Решение задач по теме «Закон Кулона»

Понять окружающий мир можно с помощью фундаментальных законов физики. Благодаря изучению взаимодействия электрических зарядов ученые совершают открытия в области электродинамики. Данные закономерности были обнаружены еще до Шарля Кулона. Однако исследователь первым обнародовал свои выводы.

Закон Кулона простым языком

С помощью данной закономерности можно описать механизм взаимодействия тел, обладающих зарядом. Закон Кулона является фундаментальным, то есть обладает экспериментальным подтверждением и не был установлен на основе какого-либо природного закона. Формулировка утверждения справедлива для точечных зарядов в вакуумной среде, которые неподвижны. В реальном мире подобная ситуация невозможна. Однако таковыми можно считать заряды, обладающие размерами, существенно меньшими по сравнению с расстоянием между ними. Сила взаимодействия в воздухе практически соизмерима с силой взаимодействия в вакууме и отличается лишь на одну тысячную.

Электрическим зарядом называют физическую величину, определяющуюся свойством частиц или тел вступать в электромагнитные силовые взаимодействия.

Описание механизма взаимного воздействия неподвижных зарядов друг на друга было представлено физиком из Франции Ш. Кулоном в 1785 году. В подтверждение закона были проведены опыты по измерению взаимодействия между шарами с размерами, которые значительно меньше, чем расстояние, на котором они расположены. Подобные тела получили название точечных зарядов. По итогам многочисленных опытов Кулон вывел закон.

Кулон
Источник: avatars.mds.yandex.net

Закон Кулона гласит, что сила взаимодействия двух точечных электрических зарядов, расположенных неподвижно, в вакуумной среде прямо пропорциональна произведению их модулей и обратно пропорциональна квадрату расстояния между ними. Вектор силы ориентирован вдоль прямой, соединяющей заряды. Данная сила является силой притяжения в случае, когда заряды разноименные, либо силой отталкивания, если заряды одноименные.

Модули зарядов обозначают, как \(|q_1|\) и \(|q_2|\). В этом случае Закон Кулона можно представить в виде уравнения:

\(F=k\times \frac{\left|q1 \right|\times \left|q2 \right|}{r^{2}}\)

Коэффициент пропорциональности k, согласно закону Кулона, определяется выбором системы единиц.

\(k=\frac{1}{4\pi \varepsilon _{0}}\)

Полная формула закона Кулона обладает следующим видом:

\(F=\frac{\left|q1 \right|\times \left|q2 \right|}{4\pi \varepsilon _{0}\varepsilon r^{2}}\)

где \(F\) — Сила Кулона,

\(q_1\) и \(q_2\) являются электрическими зарядами тел;

r — расстояние между зарядами;

\(\varepsilon _{0}\) — электрическая постоянная, равная \(8,85*10^{-12}\);

\(\varepsilon \)  — диэлектрическая проницаемость среды, равная 9*109;

k — коэффициент пропорциональности в законе Кулона.

Силы взаимодействия определяются третьим законом Ньютона:

\(\vec{F}_{12}=\vec{F}_{21}\)

Данные силы представляют собой силы отталкивания при одинаковых знаках зарядов и силами притяжения при разных знаках. Для обозначения электрических зарядов используют буквы q и Q. Благодаря имеющимся фактам, полученным в результате экспериментов, можно сделать следующие выводы:

  1. Имеется два типа электрических зарядов, которые условно обозначают положительными и отрицательными.
  2. Допускается передача заряда от одного объекта к другому, так как в отличие от массы, не принадлежат к категории неотъемлемых характеристик тела, поэтому один и тот же объект при разных обстоятельствах может обладать как положительным, так и отрицательным зарядом.
  3. Одноименные заряды будут отталкиваться, а разноименные — притягиваться, что подтверждает принципиальную разницу между электромагнитными и гравитационными силами, ведь, благодаря гравитации тела в любом случае притягиваются друг к другу.

Электрическое или кулоновское взаимодействие называют взаимодействием неподвижных электрических зарядов. Существует специальный раздел в электродинамике под названием электростатика, целью которого является изучение кулоновского взаимодействия. Справедливое утверждение закона Кулона распространяется на точечные заряженные тела. В случае когда размеры зарядов намного меньше, чем расстояние между ними, закон Кулона действует на практике. Для его выполнения необходимо соблюдать несколько важных условий:

  • точечность зарядов;
  • неподвижность зарядов;
  • взаимодействие зарядов в вакууме.
Взаимодействие зарядов
Источник: infourok.ru

Кулоном называют заряд, который проходит за 1 секунду через поперечное сечение проводника при силе тока 1 Ампер.

Единица силы тока — Ампер — относится к основным единицам измерения таким, как длина, время, масса. В Международной системе СИ принято использовать в качестве единицы заряда кулон (Кл).

Применение закона Кулона на практике

Закон Кулона работает во всех областях современной электротехники. Данное утверждение справедливо, начиная с электрического тока, заканчивая простейшим заряженным конденсатором. Простейший случай — введение диэлектрика. Сила, с которой заряды взаимодействуют в вакууме, больше, чем сила взаимодействия аналогичных зарядов, разделенных диэлектрическим материалом.

Диэлектрической проницаемостью среды называют величину для количественного определения сил, независимо от расстояния между зарядами и от их величин. Чтобы рассчитать силу, которая будет действовать в присутствии диэлектрика, необходимо силу взаимодействия зарядов в вакууме поделить на диэлектрическую проницаемость внесенного диэлектрика.

С помощью изучения закона Кулона удается спроектировать сложное исследовательское оборудование в виде ускорителя заряженных частиц. Подобные установки функционируют на механизме взаимодействия электрического поля и заряженных частиц. Энергия частицы увеличивается за счет работы, которую совершает электрическое поле в ускорителе. Закон Кулона в этом случае полностью соблюдается, так как ускоряемую частицу можно рассмотреть в качестве точечного заряда, а действие ускоряющего электрического поля ускорителя представить в виде суммарной силы со стороны других точечных зарядов.

Направление частицы, исходя из силы Лоренца, определяет магнитное поле. Данная сила не воздействует на энергию и траекторию движения частиц в ускорителе.

Устройство
Источник: sb.by

К наиболее распространенным защитным электротехническим сооружениям относят молниеотводы. Работа данного устройства основана на законе Кулона. Гроза сопровождается появлением на Земле больших индуцированных зарядов. Заряды притягиваются в направлении грозовой тучи. В результате на поверхности планеты образуется мощное электрическое поле. В области острых проводников напряженность поля достигает больших значений. На заостренном наконечнике молниеприемника включается коронный заряд, который притягивается к заряду грозового облака, согласно закону Кулона. Около молниеотвода коронный заряд сильно ионизирует воздух, что приводит к уменьшению напряженности электрического поля вблизи острия. Индуцированные заряды не скапливаются на здании, что снижает вероятность возникновения молний. При ударе молнии заряд полностью будет отведен в землю без повреждения установки.

Примеры решения задач на напряженность электрического поля

Задача 1

В вакуумной среде расположена пара одинаковых положительных точечных зарядов. Расстояние между ними составляет r. Необходимо определить напряженность электрического поля в точке, которая равноудалена на расстояние r от этих зарядов.

Решение:

Исходя из принципа суперпозиции полей, напряженность, которую нужно вычислить, определяется геометрической суммой напряженностей полей, которые создаются зарядами. Формула будет иметь следующий вид:

\(\vec{E}=\vec{E_{1}}+\vec{E_{2}}\)

Модули напряженности полей зарядов определяются таким образом:

\(\vec{E_{1}}=\vec{E_{2}}=k\frac{q}{r^{2}}\)

Если с помощью векторов первого и второго электрических полей построить параллелограмм, то его диагональ будет обозначать напряженность результирующего поля. Модуль напряженности результирующего поля равен:

\(E=2E_{1}\cos 30^{0}=2k\frac{q}{r^{2}}\frac{\sqrt{3}}{2}=k\frac{q\sqrt{3}}{r^{2}}\)

Задача 2

Проводящая сфера, радиус (R) которой равен 0,2 метра, обладает зарядом (q) \(1,8*10^{-4}\) Кл. Сфера находится в вакуумной среде. Необходимо определить:

  • модуль напряженности электрического поля \(\vec{E}\) на ее поверхности;
  • модуль напряженности электрического поля \(\vec{E_{1}}\) в точке, которая удалена на расстояние \(r_1\) = 10 метров от центра сферы;
  • модуль напряженности \(\vec{E_{0}}\) в центральной точке сферы.

Решение:

Электрическое поле, характерное для заряженной сферы, будет равно полю точечного заряда. Отсюда следует равенство:

\(E=k\frac{q}{r^{2}}\)

Таким образом, искомые величины можно рассчитать:

  • \(E=k\frac{q}{R^{2}}=4\times 10^{7}\) (Н/Кл);
  • \(E=k\frac{q}{r_{1}^{2}}=16\times 10^{3}\) (Н/Кл);
  • напряженность поля в сфере, независимо от местонахождения точки, соответствует нулевому значению, то есть Е0 = 0.

Знание основных физических формул является гарантией успешного решения задач не только школьной программы, но и вуза. Если в процессе обучения и постижения законов физики у студентов возникают проблемы, то решение есть. Можно воспользоваться сервисом Феникс.Хелп, чтобы сэкономить массу времени и получить результат высокого качества. 

Развернуть

Химический элемент мейтнерий

Мейтнерий представляет собой синтезированный в искусственных условиях химический элемент. В настоящее время этот радиоактивный металл нигде не используется. Однако исследования мейтнерия продолжаются и представляют большой интерес для развития современной науки.

Мейтнерий — описание элемента

Данный химический элемент из периодической таблицы Менделеева еще не исследован до конца. О химических свойствах мейтнерия практически ничего не известно современным ученым. Причин, по которым сложно определить характеристики элемента, несколько:

  • короткие периоды полураспада изотопов;
  • ограниченное количество вероятных летучих соединений, газовые реакции в которых представляется возможным наблюдать за достаточно ограниченный период времени.

К немногим летучим соединениям мейтнерия относятся:

  • гексафторид мейтнерия MtF6;
  • копия гексафторида иридия IrF6 при температуре более 60 градусов;
  • октафторид MtF8.

Химический элемент не обладает природными изотопами или изотопами, находящимися в стабильном состоянии. Есть информация, что существует восемь изотопов мейтнерия, атомные массы которых составляют:

  • 266;
  • 268;
  • 270;
  • 274;
  • 275;
  • 276;
  • 277;
  • 278.

Отмечается, что мейтнерий-268 и мейтнерий-270 обладают известными, но не подтвержденными метастабильными состояниями. Максимальной стабильностью из всех изотопов характеризуется мейтнерий-279. Он характеризуется периодом полураспада в 7,6 секунды. Однако для неподтвержденного мейтнерия-282 отмечается более продолжительный период полураспада в 67 секунд.

Мейтнерий
Источник: pbs.twimg.com

Преобладающая часть всех изотопов химического элемента участвует в альфа-распаде. В результате реакции образуются изотопы бория. Некоторые из них могут делиться спонтанно. Но синтез мейтнерия представляет исключительно теоретический интерес.

Статистическую достоверность химических исследований обеспечивают опыты, которые проводятся длительный период времени, недели и месяцы. Таким образом, удается получить более четырех атомов. Скорость образования атомов должна составлять, как минимум, один атом в течение недели. При этом временной интервал полураспада применяемого в исследовании изотопа должен быть равен 1 секунде и более.

Предположительно мейтнерий представляет собой благородный металл. Химический элемент характеризуется наиболее стабильными степенями окисления +6, +3, +1. Максимально стабильным состоянием при этом считается +3 в условиях водного раствора. Не исключается и вариант известного для иридия состояния, обладающего степенью окисления +9.

История открытия

Впервые мейтнерий синтезирован в процессе химической реакции. Ее формула:

\(209Bi + 58Fe = 266Mt + n\)

Эксперимент привел в результате к получению изотопа, период полураспада которого составил приблизительно 1,7 мс. В дальнейшем ученым удалось синтезировать и другие изотопы химического элемента. Распад ядер следующих за мейтнерием элементов привел к получению ядер его тяжелых изотопов. Например,

\(272Rg = > 268Mt + 4He\)

Когда и где получен элемент

Синтез мейтнерия впервые был проведен в 1982 году Петером Армбрустером и Готфридом Мюнценбером в составе команды сотрудников Центра исследования тяжелых ионов в Дармштадте. Проводимые опыты получили подтверждения по истечению трех лет с помощью испытаний Объединенного института ядерных исследований в городе Дубна.

Происхождение названия

Название полученного химического элемента было сформулировано в честь Лизы Мейтнер. Австрийский физик открыла процесс, при котором делятся атомные ядра. Ученый также предсказала возможность возникновения цепной реакции ядерного распада. Официальное название мейтнерий получил в 1997 году после принятия его ИЮПАК.

Лиза Мейтнер
Источник: eduspb.com

Атомарный номер в таблице

Мейтнерию присвоен 109 номер в периодической таблице химических элементов. Он относится к девятой группе и расположен в седьмом периоде. В устаревшем варианте таблицы мейтнерий можно найти в побочной подгруппе VIII группы или в группе VIIIB.

Строение атома элемента

Полная запись мейтнерия выглядит так:

Mt: 1s2 2s2 2p6 3s2 3p6 4s2 3d10 4p6 5s2 4d10 5p6 6s2 4f14 5d10 6p6 7s2 5f14 6d7

В короткой форме элемент записывается формулой:

Mt: [Xe]6s2 4f14 5d10 6p6 7s2 5f14 6d7

Встречается ли мейтнерий в природе

Этот химический элемент невозможно встретить в природных условиях. Мейтнерий, известный ранее, как унниленний или эка-иридий, синтезируется исключительно искусственными методами.

Исследования химических свойств мейтнерия продолжаются. Открытия в области химии представляют огромное значение для развития современных технологий. Более углубленно дисциплину будущие ученые изучают в специализированных вузах. Нередко у студентов возникают некоторые трудности в освоении материала. Получить квалифицированную помощь в этом случае можно, если обратиться к сервису Феникс.Хелп.

Развернуть

Рейтинг транспортных вузов России

Транспортная отрасль область обладает широким выбором специальностей, из которых абитуриент может выбрать наиболее приемлемый для себя вариант. В России функционирует множество вузов, предлагающих высшее образование по специализациям железнодорожного сообщения, логистики, водного и других типов транспорта.

Поступление в транспортный вуз после 11 класса

Российская транспортная сеть является одной из наиболее крупных в мире. В стране представлены и активно развиваются многие виды транспорта, включая автомобильный, водный, авиацию, железнодорожное сообщение. Сети связывают в одну систему регионы и населенные пункты государства, способствуют торговле, туризму, международным отношениям. Обслуживание такой масштабной инфраструктуры требует не только технологических ресурсов, но и квалифицированного персонала. Подготовкой специалистов занимаются лучшие вузы страны.

Будущие представители отрасли могут поступить в одно из семнадцати учебных заведений, которые курирует Министерство Транспорта РФ, либо отдать предпочтение другим техническим образовательным учреждениям. Отраслевые вузы, подведомственные следующим федеральным агентствам:

  1. Росжелдор.
  2. Росавиация.
  3. Росморречфлот.

Данные учебные заведения предлагают уникальные образовательные программы, соответствующие актуальным требованиям транспортной отрасли. В зависимости от отраслевой принадлежности абитуриенты получают образование по специальностям, в задачи которых входит организация и обслуживание транспортной инфраструктуры, управление потоком пассажиров и грузов на определенном типе транспорта. Особенность вузов, созданных на базе Минтранса, заключается в расположении в центрах разных путей железнодорожного, водного, автомобильного, воздушного сообщения.

Будущие специалисты также могут выбрать для поступления любой другой институт, специализирующийся на подготовке кадров для транспортной отрасли. Популярностью пользуются отраслевые учреждения, которые сотрудничают с такими известными работодателями, как:

  • ОАО «РЖД»;
  • ПАО «Аэрфлот»;
  • Московский метрополитен и другими.

Транспортники-целевики являются наиболее востребованными специалистами. В 95-97% случаев студент, получивший соответствующую квалификацию, не испытывает проблем с трудоустройством и может рассчитывать на вакантную должность сразу после окончания вуза либо на последних курсах обучения. Желающим развиваться в таких областях, как автомобильный, городской и другие виды транспорта, достаточно просто найти подходящее учебное заведение из довольно богатого перечня технических вузов страны.

Перечень образовательных учреждений транспортного комплекса

В Москве достаточно большая концентрация профильных университетов транспортной логистики. Также представлены общие технические вузы, которые предоставляют высшее образование по соответствующим специальностям.

Выпускники
Источник: estudy.ru

Популярные учебные заведения:

  1. Московский авиационный институт НИУ готовит специалистов в области воздушного транспорта. Среди популярных профессий — летчик и специалист по проектированию. Стоимость обучения составляет примерно от 250 тысяч рублей в год. Преимуществом вуза является высокий рейтинг, что положительно сказывается на востребованности и уровне дохода выпускников. С институтом сотрудничают многие предприятия в плане производственной практики. Также заведение предлагает множество творческих кружков и организует клубы по интересам.
  2. Российский университет транспорта готовит квалифицированных специалистов по технологии транспорта, наземным транспортным и технологическим средствам, подвижному составу железнодорожного сообщения. Обучение основано на принципе всестороннего развития студентов, которые могут не только получать высшее образование, но и принимать участие в разнообразных государственных проектах. Вуз участвует в международных отношениях и предоставляет стажировку в учебных заведениях Европы.
  3. Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана можно отнести к учреждениям, специализирующимся на транспортной логистике. Популярностью пользуются такие направления профессиональной подготовки, как технологические машины и оборудование, а также наземные транспортно-технологические средства. Вуз предоставляет достаточно большое количество бюджетных мест. Однако проходной балл довольно высокий. Преимущества получают участники вузовских олимпиад.
  4. Московский государственный технический университет гражданской авиации представляет собой одно из высших учебных заведений столицы, специализирующееся на подготовке кадров по направлению технологии транспортных процессов. Цены на платном отделении сравнительно невысокие, около 75 тысяч за год обучения. Университет обладает хорошей материальной базой в виде современных лабораторий и исследовательских центров. Большое внимание уделяется инклюзивному образованию.
  5. Московский автомобильно-дорожный государственный технический университет является профильным транспортным вузом столицы со сравнительно невысокими вступительными баллами. Также образовательное учреждение предлагает большое количество мест на бюджетном отделении. Контрактное обучение обходится студентам в 190 и более тысяч рублей в год. На базе университета можно получить дополнительное профессиональное образование, направленное на повышение квалификации.

Точное количество транспортных вузов, действующих на территории России, сложно назвать по причине наличия соответствующих специализаций в университетах общего профиля. Ключевыми критериями выбора подобных образовательных учреждений являются форма обучения, качество образовательных программ, условия обучения. Среди востребованных вузов можно отметить:

  1. Государственный университет морского и речного флота имени адмирала С.О. Макарова, расположенный в Санкт-Петербурге. Здесь можно получить качественное высшее образование по таким направлениям, как управление водным транспортом, кораблестроение и океанотехника, транспортно-технологические машины, транспортные процессы. Обязательным условием для абитуриентов является сдача ЕГЭ по математике в соответствии с профильным уровнем.
  2. Петербургский государственный университет путей сообщения императора Александра I также расположен в городе Санкт-Петербург. Вуз готовит специалистов для таких сфер, как эксплуатация транспортных комплексов и подвижный состав железных дорог. Обладает хорошей материальной базой. Преимуществом учреждения является широкий спектр направлений для производственной практики. Освоить тонкости профессии можно на базе ведущих государственных и коммерческих предприятий. Такие организации, как правило, предлагают студентам вакантные должности. Университет регулярно проводит исследования, связанные с новыми разработками в области высокоскоростного транспорта, в которых участвуют студенты.
  3. Астраханский государственный технический университет готовит специалистов по направлению технологии транспортных процессов. Данное высшее учебное заведение входит в двадцатку рейтинга вузов нашей страны. Выпускники университета не испытывают проблем с трудоустройством и занимают высокооплачиваемые должности в ведущих компаниях транспортной отрасли. Учебное заведение предлагает программы стажировки в Европе. Особенностью образовательного процесса является возможность освоить две специальности одновременно.
  4. Сибирский государственный университет путей сообщения — ведущий вуз в данном регионе. Образовательное учреждение предлагает широкий спектр специальностей и интересные программы двойных дипломов с европейскими вузами. В процессе учебы студенты могут не только освоить новую профессию, но и активно участвовать в социальной сфере. На базе университета действует студенческий городок с комфортабельными условиями, спортивно-оздоровительным комплексом, комбинатом питания.
  5. Волжский государственный университет водного транспорта является логистическим вузом, специализирующимся на подготовке профессионалов в области судостроения и навигации. Вуз расположен в городе Нижний Новгород и считается одним из наиболее престижных в регионе. Популярностью у абитуриентов пользуются факультеты судовождения и кораблестроения. На базе университета действует институт экономики, управления и права, по окончании которого можно устроиться на должность менеджера или юриста в логистические центры и на предприятия.

Какие экзамены нужно сдавать, перечень предметов

Транспортные специализации соответствуют границе между гуманитарными и техническими науками. Обязательным условием поступления в такой вуз является сдача ЕГЭ.

Занатия
Источник: yandex.net

Тестирование проводится по таким профильным предметам, как:

  • математика;
  • физика;
  • русский язык.

Абитуриентам не обязательно иметь высокие баллы по ЕГЭ. Но стоит отметить, что поверхностных знаний точных дисциплин не достаточно для успешного обучения в строительном институте.

К примеру, в программе автотранспортного высшего учебного заведения присутствуют такие дисциплины, как устройство транспортного средства и мотора, технические характеристики агрегатов, физические процессы и их взаимосвязи. В процессе обучения студентам требуется применять формулы, строить графики и диаграммы, что требует наличия определенного багажа знаний школьной программы.

Если специализация связана с работой на транспорте, включая морской и железнодорожный, приемная комиссия может включить в перечень обязательных условий для поступления документальное подтверждение отсутствия ограничений по здоровью в соответствии с актуальными требованиями.

Как правило, более 20 тысяч мест в год отдается бюджетным отделениям транспортных вузов по всей стране. Поступить на бесплатную форму обучения достаточно просто при наличии необходимого среднего балла, аттестата с хорошими оценками. Дополнительным преимуществом являются победы на профильных олимпиадах и спешное окончание подготовительных курсов, которые часто организуют институты транспорта.

Получаемые профессии, что наиболее востребовано

Престижные вузы России предлагают получить высшее образование по разным направлениям транспортной отрасли. Как правило, высокий конкурс на место отмечают по таким факультетам, как:

  • автотранспортный;
  • машиностроение и транспорт;
  • мореходный;
  • судоводительский;
  • технологии наемного транспорта;
  • транспортная инфраструктура;
  • перевозки и путевой сервис;
  • логистические процессы и другие.

На кафедре можно выбрать наиболее интересное направление. Также следует обратить внимание на форму обучения и график занятий. Подробную информацию достаточно найти на официальном сайте института.

Список востребованных профессий в транспортной отрасли:

  • авиадиспетчер;
  • авиационный механик;
  • бортпроводник;
  • водитель;
  • дальнобойщик;
  • диспетчер железнодорожной станции;
  • капитан судна;
  • летчик-испытатель;
  • лоцман;
  • матрос;
  • машинист поезда;
  • пилот;
  • проводник поезда;
  • руководитель полетов;
  • стюард;
  • экспедитор.
Транспорт
Источник: uchebnik.mos.ru

В стране, для которой характерен масштабный пассажиро- и грузопоток, существуют огромные возможности для профессионального роста. Обладатели высшего профильного образования могут претендовать на престижные вакансии в крупных государственных и коммерческих предприятиях, а также организовать собственный бизнес. Процесс обучения, безусловно, потребует много сил и времени, но результат обязательно оправдает ожидания. При этом получить компетентную помощь можно в любое время на сервисе Феникс.Хелп.

Развернуть

Вычисление пределов с помощью правила Лопиталя

В задачах на пределы можно столкнуться с ситуациями, разрешить которые достаточно просто, используя правило Лопиталя. Относительно простая закономерность является очень полезной, когда требуется найти ответ к заданию по математике или математическому анализу. При этом важно владеть навыками дифференцирования.

Правило Лопиталя — в чем суть, понятие

Название этой закономерности не совсем соответствует действительности. Было бы правильнее говорить «правило Лопиталя — Бернулли». Первая подробная формулировка была представлена швейцарским математиком Иоганном Бернулли. Французский ученый Гийом Лопиталь впервые опубликовал это правило в издании собственного учебника в 1696 году.

Правило Лопиталя позволяет существенно упростить некоторые расчеты предела отношения \(\displaystyle \frac{f(x)}{g(x)}\) при \(x\rightarrow a\) в том случае, когда \(f\) и \(g\) одновременно представляют собой бесконечно малые, либо бесконечно большие величины. С помощью выведенной закономерности допустимо осуществлять замену предела отношения функции, используя предел отношения их производных.

Лопиталь
Источник: image1.slideserve.com

Доказательство 1 и 2 правила Лопиталя, вывод теоремы

Теорема 1

Допустим, что функции \(f(x)\) и \(g(x)\) дифференцируются на промежутке \((a,b)\):

\(\lim_{x\rightarrow a+0}f(x)=0\)

\(\lim_{x\rightarrow a+0}g(x)=0\)

\(g'(x)\neq 0\ \) для всех \(\ x\in(a,b)\)

Тогда имеет место конечный и бесконечный:

\(lim_{x\rightarrow a+0}\frac{f'(x)}{g'(x)}=A\)

Таким образом, также существует и равен A:

\(\displaystyle\lim_{x\rightarrow a+0}\frac{f(x)}{g(x)}\)

Можно сделать вывод:

\(\lim_{x\rightarrow a+0}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\rightarrow a+0}\frac{f'(x)}{g'(x)}\)\(\lim_{x\rightarrow a+0}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\rightarrow a+0}\frac{f'(x)}{g'(x)}\)

Докажем данную теорию.

Допустим, что \(x\in(a,b)\)

Следует доопределить функции \(f(x)\) и \(g(x)\) в точке a, имея в виду, что:

\(f(a)=g(a)=0\)

Таким образом, из условий функций следует, что \(f\) и \(g\) непрерывны на отрезке [a,x]. По теореме Коши имеется точка \(\xi\in (a,x)\), такая, что:

\(\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{f(x)-f(a)}{g(x)-g(a)}=\frac{f'(\xi)}{g'(\xi)}\)

В том случае, когда \(x\rightarrow a+0\), можно определить, что \(\xi\rightarrow a+0\). Зная, что  существует \(\displaystyle \lim_{x\rightarrow a+0}\frac{f'(\xi)}{g'(\xi)}=A\), можно сделать вывод о справедливости утверждения \(\eqref\).

Теорема, доказательства которой представлены путем соответствующих изменений ее условий, работает, когда \(x\rightarrow a-0\) и \(x\rightarrow a\). Точка a в данном случае является конечной.

Теорема 1 остается справедливой в таких ситуациях, когда \(a=+\infty\) или \(a=-\infty\), а также:

\(\displaystyle \lim_{x\rightarrow +\infty}f(x)=\lim_{x\rightarrow +\infty} g(x)=0\)

\(\ g'(x)\neq 0\) при \(x > x_0\)и существует \(\displaystyle \lim_{x\rightarrow +\infty}\frac{f'(x)}{g'(x)}=A\)

В этом случае \(\displaystyle \lim_{x\rightarrow +\infty}\frac{f(x)}{g(x)}=A\)

Доказательство данного утверждения выполнено с помощью замены переменного \(\displaystyle x=\frac{1}{t}\) и Теоремы 1.

Формулы
Источник: st2.depositphotos.com

Теорема 2

Допустим, что функции \(f(x)\) и \(g(x)\) дифференцируются при \(x > \alpha\) и \(g'(x)\neq 0\) при \(x > \alpha\)

\(\lim_{x\rightarrow+\infty}f(x)=\infty,\quad \lim_{x\rightarrow +\infty}g(x)=\infty\)

и существует конечный:

\(\lim_{x\rightarrow +\infty}\frac{f'(x)}{g'(x)}=A\)

В таком случае, существует \(\displaystyle \lim_{x\rightarrow +\infty}\frac{f(x)}{g(x)}\), равный A.

Таким образом:

\(\lim_{x\rightarrow +\infty}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\rightarrow +\infty}\frac{f'(x)}{g'(x)} \)

Доказательство

Зная, что:

\(\exists\alpha_{1} > \alpha:\ \forall x > \alpha_{1}\rightarrow\ |f(x)| > 1\)

\(\ |g(x)| > 1\)

Исходя из записанного выражения, получим, что \(f(x)\neq 0\) и \(\ g(x)\neq 0\) при \(x > \alpha_1\).

Согласно определению, для заданного числа \(\varepsilon > 0\) можно вычислить \(\delta=\delta_1(\varepsilon)\geq \alpha_1\) такое, что для всех \(t > \delta_{1}\) выполняется неравенство:

\(A-\frac{\varepsilon}{2} < \frac{f'(t)}{g'(t)} < A+\frac{\varepsilon}{2}\)

График
Источник: univerlib.com

Определив \(x_{0} > \delta_{1}\) на рисунке, выберем число \(\delta_{2} > x_{0}\) такое, чтобы при всех \(x > \delta_{2}\) выполнялись неравенства:

\(\left|\frac{f(x_{0})}{f(x)}\right| < \frac{1}{2},\quad \left|\frac{g(x_{0})}{g(x)}\right| < \frac{1}{2}\)

В качестве доказательства выражения нужно определить, что существует \(\delta\) такое, при котором, если все \(x > \delta\), выполняется неравенство:

\(A-\varepsilon < \frac{f(x)}{g(x)} < A+\varepsilon\)

Число \(\delta\) будет выбрано ниже. Учитывая, что \(x > \delta\), можно применить к функциям \(f\) и \(g\) на интервале \([x_0,x]\) теорему Коши о среднем. Согласно данному утверждению, должна существовать точка \(\xi\in [x_{0},x]\) такая, при которой:

\(\frac{f(x)-f(x_{0})}{g(x)-g(x_{0})}=\frac{f'(\xi)}{g'(\xi)}\)

Преобразуем левую часть равенства:

\(\frac{f(x)-f(x_{0})}{g(x)-g(x_{0})}=\frac{f(x)}{g(x)}(\varphi(x))^{-1}\)

где \(\varphi(x)=\frac{1-g(x_0)/g(x)}{1-f(x_0)/f(x)}=1+\beta(x)\).

Можно заметить, что \(\beta(x)\rightarrow 0\) при \(x\rightarrow +\infty\).

Таким образом:

\(\forall \varepsilon > 0\ \exists\delta\geq\delta_{2}:\ \forall x > \delta\rightarrow|\beta(x)| < \frac{\varepsilon/2}{|A|+\varepsilon/2}\)

Исходя из того, что \(\xi > x_{0} > \delta_{1}\) и вышеуказанных выражений, следует, что для всех \(x > \delta_{2}\) выполняется неравенство:

\(A-\frac{\varepsilon}{2} < \frac{f(x)}{g(x)}(\varphi(x))^{-1} < A+\frac{\varepsilon}{2}\)

Когда \(x > \delta\), получаем \(\phi(x) > 0.\)

Таким образом, выведенное неравенство равносильно следующему:

\((A-\frac{\varepsilon}{2})(1+\beta(x)) < \frac{f(x)}{g(x)} < (A+\frac{\varepsilon}{2})(1+\beta(x))\)

Исходя из этого утверждения, можно записать:

\((A-\frac{\varepsilon}{2})(1+\beta(x))=A-\frac{\varepsilon}{2}+\left(A-\frac{\varepsilon}{2}\right)\beta(x)\geq A-\frac{\varepsilon}{2}-\left(|A|+\frac{\varepsilon}{2}\right)|\beta(x)| > A-\frac{\varepsilon}{2}-\frac{\varepsilon}{2}=A-\varepsilon\)

Аналогичным способом можно определить:

\(\left(A+\frac{\varepsilon}{2}\right)(1+\beta(x)) \leq A+\frac{\varepsilon}{2}+\left(|A|+\frac{\varepsilon}{2}\right)|\beta(x)| < A+\varepsilon\)

Получим, что для всех \(x > \delta\) справедливо выведенное в теореме неравенство.

Теорема 2 работает при условии, что \(A=+\infty\) или \(A=-\infty\).

Теорема справедлива и в тех случаях, когда \(x\rightarrow a\ (x\rightarrow a-0,\ x\rightarrow a+0)\), где a является конечной точкой.

Исходя из теорем 1 и 2, правило Лопиталя можно применять для раскрытия неопределенностей вида \(\displaystyle \frac{0}{0}\) или \(\displaystyle \frac{\infty}{\infty}\).

Неопределенности видов \(0\cdot \infty,\ \infty-\infty,\ 0^{0},\ \infty^{0},\ 1^{\infty}\) нередко удается преобразить в неопределенности типа \(\displaystyle \frac{0}{0}\) или \(\displaystyle \frac{\infty}{\infty}\), используя при этом различные преобразования.

Студент
Источник: pan-plan.com

Правило Лопиталя для вычисления пределов

Решить пределы можно различными методами и формулами. Наиболее быстрый и простой способ, а также универсальный — это правило Лопиталя. Умение искать производные разных функций позволит использовать данную закономерность наиболее эффективно. Можно сформулировать правило Лопиталя при следующих условиях:

  • \(\lim \limits_{x \to a} f(x) = \lim \limits_{x \to a} g(x) = 0 \text{ или } \infty\)
  • имеются \(f'(a) \text{ и } g'(a)\)
  • \(g'(x)\neq0\)
  • присутствует \(\lim \limits_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)}\)

В таком случае:

\(\lim \limits_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim \limits_{x \to a} \frac{f'(x)}{g'(x)}\)

Последовательность решения:

  • нужно подставить точку x в предел;
  • в том случае, когда получается \(\frac{0}{0} \text{ или } \frac{\infty}{\infty}\), можно определить производную числителя и знаменателя;
  • далее следует подставить точку x в записанный предел и рассчитать его. При получении неопределенности следует повторить пункты 2 и 3.

Раскрытие неопределенностей по правилу Лопиталя

В том случае, когда функции \(f(x)\) и \(g(x)\) дифференцируются в точке a, при этом \(f(a)=g(a)=0\) и \(g'(a)\neq 0\), то, применяя к функциям \(f\) и \(g\) локальную формулу Тейлора при \(n=1\), получаем:

\(f(x)=f'(a)(x-a)+o((x-a))\)

\(g(x)=g'(a)(x-a)+o((x-a))\)

Таким образом:

\(\lim_{x\rightarrow a}\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{f'(a)}{g'(a)}\)

Аналогичным методом можно определить, что, при условии \(f^{(n)}a\) и \(g^{(n)}a\), получим:

\(f(a)=f'(a)=\ldots =f^{(n-1)}(a)=0\)

\(g(a)=g'(a)=\ldots =g^{(n-1)}(a)=0\)

Учитывая, что \(g^{(n)}(a)\neq 0\), можно записать выражение:

\(\lim_{x\rightarrow a}\frac{f(x)}{g(x)}=\displaystyle\lim_{x\rightarrow a}\frac{\displaystyle \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^{n}+o((x-a)^n)}{\displaystyle \frac{g^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^{n}+o((x-a)^n)}=\frac{f^{(n)}(a)}{g^{(n)}(a)}\)

Правило Лопиталя применимо в случае неопределенностей типа \(0 \cdot \infty, \infty - \infty, 0^0, 1^{\infty}, \infty^0.\)

Первую и вторую неопределенности \(0 \cdot \infty\)  и \(\infty - \infty\) достаточно просто преобразовать в \(\large\frac{0}{0}\normalsize\) или \(\large\frac{\infty}{\infty}\normalsize\) по средствам алгебраических операций. А неопределенности \(0^0, 1^{\infty}\) и \(\infty^0\) можно свести к типу \(0 \cdot \infty\), используя соотношение:

\(f{\left( x \right)^{g\left( x \right)}} = {e^{g\left( x \right)\ln f\left( x \right)}}\)

Обучение
Источник: cdn.tvc.ru

Формула и примеры решений

Правило Лопиталя: в том случае, когда две функции дифференцируемы в окрестности точки x=a, обращаются в нуль в этой точке, и существует предел отношения производных этих функций, то при х, которое стремится к а, существует предел отношения самих функций, который соотвесттвует пределу отношения производных.

Формула имеет следующий вид:

\(\lim_{x\rightarrow a}\frac{f(x)}{\varphi (x)}=\lim_{x\rightarrow a}\frac{f^{,}(x)}{\varphi^{,} (x)}\)

Задача 1

Требуется найти предел:

\(\lim\limits_{x \to -1} \frac{x^2-1}{x^3+x+2}\)

Решение

\(\lim \limits_{x \to -1} \frac{x^2-1}{x^3+x+2} = \frac{0}{0}\)

В полученной неопределенности \(\frac{0}{0}\) можно заменить \(х\) точкой \(x = -1\). Данный вывод говорит о необходимости применения формулы расчета предела. Получим:

\(\lim \limits_{x \to -1} \frac{(x^2-1)'}{(x^3+x+2)'} =\lim \limits_{x \to -1} \frac{2x}{3x^2+1}\)

Далее необходимо вновь рассчитать предел с помощью подстановки \(x=-1\) в последний предел. Таким образом:

\(\frac{2 \cdot (-1)}{3 \cdot (-1)^2+1} = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2}\)

Ответ: \(\lim\limits_{x \to -1} \frac{x^2-1}{x^3+x+2} = -\frac{1}{2}\)

Задача 2

Требуется вычислить предел, используя правило Лопиталя:

\(\lim \limits_{x \to \infty} \frac{\ln x}{x}\)

Решение

Алгоритм вычислений стандартный:

\(\lim \limits_{x \to \infty} \frac{\ln x}{x} = \frac{\infty}{\infty} = \lim \limits_{x \to \infty} \frac{(\ln x)'}{(x)'}=\lim \limits_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x}}{1}=\lim \limits_{x \to \infty} \frac{1}{x} = \frac{1}{\infty} = 0\)

Ответ: \(\lim \limits_{x \to \infty} \frac{\ln x}{x} = 0\)

Задача 3

Необходимо предоставить решение предела с помощью формулы Лопиталя:

\(\lim \limits_{x \to 0} \frac{\cos x - 1}{x^2}\)

Решение
\(\lim \limits_{x\to 0} \frac{\cos x-1}{x^2} = \frac{0}{0} = \lim \limits_{x \to 0} \frac{(\cos x-1)'}{(x^2)'} =\lim \limits_{x \to 0} \frac{-\sin x}{2x} = \frac{0}{0}=\lim \limits_{x \to 0} \frac{(-\sin x)'}{(2x)'} =\lim \limits_{x \to 0} \frac{-\cos x}{2}=\)

\( = \frac{-\cos 0}{2} = -\frac{1}{2}\)

Ответ: \(\lim \limits_{x \to 0} \frac{\cos x - 1}{x^2} = -\frac{1}{2}\)

Задача 4

Нужно решить предел:

\(\lim \limits_{x\to 0} \frac{\sin 2x-e^{5x}+1}{x-\cos x+1}\)

Решение

\(\lim \limits_{x\to 0} \frac{\sin 2x-e^{5x}+1}{x-\cos x+1} = \frac{0}{0}=\lim \limits_{x\to 0} \frac{(\sin 2x-e^{5x}+1)'}{(x-\cos x+1)'} =\lim \limits_{x\to 0} \frac{(\sin 2x)'-(e^{5x})'+(1)'}{(x)'-(\cos x)'+(1)'}=\lim \limits_{x\to 0} \frac{2\cos 2x-5e^{5x}}{1+\sin x} =\)

\(=\frac{2\cos0-5e^0}{1+\sin 0}=\frac{2\cdot 1-5\cdot 1}{1+0} = \frac{-3}{1} = -3\)

Ответ: \(\lim \limits_{x\to 0} \frac{\sin 2x-e^{5x}+1}{x-\cos x+1} = -3\)

Просьба о помощи
Источник: fbto.psuti.ru

Правилом Лопиталя допустимо пользоваться при решении задач с односторонними пределами. Можно сказать, что эта методика является наиболее эффективной для раскрытия неопределенностей вида \(\frac{0}{0}\) и \(\frac{\infty}{\infty}\) в том случае, когда необходимо вычислить предел. Смысл правила заключается в том, что предел отношения функций равен пределу отношений производных от этих функций. Если в процессе освоения этой и других подобных тем возникли сложности, всегда можно обратиться за помощью к сервису Феникс.Хелп.

Развернуть

Открытие явления электромагнитной индукции

Закон электромагнитной индукции объясняет, как механическая энергия генератора преобразуется в электричество. Данное явление представляет собой совокупность процессов, управляя которыми можно получать электроэнергию для работы оборудования и приборов, реализации разнообразных инженерных проектов.

Электромагнитная индукция — описание

Электромагнитной индукцией называется процесс, при котором ток возникает в проводящем контуре замкнутой конфигурации во время изменений магнитного потока, пронизывающего его.

Электромагнитная индукция наблюдается в двух случаях:

  1. Во время изменений параметров магнитного поля, воздействующего на проводник.
  2. В процессе перемещения материальной среды в магнитном поле.

Подобные действия приводят к возникновению электрического поля и электрической поляризации. По-другому, в проводнике, помещенном в магнитное поле, при воздействии внешней силы будет наблюдаться электродвижущая сила, обозначаемая ЭДС.

Важно отличать понятия электромагнитной индукции и магнитной индукции. В первом случае подразумевается некое явление, а во втором — векторная физическая величина с численным значением и определенным направлением.

Кто открыл явление

Электромагнитная индукция была открыта Майклом Фарадеем 29 августа в 1831 году. Ученый обнаружил электродвижущую силу, которая возникает в замкнутом проводниковом контуре. Данная сила отличается пропорциональностью к скорости изменения магнитного потока, пронизывающего поверхность, ограниченную этим контуром.

Еще в 1820 году Ганс Христиан Эрстед продемонстрировал опыт, в котором магнитная стрелка отклонялась от цепи с электрическим током. Отсюда последовал вывод, что в случае порождения магнетизма электрическим током само появление электричества должно быть связано с магнетизмом. Данная теория была поддержана Майклом Фарадеем, который на протяжении многих лет ставил разнообразные опыты и пришел к открытию электромагнитной индукции.

Как было сделано открытие ЭМ индукции

В опыте Фарадея использовалась одна непроводящая основа, на которую были намотаны две катушки. Витки первой катушки были зафиксированы между витками второй. Первая катушка замыкалась на гальванометре, а вторая — подключалась к источнику тока.

Фарадей
Источник: i.pinimg.com

Основные этапы опыта:

  • когда ключ замыкался и ток поступал на вторую катушку, на первой катушке можно было наблюдать импульс тока;
  • если ключ размыкался, то импульс тока сохранялся, однако менялось его направление течения по гальванометру на противоположное.

При подключении первой катушки к источнику электричества вторая катушка, соединенная с гальванометром, перемещалась относительно нее. Во время приближения или удаления катушки можно было фиксировать ток.

Опытным путем получилось выяснить зависимость индукционного тока от изменения линий магнитной индукции. Направление тока будет отличаться во время увеличения или уменьшения количества линий. Сила индукционного тока определяется скоростью изменения магнитного потока. Изменения происходят либо в самом поле, либо при перемещении контура в неоднородном магнитном поле.

Значение открытия в будущем использовании электричества

Благодаря открытию электромагнитной индукции функционируют многие двигатели и генераторы тока. Они обладают достаточно простым принципом действия, основанным на законе электромагнитной индукции. Магнитное поле изменяется в результате перемещения магнита.

При воздействии на магнит, расположенный в замкнутом контуре, в этой цепи появляется электричество. Таким образом работает генераторная установка. В обратной ситуации при пропускании электрического тока от источника по контуру магнит, который находится внутри цепи, придет в движение, на которое влияет магнитное поле, созданное электричеством. По такому принципу собирают электродвигатели.

С помощью генераторов тока механическая энергия преобразуется в электрическую. Существуют разные виды электростанций, которые в качестве механической энергии используют энергетические ресурсы:

  • уголь;
  • дизельное топливо;
  • ветер;
  • воду и другие источники.

Полученное электричество поступает по кабельным сетям к жилым комплексам и предприятиям. Достигнув потребителей, электрическая энергия преобразуется обратно в механическую в электродвигателях.

Генератор тока
Источник: dr-sauber.ru

Что открытие ЭМ индукции позволило создать

На основе электромагнитной индукции создано огромное число машин и приборов. Наиболее яркими изобретениями считаются:

  • радиовещание;
  • магнитотерапия;
  • синхрофазотроны;
  • расходомеры, счетчики;
  • генераторы постоянного тока;
  • трансформаторы.

Благодаря великому научному открытию электромагнитной индукции человечеству удалось совершить огромный рывок в области развития электротехники. Закономерности, описанные данным явлением, позволяют создавать алгоритмы для получения электрической энергии. Практические опыты по теме электромагнитной индукции с электромагнитами часто ставят студенты специализированных вузов.

Если в процессе научных познаний и исследований возникают проблемы, всегда можно обратиться за помощью к сервису Феникс.Хелп.

Развернуть