факторов успеха является установление контакта со слушателями. Добиться этого просто, если заранее несколько раз отрепетировать защитную речь. Читать текст не запрещено. Однако, будет лучше рассказывать его своими словами. Это произведет положительное впечатление на аттестационную комиссию, продемонстрирует уверенность студента и полное владение информацией.

Значимым фактором оценки является внешний вид докладчика:

• следует отдавать предпочтение опрятной одежде и придерживаться делового стиля;
• девушкам стоит использовать минимум косметики и парфюмерии, а также избегать глубоких декольте и коротких юбок;
• юношам лучше надеть костюм.

После того как студент провел защиту отчета по практике, члены аттестационной комиссии могут задать вопросы по теме. Следует заранее предусмотреть это, внимательно прочитать отчет и задуматься, какие моменты в нем раскрыты не полностью. Представление информации в лаконичной и доступной форме снизит вероятность возникновения вопросов у преподавателей.

Вот несколько полезных советов:

• перечитать отчет вдумчиво 3-4 раза;
• отметить слабые стороны работы;
• предугадать вопросы преподавателей, подготовиться к ответам;
• проверить отчет на соответствие требованиям ГОСТ;
• написать защитную речь заранее;
• потренироваться перед зеркалом.

Итоговая оценка защиты отчета по практике основана на нескольких ключевых показателях:

• отзыв руководителя предприятия, на котором студент проходил стажировку;
• грамотность и корректность письменного отчета;
• успешность защиты в форме отдельной оценки.

Преподаватель суммирует все баллы. После этого выставляется общая оценка.

Написать отчет по практике достаточно просто, если ответственно отнестись к выполнению поставленных задач. На защите важно продемонстрировать высокий уровень компетенции и профессионализма. Если в процессе подготовки защитной речи возникли какие-либо трудности, всегда можно обратиться к сервису Феникс.Хелп.