Интеграл является одним из наиболее важных понятий в математическом анализе. Его применяют в алгебре для расчета площади под кривой, преодоленного пути в процессе неравномерного движения, массы, которой обладает неоднородное тело и решения других подобных задач. С помощью интеграла вычисляют функцию по известной производной.

Интегралы для чайников — базовые понятия

Понятие интеграла в теории основано на нахождении непрерывной функции. Для начала следует ознакомиться с этим термином.

Процедура поиска первообразной функции f(х) представляет собой операцию интегрирования в определенном порядке.

Неопределенный интеграл

В легком виде формулу для расчета неопределенного интеграла можно записать в такой форме:

\(\int f(x)dx=F(x)+C\), где

• f(x) является подынтегральной функцией;
• F(x) представляет собой первообразную функцию функции f(x);
• dx определяется дифференциалом;
• C является численной константой интегрирования.

В неопределенный интеграл включен спектр первообразных, так как имеется постоянная интегрирования. Дифференциалом называют произвольное, бесконечно малое приращение переменной величины. Среди основных свойств неопределенного интеграла можно отметить такие пояснения:

Табличная форма неопределенных интегралов в виде \(\int f(x)dx=F(x)+C\) имеет вид:

Определенный интеграл

В общем виде определенный интеграл можно записать таким образом:

\(\int_{a}^{b}{} f(x)dx\), где

• f(x) представляет собой подынтегральную функцию;
• a и b являются пределами интегрирования;
• dx соответствует дифференциалу.

Вычислить определенный интеграл можно с помощью уравнения Ньютона-Лейбница:

Свойства определенных интегралов:

• если определенный интеграл обладает одинаковыми пределами интегрирования, то его значение соответствует нулю;
• значение определенного интеграла является независимой от обозначения переменной интегрирования величиной;
• постоянный множитель допустимо выносить за знак определенного интеграла;
• определенный интеграл в случае алгебраической суммы конечного числа функций рассчитывается как алгебраическая сумма определенных интегралов;
• при разбивке отрезка интегрирования на части определенный интеграл в отношении всего отрезка соответствует сумме определенных интегралов его частей;
• перестановка пределов интегрирования не меняет абсолютную величину определенного интеграла, а изменяет его знак;
• определенный интеграл рассчитывается как произведение длины отрезка интегрирования и значения подынтегральной функции в какой-то точке х0 внутри него;
• в том случае, если верхний предел интегрирования больше, чем нижний, и подынтегральная функция соответствует неотрицательному или положительному значению, определенному интегралу будет соответствовать неотрицательная или положительная величина;
• когда верхний предел интегрирования больше, чем нижний, и функции f(х) и g(х) не прерываются, то допустимо почленно интегрировать неравенство f(x) >=g(x).

Таблица интегралов для студентов (основные формулы)

Существует несколько основных приемов решения задач с интегралами. Процесс заключается в интегрировании функции по переменной. В том случае, если интеграл обладает табличным видом, то проблем с поиском его значения не возникнет. Когда форма записи интеграла отлична от табличной, решение сводится к приведению интеграла к табличному виду.

Таблица первообразных для решения интегралов имеет следующий вид:

В первую очередь необходимо ознакомиться с основными свойствами интегралов:

С помощью данных понятий можно решать несложные интегралы. Но в большинстве случаев встречаются задачи с непростыми интегралами, для работы с которыми требуется прибегнуть к дополнительным приемам.

Правила вычисления интегралов, примеры решения

Специальные методики позволяют рассчитывать большую часть интегралов. Основными приемами для поиска решений являются:

1. Замена переменной с применением навыков нахождения производных.

2. Интегрирование по частям с помощью формулы: \(\int udv=uv-\int vdu\).
3. Интегрирование дробно-рациональных функций:

• разложением дроби на простейшие \(\int F_{n}(x)/G_{m}(x)dx\);
• выделением полного квадрата \(\int dx/(ax^{2}+bx+c)\);
• созданием в числителе дифференциала знаменателя \(\int (mx+n)dx/(ax^{2}+bx+c)\).

4. Интегрирование дробно-иррациональных функций:

• выделением под корнем полного квадрата \(\int dx/(\sqrt{ax^{2}+bx+c})\);
• созданием в числителе дифференциала подкоренного выражения \(\int (mx+n)dx/(\sqrt{ax^{2}+bx+c})\).

5. Интегрирование тригонометрических функций:

• с помощью формул разложения для произведения \(\int \sin \alpha x*\cos \beta xdx\);
• с помощью создания \(d(cos x)\) при m-нечетном, n-любом для выражений вида \(\int \sin^{n}x*\cos^{m} xdx\) применимо тождество \(\sin^{2}+\cos^{2}=1\), где m, n являются четными, \(\sin^{2}x=(1-\cos^{2}x)/2$$ и $$ \cos^{2}x=(1+\cos^{2}x)/2\);

6. Применение свойства \(\tan ^{2}x=1/\cos ^{2}x-1\) для выражения в виде \(\int tan^{n}xdx\).

Решать интегралы целесообразно с помощью данного алгоритма:

1. Вникнуть в суть интегралов, включая базовые понятия и методы решения. Интеграл представляет собой сумму элементарных частей объекта интегрирования. В том случае, когда рассматривается интегрирование функции, следует идентифицировать интеграл как площадь фигуры между графиком функции, осью х и границами интегрирования. При неопределенном интеграле, то есть неизвестных границах интегрирования, решать задачу необходимо с помощью нахождения первообразной. В случае определенного интеграла в найденную функцию подставляют значения границ.
2. Научиться пользоваться таблицей первообразных и основными свойствами интегралов. Множество функций уже определены первообразными, которые отмечены в таблице. Для интегралов, которые занесены в табличную форму, уже имеется готовое решение.
3. Освоение способов и приобретение навыков решения интегралов. В том случае, когда в задаче имеется интеграл, не соответствующий табличной форме, его необходимо привести к этому виду. Данная операция выполняется с помощью применения основных свойств интегралов и приемов по их решению.

Примеры решения интегралов:

Задача 1

Требуется решить интеграл:

\(\int (x^{5}+\frac{1}{\sqrt{x}})dx\)

Решение

Заметим, что по условию интеграл — неопределенный. Сначала необходимо найти первообразную. Для этого интеграл суммы можно разложить на сумму интегралов:

\(\int x^{5}dx+\frac{1}{\sqrt{x}}dx\)

Таким образом, каждый из интегралов преобразован в табличный вид. Решение можно найти с помощью таблицы:

\(\frac{x^{6}}{6}+2\sqrt{x}+С\)

Выполним проверку решения с помощью поиска производной:

\((\frac{x^{6}}{6}+2\sqrt{x})^{,}=x^{2}+\frac{1}{\sqrt{x}}\)

Ответ: \(\frac{x^{6}}{6}+2\sqrt{x}+С\)

Задача 2

Требуется решить интеграл:

\(\int \sqrt[5]{(x+5)}\)

Решение

Имеется неопределенный интеграл. Для начала необходимо найти первообразную. При сравнении с таблицей выяснилось, что подобное решение отсутствует. Способ разложения, исходя из свойств интеграла, не применим в данном случае. Следует обратиться к приемам. В этом случае целесообразно воспользоваться заменой переменной. Таким образом, выполним замену выражения \(х+5\) на \(t^{5}\).

\(t^{5}=x+5\)

После преобразований получим \(\int tdx.\)

Выражение dx также требуется заменить на t. В таком случае:

\(x=t^{5}-5\)

\(dx=(t^{5}-5)^{,}=5t^{4}\)

Выполним подстановку значений:

\(5\int t^{4}*tdt=5\int t^{5}dt\)

Интеграл соответствует табличной форме. Его можно посчитать \(\frac{5t^{6}}{6}\).

Далее необходимо заменить t на выражение \(\sqrt[5]{(x+5)}\).

Таким образом:

\(\int \sqrt[5]{(x+5)}=5/6\sqrt[5]{(x+5)^{6}}\)

Ответ: \(\int \sqrt[5]{(x+5)}=5/6\sqrt[5]{(x+5)^{6}}.\)

Задача 3

Необходимо найти решение интеграла:

\(\int \frac{dx}{\sqrt{4x^{2}+4x+5}}\)

Решение

В рамках данной задачи целесообразно выделить полный квадрат:

\(4x^{2}+4x+5=4x^{2}+4x+1+4=(2x+1)^{2}+1\)

\(\int \frac{dx}{\sqrt{4x^{2}+4x+5}}=\int \frac{dx}{\sqrt{(2x+1)^{2}+1}}=\frac{1}{2}\int \frac{d(2x+1}{\sqrt{(2x+1)^{2}+1}}\)

Результат преобразований соответствует табличному виду. Можно найти первообразную:

\(\int \frac{dx}{\sqrt{x^{2}+a^{2}}}=\ln \left|x+\sqrt{x^{2}+a^{2}} \right|+C\)

\(\int \frac{dx}{\sqrt{4x^{2}+4x+5}}=\ln \left|2x+1+\sqrt{(2x+2)^{2}+1} \right|+C\)

\((2x+1)^{2}+1=4x^{2}+4x+1\)

В результате получим:

\(\int \frac{dx}{\sqrt{4x^{2}+4x+5}}=\ln \left|2x+1+\sqrt{4x^{2}+4x+1} \right|+C\)

Ответ: \(\int \frac{dx}{\sqrt{4x^{2}+4x+5}}=\ln \left|2x+1+\sqrt{4x^{2}+4x+1} \right|+C\)

Математический анализ — достаточно сложная дисциплина. Одной из главных тем является решение интегралов. С подобными задачами часто сталкиваются учащиеся профильных вузов. Если в процессе обучения студент испытывает какие-либо трудности, правильное решение — обратиться к сервису Феникс.Хелп.

С числовыми последовательностями человек сталкивается постоянно. Ранее русские математики оперировали термином вариант, который ввел Ш. Мерэ. Последовательность включает ряд чисел. Данный объект является одним из ключевых понятий в математическом анализе.

Что такое числовая последовательность — понятие и определение

Последовательность обладает рядом отличительных признаков:

• каждый элемент из множества соотносится с натуральным числом;
• число используют для обозначения номера элемента и идентификации позиции этого компонента в рассматриваемой последовательности;
• для всех элементов можно определить следующий за ним компонент последовательности.

Предположим, что х является числовым множеством. Тогда можно использовать его в формулировке числовой функции.

Множество х в данном случае представляет собой область определения.

С помощью функции можно определить любой член из последовательности. Этим свойством она отличается от произвольного комплекса чисел. В математике принято использовать буквы и числа для записи понятий и законов. Числовые последовательности, как правило, обозначают буквой х, хотя строгих правил на этот счет не предусмотрено.

\(x_{n}=f\left(n \right)\)

\(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4},...x_{n},...\)

В число самых интересных и популярных числовых последовательностей входит последовательность Фибоначчи. Она обладает удивительными свойствами и нередко наблюдается в природном мире. К примеру, семена подсолнечника расположены в порядке, который имеет форму спирали. Числа, с помощью которых обозначают количество семян в каждой из них, представляют собой члены последовательности Фибоначчи.

Какие бывают последовательности чисел

Данное понятие может быть представлено в разных видах. Среди числовых последовательностей различают следующие формы:

• постоянная или монотонная, имеет вид: 1, 1, 1, 1, 1 …;
• возрастающая характеризуется признаком, согласно которому каждый последующий компонент будет больше предыдущего;
• убывающая, в которой каждый следующий элемент меньше предыдущего.

Кроме стандартной классификации, числовые последовательности подразделяют на следующие категории:

• сходящиеся, с конечным пределом;
• расходящиеся, в которых предел соответствует бесконечности, либо вообще отсутствует.

Наиболее распространенными примерами последовательностей являются те, которые проходят на школьных уроках. К ним относят арифметическую и геометрическую прогрессию.

Арифметическая прогрессия

Раскрыть данное понятие поможет последовательность чисел:

1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15…

a₁, a₂, a₃, a₄, a₅, a₆, a₇, a₈... a_n,...

Следует отметить, что данные числа являются нечетными. Каждый следующий элемент можно вычислить, если прибавить к нему одно и то же число. Пусть данное число будет записано, как d. В данном примере d = 2.

Представленная последовательность является арифметической прогрессией. Для этого вида числового ряда справедлива формула:

\(a_{n+1}=a_{n}+d\)

Элемент а, которому соответствует номер n, является общим членом последовательности. Число d представляет собой разность арифметической прогрессии.

\(a_{n}=a_{1}+d(n-1)\)

\(d=a_{n+1}-a_{n}\)

Сумму первых n компонентов последовательности можно рассчитать с помощью уравнения:

\(S_{n}=\frac{a_{1}+a_{n}}{2}n\)

Ряд свойств характерен для арифметической прогрессии:

\(a_{n}=\frac{a_{n+1}+a_{n-1}}{2}\)

Геометрическая прогрессия

Данное определение соответствует последовательности чисел, состоящей из элементов, каждый из которых, начиная со второго, равен предыдущему члену, умноженному на одно и то же число q. Данное число является знаменателем прогрессии. Для компонентов геометрической прогрессии справедливо выражение:

\(b_{n+1}=b_{1}\times q^{n}\)

При рассмотрении геометрических прогрессий используют основные формулы. Для расчета n-го элемента прогрессии следует воспользоваться уравнением:

\(b_{n}=b_{1}\times q^{n-1}\)

Определить сумму первых n членов последовательности можно таким образом:

если \(q\neq 1\)

то \(S_{n}=\frac{b_{1}(q^{n}-1)}{q-1}\)

если \(\left| q\right|< 1\)

то \(S_{n}=\frac{b_{1}}{q-1}\)

Характеристическим свойством геометрической прогрессии является следующее равенство:

\(b^{2}_{n}=b_{n-1}\times b_{n+1}\)

Предел последовательности, основные свойства

Согласно определению, последовательность является некоторой функцией. Поэтому определение пределов последовательностей во многом сходится с вычислением пределов функций, но обладает некоторыми особенностями.

По-другому, предел последовательности представляет собой число, в окрестности которого расположены все компоненты последовательности, начиная с определенного. Переменная n в данном случае всегда будет стремиться к бесконечности, в сторону увеличения натуральных чисел.

Способы задания числовых последовательностей

Такие действия можно выполнять по-разному. К основным способам задания последовательностей относят:

• аналитический или с помощью формулы;
• реккурентный, при наличии нескольких известных первых элементов прогрессии и формулы для определения следующих членов последовательности;
• описательный, включает простое перечисление всех компонентов последовательности.

Аналитический способ задания числовой последовательности

Считают, что последовательность задана аналитически, когда представлено уравнение для расчета ее n-го элемента.

\(y_{n}=f(n)\)

В качестве примера можно рассмотреть:

\(y_{n}=\frac{1}{n}\)

Это аналитический способ задания последовательности чисел:

\(1;\frac{1}{2};\frac{1}{3};...\frac{1}{n};...\)

Зная конкретное значение n, можно определить элемент последовательности с соответствующим номером. Можно изобразить данную последовательность на графике. Исходя из определения графика функции, он будет представлять собой множество всех точек:

\((n;\frac{1}{n})\)

Указанные точки будут расположены на правой ветви гиперболы:

\(y=\frac{1}{x}\)

Функция  \(y=\frac{1}{x}\) в случае, когда x > 0, будет убывающей. В таком случае числовая последовательность \(y_{n}=\frac{1}{n}\) также будет убывать.

Можно рассмотреть второй пример, когда:

\(y_{n}=\left|n-5 \right|\)

Следует представить несколько элементов данной числовой прогрессии:

\(y_{1}=\left|1-5 \right|=4\)

\(y_{2}=\left|2-5 \right|=3\)

\(y_{3}=\left|3-5 \right|=2\)

Графиком рассматриваемой последовательности будет являться множество точек, которые характеризуются координатами:

\((n;\left|n-5 \right|)\)

Эти точки принадлежат ломаной линии:

\(y=\left|x-5 \right|\)

Числовая последовательность \(y_{n}=\left|n-5 \right|\) будет убывать, если n соответствует интервалу от 1 до 5, и возрастать – при n от 5 до бесконечности.

Описательный метод задания числовой последовательности

Данная методика используется не всегда. Описательный способ записи последовательности чисел целесообразно применять, когда в условии задачи отсутствуют формулы, а правило прогрессии изложено лишь словами. В качестве примера можно рассмотреть такую последовательность, в которой:

\(a_{n}\) является цифрой после запятой в десятичной записи числа \(\sqrt{2}\)

\(\sqrt{2}=1,41421…\)

\(a_{1}=4\); \(a_{2}=1\);\(a_{3}=4\);\(a_{4}=2\);\(a_{5}=1\);…

Рекуррентный способ задания числовой последовательности

Рекуррентной называют последовательность, в правилах которой указано, что для расчета n-го члена необходимо знать значение предыдущих. В качестве примера можно привести такие условия:

\(y_{1}=1\)

\(y_{2}=1\)

\(y_{n}=y_{n-2}+y_{n-1}\)

\(n = 3, 4, 5 …\)

Данный пример демонстрирует возможность рассчитать любой n-ый элемент числовой последовательности.

Действия над числовыми последовательностями

Представленные формулы позволяют производить разнообразные манипуляции с рядом чисел. К основным действиям относятся:

1. Суммировать последовательности x_n и y_n в виде последовательности x_n + y_n с элементами x₁+y₁  x₂+y₂  x₃+y₃  … x_n+y_n.
2. Найти разность последовательностей x_n и y_n в виде последовательности x_n - y_n с элементами x₁-y₁  x₂-y₂  x₃-y₃  … x_n-y_n.
3. Умножение последовательностей x_n и y_n в виде последовательности x_n * y_n с элементами x₁*y₁  x₂*y₂  x₃*y₃  … x_n*y_n.
4. Поиск частного последовательностей x_n и y_n в виде последовательности x_n / y_n с элементами x₁/y₁  x₂/y₂  x₃/y₃  … x_n/y_n.

При выполнении расчетов и решении задач с последовательностью чисел следует учитывать важные особенности:

• последовательность может обладать только одним пределом;
• последовательность с пределом считается ограниченной, обратное утверждение не всегда справедливо;
• в случае, когда элементы какой-либо последовательности z_n находятся между соответствующими компонентами пары последовательностей x_n и y_n сходящихся к одному пределу, то и эта последовательность сходится к тому же пределу;
• предел постоянной числовой прогрессии соответствует ее постоянному;
• равные между собой числовые последовательности x и y обладают равными друг другу пределами при их наличии;
• в ситуации, когда каждый элемент сходящейся последовательности не превосходит соответствующего элемента другой сходящейся последовательности, то и предел первой не превосходит предела второй;
• предел суммы или разности пары числовых прогрессий соответствует сумме или разности их пределов в случае, когда рассматриваемые последовательности обладают пределами;
• предел произведения пары числовых прогрессий, для которых характерно наличие пределов, имеет место быть и рассчитывается, как произведение пределов последовательностей;
• при работе с постоянным множителем допускается выносить его за знак предела;
• предел частного пары числовых прогрессий, обладающих пределами, равен частному пределов этих последовательностей, если предел знаменателя не равен нулю.

Примеры задач с решением

Задача 1

Дана числовая последовательность

\(y_1=1\)

\(y_2=1\)

\(y_n=y_{n-2}+y_{n-1}\)

\(n = 3, 4, 5 …\)

Требуется найти 7-ой элемент последовательности.

Решение

Для определения 7 члена числовой последовательности следует узнать 5 и 6 компоненты.

\(y_4=3\)

\(y_5=5\)

\(y_6=3+5=8\)

\(y_7=5+8=13\)

Ответ: 7 член равен 13.

Задача 2

По условию задачи

\(x_{n}=\frac{n-1}{2n+1}\)

Требуется найти \(x_{3}\)

Решение

В начало необходимо подставить n=3 в уравнение для определения n-го элемента последовательности:

\(x_{n}=\frac{n-1}{2n+1}\)

Формула будет преобразована таким образом:

\(x_{3}=\frac{3-1}{2*3+1}=\frac{2}{7}\)

Ответ: \(x_{3}=\frac{2}{7}\)

Задача 3

Дана формула для определения n-го компонента прогрессии:

\(x_{n}=\frac{n-1}{2n+1}\)

Требуется выяснить, является ли число \(\frac{4}{11}\) каким-либо из элементов рассматриваемой последовательности.

Решение

Следует приравнять уравнение для n-го компонента последовательности \(x_{n}=\frac{n-1}{2n+1}\) к указанному в условии задачи числу \(\frac{4}{11}\) для получения уравнения относительно n. В том случае, когда n представляет собой натуральное число, то число \(\frac{4}{11}\) будет являться членом заданной прогрессии.

\(\frac{n-1}{2n+1}=\frac{4}{11}\)

\(11n – 11 = 8n + 4\)

\(3n = 15\)

\(n = 5\)

Ответ: число \(\frac{4}{11}\) является 5 членом последовательности.

Задача 4

Требуется записать уравнение общего члена последовательности, которая задана несколькими компонентами: 1, 4, 9, 16, 25.

Решение

Сначала необходимо записать каждый из членов прогрессии в таком виде:

\(y_{1}=1=1^{2}\)

\(y_{2}=4=2^{2}\)

\(y_{3}=9=3^{2}\)

\(y_{4}=16=4^{2}\)

\(y_{5}=25=5^{2}\)

Следует отметить, что компоненты прогрессии являются квадратами последовательных натуральных чисел. Согласно этому утверждению, можно сделать следующий вывод:

\(y_{n}=n^{2}\)

Ответ: \(y_{n}=n^{2}\)

Числовые последовательности исследовались многими математиками с мировым именем на протяжении веков. Зная основные формулы и правила работы с прогрессиями, можно достаточно просто решать задачи с рядами чисел и определять компоненты последовательностей. Если в процессе освоения какой-либо темы возникают сложности, можно обратиться за помощью к сервису Феникс.Хелп.

Уравнения встречаются повсеместно. С помощью формул и их систем рассчитывают разные величины и описывают физические процессы. С древних времен сферы применения уравнений только увеличиваются. К примеру, дифференциальные уравнения необходимы для освоения информатики, компьютерных технологий, физики.

Решение дифференциальных уравнений

Дифференциальные уравнения решают с помощью производных, которые являются пределами отношений приращения функций к приращению аргумента, при том, что приращение аргумента приближается к нулевому значению. Порядок таких уравнений соответствует наивысшему порядку производной, которая включена в уравнения. Степень определяется максимальной степенью, возведенной производной наивысшего порядка.

Такие множества записывают в следующем виде:

\(y = f(x;C)\)

где С представляет собой произвольную постоянную.

Общее решение дифференциального уравнения n-го порядка является некой функцией, которая зависит от аргумента x и n-го числа независимых произвольных постоянных.

Основные способы решения системы

При наличии навыков решения однородных уравнений второго порядка и неоднородных уравнений второго порядка, в состав которых включены постоянные коэффициенты, справиться с системами дифференциальных уравнений достаточно просто. Выделяют ключевые типы СДУ:

• линейные однородные;
• линейные неоднородные.

Решают системы дифференциальных уравнений несколькими методами:

• метод исключения, с помощью преобразования системы к одному дифференциальному уравнению;
• по средствам характеристического уравнения или способом Эйлера.

Линейные однородные системы дифференциальных уравнений

В качестве максимально простой однородной системы дифференциальных уравнений можно рассмотреть такую:

k, l, m, n являются числовыми коэффициентами, которые в большинстве случаев обладают ненулевыми значениями;

x(t), y(t) — функциональные значения, которые нужно найти; 

t — самостоятельная переменная;

\(x',\;y'\) — первичные производные находимых значений вышеупомянутых функций.

В качестве примера можно решить систему дифференциальных уравнений, называемую задачей Коши:

Начальные условия будут следующими:

х (0) = 3 

у (0) = 0

В данном случае целесообразно воспользоваться методом исключения. Способ состоит в том, чтобы преобразовать систему в одно дифференциальное уравнение.

В первую очередь следует функцию \(\ y(t)\) выразить с помощью функции \(\ x(t)\) и ее производной:

\( \ \frac{d x}{d t}=x^{\prime}(t)=-2 x+4 y \Rightarrow 4 y=x^{\prime}+2 x \Rightarrow y=\frac{x^{\prime}+2 x}{4}=\frac{x^{\prime}}{4}+\frac{x}{2}\)

Далее нужно определить производную функции \(\ y(t)\): 

\(\ y^{\prime}=\left(\frac{x^{\prime}}{4}+\frac{x}{2}\right)^{\prime}=\frac{x^{\prime \prime}}{4}+\frac{x^{\prime}}{2}\)

Выполним преобразования путем подстановки выражений функции \(\ y(t)\) и ее производной во второе уравнение заданной системы. Получим следующее уравнение:

\(\ \frac{x^{\prime \prime}}{4}+\frac{x^{\prime}}{2}=-x+3 \cdot\left(\frac{x^{\prime}}{4}+\frac{x}{2}\right)\)

Если раскрыть скобки и свести подобные, то получим:

\(\ \frac{x^{\prime \prime}}{4}+\frac{x^{\prime}}{2}=-x+\frac{3 x^{\prime}}{4}+\frac{3 x}{2} \Rightarrow \frac{x^{\prime \prime}}{4}-\frac{x^{\prime}}{4}-\frac{x}{2}=0\)

Затем следует умножить обе части на 4:

\(\ \frac{x^{\prime \prime}}{4}+\frac{x^{\prime}}{2}=-x+\frac{3 x^{\prime}}{4}+\frac{3 x}{2} \Rightarrow \frac{x^{\prime \prime}}{4}-\frac{x^{\prime}}{4}-\frac{x}{2}=0\)

Таким образом, получилось однородное дифференциальное уравнение второго порядка относительно неизвестной функции:

\(\ x^{\prime \prime}-x^{\prime}-2 x=0 \)

Требуется найти его решение. Можно записать соответствующее характеристическое уравнение такого вида 

\(\ x(t)\), корни которого \(\ k^{2}-k-2=0\)

В таком случае:

\(\ k_{1}=-1, \ k_{2}=2\)

Найти вторую неизвестную функцию:

\(\ x(t)=C_{1} e^{k_{1} t}+C_{2} e^{k_{2} t}=C_{1} e^{-t}+C_{2} e^{2 t} \)

Можно с помощью полученного выражения:

\(\ y(t): \ y=\frac{x^{\prime}}{4}+\frac{x}{2}\)

Таким образом, искомым решением системы является:

\(\ y(t)=\frac{1}{4}\left(C_{1} e^{-t}+C_{2} e^{2 t}\right)^{\prime}+\frac{1}{2}\left(C_{1} e^{-t}+C_{2} e^{2 t}\right)==\frac{1}{4}\left(-C_{1} e^{-t}+2 C_{2} e^{2 t}\right)+\frac{1}{2}\left(C_{1} e^{-t}+C_{2} e^{2 t}\right) =-\frac{C_{1} e^{-t}}{4}+\frac{C_{2} e^{2 t}}{2}+\frac{C_{1} e^{-t}}{2}+\frac{C_{2} e^{2 t}}{2}=\frac{C_{1} e^{-t}}{4}+C_{2} e^{2 t}\)

Для поиска частного решения рассматриваемой системы нужно подставить соответствующие значения в систему и определить константы:

Получим частное решение системы в виде:

Линейные неоднородные системы 

Данный тип уравнений, как правило, имеет вид:

где \(f(t)\), \(g(t)\) — заданные функции переменной \(t\), непрерывные на \(\left[a,b\right]\).

В качестве примера можно рассмотреть решение следующей системы дифференциальных уравнений:

Используем значения из первого уравнения системы:

\(y=\frac15(-\frac{\operatorname dx}{\operatorname dt}+2x+3)\\\)

Дифференцируем по t все составляющие:

\(\frac{\operatorname dy}{\operatorname dt}=\frac15\left(-\frac{\mathrm d^2x}{\mathrm dt^2}+2\frac{\operatorname dx}{\operatorname dt}\right)\\\)

Подставим \(y=\frac15\left(-\frac{\operatorname dx}{\operatorname dt}+2x+3\right)\\\) и \(\frac{\operatorname dy}{\operatorname dt}=\frac15\left(-\frac{\mathrm d^2x}{\mathrm dt^2}+2\frac{\operatorname dx}{\operatorname dt}\right)\\\).

Получим: 

\(\frac15\left(-\frac{\mathrm d^2x}{\mathrm dt^2}+2\frac{\operatorname dx}{\operatorname dt}\right)=5x-6\cdot\frac15\left(-\frac{\operatorname dx}{\operatorname dt}+2x+3\right)+1\\\)

Чтобы сократить дроби, нужно все части уравнения умножить на 5:

\(-\frac{\mathrm d^2x}{\mathrm dt^2}+2\frac{\operatorname dx}{\operatorname dt}=25x-6\cdot\left(-\frac{\operatorname dx}{\operatorname dt}+2x+3\right)+5\\\)

Далее упростим выражение:

\(-\frac{\mathrm d^2x}{\mathrm dt^2}+2\frac{\operatorname dx}{\operatorname dt}=25x+6\frac{\operatorname dx}{\operatorname dt}-12x-18+5\\\frac{\mathrm d^2x}{\mathrm dt^2}+4\frac{\operatorname dx}{\operatorname dt}+13x=13\\\)

В результате получилось линейное неоднородное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами. Следует найти общее решение уравнения:

\(\frac{\mathrm d^2x}{\mathrm dt^2}+4\frac{\operatorname dx}{\operatorname dt}+13x=0\\\)

Необходимо разобрать характеристическое уравнение:

\(\lambda^2+4\lambda+13=0\\D=16-52=-36\\\lambda_{1,2}=\frac{-4\pm6i}2\\\lambda_{1,2}=-2\pm3i \)

Таким образом, найдены сопряженные комплексные корни. В результате:

\(X=e^{-2t}\left(C_1\cos\left(3t\right)+C_2\sin\left(3t\right)\right)\)

Неоднородное уравнение:

\(\widetilde x=A\)

Рассчитываем значение первой и второй производных:

\(\widetilde x'=0\\\widetilde x''=0\)

Подставляем \(\widetilde x,\;\widetilde x',\widetilde x''\) в левую часть неоднородного уравнения:

\(0+4\cdot0+13A=13\\13A=13\\A=1\\\)

Получаем: 

\(\widetilde x=1\)

Таким образом:

\(x(t)=X+\widetilde x=e^{-2t}\left(C_1\cos\left(3t\right)+C_2\sin\left(3t\right)\right)+1\)

Необходимо найти функцию \(y(t)\). Для этого нужно определить производную от уже найденной функции \(x(t)\):

\(x'(t)=\left(e^{-2t}\left(C_1\cos\left(3t\right)+C_2\sin\left(3t\right)+1\right)\right)'=\left(e^{-2t}\right)'\left(C_1\cos\left(3t\right)+C_2\sin\left(3t\right)\right)+e^{-2t}\left(C_1\cos\left(3t\right)+C_2\sin\left(3t\right)\right)'+0=\\=-2e^{-2t}\left(C_1\cos\left(3t\right)+C_2\sin\left(3t\right)\right)+e^{-2t}\left(-3C_1\sin\left(3t\right)+3C_2\cos\left(3t\right)\right)=e^{-2t}\left(-2C_1\cos\left(3t\right)-2C_2\sin\left(3t\right)-3C_1\sin\left(3t\right)+3C_2\cos\left(3t\right)\right)=\\=e^{-2t}\left(\left(-2C_1+3C_2\right)\cos\left(3t\right)+\left(-3C_1-2C_2\right)\sin\left(3t\right)\right)\)

Подставим \(x(t)=e^{-2t}\left(C_1\cos\left(3t\right)+C_2\sin\left(3t\right)\right)+1\) и \(x'(t)=e^{-2t}\left(\left(-2C_1+3C_2\right)\cos\left(3t\right)+\left(-3C_1-2C_2\right)\sin\left(3t\right)\right)\) в уравнение \(y=\frac15\left(-\frac{\operatorname dx}{\operatorname dt}+2x+3\right)\)

Получим:

\(y=\frac15\left(-e^{-2t}\left(\left(-2C_1+3C_2\right)\cos\left(3t\right)+\left(-3C_1-2C_2\right)\sin\left(3t\right)\right)+2\left(e^{-2t}\left(C_1\cos\left(3t\right)+C_2\sin\left(3t\right)\right)+1\right)+3\right)=\\=\frac15\left(e^{-2t}\left(\left(2C_1-3C_2\right)\cos\left(3t\right)+\left(3C_1+2C_2\right)\sin\left(3t\right)\right)+e^{-2t}\left(2C_1\cos\left(3t\right)+2C_2\sin\left(3t\right)\right)+2+3\right)=\\=\frac15\left(e^{-2t}\left(\left(2C_1-3C_2\right)\cos\left(3t\right)+\left(3C_1+2C_2\right)\sin\left(3t\right)+2C_1\cos\left(3t\right)+2C_2\sin\left(3t\right)\right)+5\right)=\\=\frac15\left(e^{-2t}\left(\left(2C_1-3C_2+2C_1\right)\cos\left(3t\right)+\left(3C_1+2C_2+2C_2\right)\sin\left(3t\right)\right)+5\right)=\\=e^{-2t}\left(\left(\frac{4C_1-3C_2}5\right)\cos\left(3t\right)+\left(\frac{3C_1+4C_2}5\right)\sin\left(3t\right)\right)+1\)

Общее решение системы будет иметь вид:

Приступаем к поиску частного решения, исходя из условий задачи:

Можно записать окончательный ответ:

Метод характеристического уравнения (метод Эйлера)

Данный способ применяется крайне редко. Целесообразно рассмотреть алгоритм метода Эйлера или характеристического уравнения на конкретном примере. Пусть дана линейная однородная система дифференциальных уравнений:

Следует записать матрицу, которая будет включать коэффициенты при неизвестных функциях в правых частях уравнений системы:

\(\ A=\left(\begin{array}{ll}{-1} & {-5} \\ {-7} & {-3}\end{array}\right)\)

Далее необходимо рассчитать собственные значения записанной матрицы с помощью характеристического уравнения и его корней:

\(\ |A-\lambda E|=0 \Rightarrow\left|\left(\begin{array}{cc}{-1} & {-5} \\ {-7} & {-3}\end{array}\right)-\lambda \cdot\left(\begin{array}{cc}{1} & {0} \\ {0} & {1}\end{array}\right)\right|\)

\(\left|\begin{array}{cc}{-1-\lambda} & {-5} \\ {-7} & {-3-\lambda}\end{array}\right|\)

\((-1-\lambda)(-3-\lambda)-(-7) \cdot(-5)\)

\(\lambda^{2}+4 \lambda-32=0\)

\({\lambda_{1}=-8}\)

\({\lambda_{2}=4}\)

Далее нужно определить собственные векторы, соответствующие полученным собственным значениям.

Если \(\ \lambda_{1}=-8\), то в этом случае определить координаты собственного вектора можно с помощью системы, кторая эквивалентна уравнению 

\(\ 7 x_{1}-5 x_{2}=0 \Rightarrow x_{1}=\frac{5 x_{2}}{7} \)

При \(\ x_{2}=7\) получаем, что \(\ x_{1}=5\). Тогда первый собственный вектор \(\ \overline{x}_{1}=(5 ; 7).\)

\(\ \lambda_{2}=4\)

\(\Rightarrow\left(A-\lambda_{2} E\right) \overline{x}_{2}=\overline{0}\)

\(\Rightarrow x_{1}+x_{2}=0, \Rightarrow x_{1}=-x_{2}\)

Для \(\ x_{2}=1\) получаем второй собственный вектор \(\ \overline{x}_{2}=(-1 ; 1).\)

Тогда общее решение исконной системы дифференциальных уравнений 

\(C_{1} e^{\lambda_{1} t} \overline{x}_{1}+C_{2} e^{\lambda_{2} t} \overline{x}_{2}\)

\(C_{1} \cdot e^{-8 t} \cdot\left(\begin{array}{c}{5} \\ {7}\end{array}\right)+C_{2} \cdot e^{4 t} \cdot\left(\begin{array}{c}{-1} \\ {1}\end{array}\right)\)

\(\left(\begin{array}{c}{5 C_{1} e^{-8 t}} \\ {7 C_{1} e^{-8 t}}\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}{-C_{2} e^{4 t}} \\ {C_{2} e^{4 t}}\end{array}\right)\)

\(\left(\begin{array}{c}{5 C_{1} e^{-8 t}-C_{2} e^{4 t}} \\ {7 C_{1} e^{-8 t}+C_{2} e^{4 t}}\end{array}\right) \)

Можно записать окончательный ответ:

С системами дифференциальных уравнений работать гораздо проще, если освоить основные приемы решений. В том случае, когда по данной теме или любой другой возникают какие-либо сложности, всегда можно обратиться за помощью к сервису Феникс.Хелп.

Человек регулярно сталкивается с разными видами движения. Перемещение тела по окружности позволяет понять многие физические процессы. На основе закономерностей такого явления работают разнообразные механизмы. Рассчитать характеристики движения по окружности достаточно просто, если знать и уметь применять несколько основных формул.

Движение тела по окружности — какими законами описывается

Тело может двигаться по окружности двумя способами:

• равномерно;
• неравномерно.

Равномерное движение тела характеризуется постоянной угловой скоростью. Для описания такого перемещения применяют следующие формулы:

• угловая скорость: \(\omega =\frac{2\pi }{T}\)
• скорость движения: \(V =\frac{2\pi R}{T}=\omega R\)
• угол поворота: \(\phi =2\pi \frac{t}{T}=\omega t\)
• ускорение: \(\frac{2\pi v}{T}=\omega ^{2}R\)

Неравномерное движение возможно при переменной угловой скорости тела. В данном случае применимы формулы:

• тангенциальное ускорение: \(a_{t}=\frac{dv}{dt}\)
• центростремительное ускорение: \(a_{n}=\frac{v^{2}}{R}=\omega ^{2}R\)

В представленных уравнениях используются такие параметры, как:

• Т — период вращения;
• t — время;
• ω — угловая скорость;
• R — радиус;
• a_t — тангенциальное ускорение;
• a_n — центростремительное или полное ускорение.

При отсутствии специальных оговорок, в процессе решения задач движение тела по окружности принимают за равномерное. Для расчета пройденного пути используют формулу:

\(S=\frac{v}{t}\)

где:

• S является расстоянием, которое преодолело тело;
• v представляет собой скорость движения тела;
• t определяет время движения.

Таким образом, справедливы выражения:

\(v=\frac{S}{t}\)

\(t =\frac{v}{S}\)

Величины, которые применяют для решения задач, характеризуются положительными значениями:

S > 0, v > 0, t > 0

Секретом заданий на движение тела по окружности является то, что обгоняющий будет преодолевать на 1 круг больше при первом обгоне. Данное расстояние считается на n кругов больше, если первый объект обогнал другого в n-ый раз.

Задачи на движение по окружности от простых до сложных

Задачи на движение тела по окружности отличаются по степени сложности. Можно рассмотреть примеры простых заданий.

Задача 1

Длина круговой трассы составляет 8 километров. Из ее точки в один момент времени в одинаковом направлении выехали два автомобиля. Первый автомобиль развил скорость 114 км/ч и, спустя 20 минут после начала движения, обогнал второй автомобиль на один круг. Требуется определить скорость, с которой двигался второй автомобиль. Ответ необходимо представить в км/ч.

Решение

Известно, что старт произошел одновременно для обоих автомобилей. Через 20 минут после начала движения первое транспортное средство опережало второе на один круг. Таким образом, в течение 20 минут или 1/3 часа первый автомобиль преодолел на 1 круг больше, то есть на 8 км больше. За час первый автомобиль проехал на 8*3=24 км больше, чем второй. Скорость второго транспортного средства на 24 км/ч меньше по сравнению с первым, и равна 114-24=90 км/ч.

Ответ: второй автомобиль двигался со скоростью 90 км/ч.

Задача 2

Из пункта А круговой трассы выехал велосипедист, а спустя полчаса стартовал мотоциклист. Через 10 минут после начала пути водитель мотоцикла догнал велосипедиста в первый раз. Спустя еще 30 минут мотоциклист догнал велосипедиста повторно. Требуется определить, какова скорость мотоциклиста, в том случае, когда длина трассы составляет 30 км. Ответ необходимо представить в км/ч.

Решение

В первую очередь требуется перевести минуты в часы. Скорости мотоциклиста и велосипедиста можно обозначить х и у. В первый раз водитель мотоцикла обогнал велосипедиста, спустя 10 минут или 1/6 часа после начала движения. До этого момента велосипедист находился в движении 40 минут или 2/3 часа.

Можно упростить запись условий задачи:

велосипедист: v = х, t = 2/3, S = 2/3*х;

мотоциклист: v = у, t = 1/6, S = 1/6*у.

Велосипедист и мотоциклист преодолели одинаковый путь:

\(\frac{1}{6}y=\frac{2}{3}x\)

Спустя 30 минут или 1/2 часа после первого обгона мотоциклист выполнил второй обгон велосипедиста.

Таким образом:

велосипедист: v = х, t = 1/2, S = 1/2*х;

мотоциклист: v = у, t = 1/2, S = 1/2*у.

Требуется определить расстояния, которые преодолели гонщики. Мотоциклист обогнал велосипедиста, то есть проехал больше на один круг. Это является ключевым моментом в данной задаче. Один круг составляет 30 километров. Второе уравнение будет иметь вид:

\(\frac{1}{2}y-\frac{1}{2}x=30\)

Далее необходимо решить полученную систему:

у = 4х

у – х = 60

Таким образом, х = 20, у = 80.

Ответ: скорость мотоциклиста равна 80 км/ч.

Бывают задания на движение тела по окружности с повышенной степенью сложности. Как правило, подобные примеры при невозможности проведения экспериментов требуют сложных вычислений.

Задача 3

На часах со стрелками время 8 часов 00 минут. Требуется определить, через сколько минут минутная стрелка в четвертый раз догонит часовую стрелку.

Решение

Спустя один час минутная стрелка преодолевает один круг, а часовая проходит лишь 1/12 циферблата. Допустим, что скорости равны 1 круг в час и 1/12 круга в час соответственно. Начало движения приходится на 8.00. Необходимо определить время, в течение которого минутной стрелке в первый раз удастся догнать часовую.

Минутная стрелка преодолеет на 2/3 круга больше. Исходя из этого, можно записать уравнение:

\(1*t-\frac{1}{12}t=\frac{2}{3}\)

Таким образом, спустя 8/11 часа стрелки совпадут. Предположим, что через время z стрелки совпадут повторно. Минутная стрелка преодолеет расстояние 1*z, а часовая 1/12*z. При этом минутной стрелкой будет пройдено на один круг больше. Можно записать уравнение:

\(1*z-\frac{1}{12}z=1\)

Решение данного уравнения будет таким:

\(z=\frac{12}{11}\)

Таким образом, через 12/11 часа стрелки совпадут повторно. Спустя еще 12/11 часа они встретятся вновь и так далее. Поэтому при старте в 8.00 в четвертый раз минутная стрелка догонит часовую через:

\(\frac{8}{11}+3\frac{12}{11}\) часа

Ответ: минутная и часовая стрелки совпадут в четвертый раз через \(\frac{8}{11}+3\frac{12}{11}\)часа.

Нередко при решении задач на движение по окружности требуется рассчитать среднюю скорость тела. Важно, что данная величина не совпадает со средним арифметическим скоростей. Средняя скорость определяется с помощью формулы:

\(v=\frac{S_{0}}{t_{0}}\)

где v является средней скоростью;

S₀ представляет собой общий путь;

t₀ определяет общее время.

При наличии двух участков пути средняя скорость рассчитывается по формуле:

\(v=\frac{S_{1}+S_{2}}{t_{1}+t_{2}}\)

Наиболее сложными задачами считаются примеры с пятизначными дискриминантами. Рассмотрим алгоритм действий в таком случае.

Задача 4

Пара гонщиков участвует в соревновании. Путь, который требуется преодолеть, равен 60 кругам кольцевой трассы в 3 км. После одновременного старта первый гонщик пересек финиш раньше, чем второй на 10 минут. Требуется рассчитать среднюю скорость второго гонщика. Известно, что впервые первый участник обогнал второго на круг, спустя 15 минут после начала движения. Ответ требуется записать в км/ч.

Решение

Первый участник гонки, находясь в движении 15 минут, догнал второго гонщика на первом круге. Таким образом, в течение 15 минут он преодолел на 1 круг или на 3 км больше, чем второй. За час первый гонщик проехал 3*4=12 километров больше. При этом скорость его движения на 12 км/ч превышает скорость второго гонщика. 10 минут соответствует ¼ часа. Можно записать уравнение:

\(\frac{180}{x}-\frac{180}{x+12}=\frac{1}{6}\)

Далее необходимо преобразовать выражение к квадратному уравнению:

\(x^{2}+12x-12960=0\)

Таким образом, получен пятизначный дискриминант. Есть более простой вариант решения задачи. Можно записать уравнение:

\(\frac{180}{x}-\frac{180}{x+12}=\frac{1}{6}\)

В нем 180 можно поделить на 12. Заменим х=12z:

\(\frac{180}{12z}-\frac{180}{12z+12}=\frac{1}{6}\)

\(\frac{15}{z}-\frac{15}{z+1}=\frac{1}{6}\)

\(\frac{90}{z}-\frac{90}{z+1}=1\)

Данное равенство можно преобразить в квадратное уравнение. Целый положительный корень такого выражения z=9. Тогда получим:

\(х=12z=108\)

Ответ: средняя скорость второго гонщика равна 108 км/ч.

Нахождение линейной скорости при движении по окружности

Любая точка, находящаяся на окружности, перемещается с некоторой скоростью. Данная величина называется линейной скоростью. Вектор линейной скорости всегда совпадает по направлению с касательной к окружности. К примеру, стружка из точильного станка движется, повторяя направление мгновенной скорости.

Можно рассмотреть какую-то точку на окружности, совершившую один оборот. При этом было затрачено время равное периоду Т. Расстояние или путь, пройденный точкой, представляет собой длину рассматриваемой окружности.

Задачи на тему равномерное движение по окружности

Задача 1

Радиус выпуклого моста равен 90 м. Требуется определить скорость, с которой автомобиль должен пройти его середину, чтобы пассажир на мгновение ощутил невесомость.

Решение

Согласно условиям задачи:

R = 90 м

N = 0

Сила реакции опоры обладает нулевым значением, так как пассажир в состоянии невесомости не оказывает давление на сиденье автомобиля.

Решение задачи необходимо представить в системе отсчета, которая связана с Землей. Человек совершает движение вместе с автомобилем. Ускорение при этом направлено вниз. На пассажира действует сила притяжения Земли, которая будет центростремительной:

\(mg=m\frac{v^{2}}{R}\)

Таким образом:

\(v=\sqrt{\frac{Rmg}{m}}=\sqrt{Rg}=\sqrt{90*10}=30\) м/с

Ответ: скорость автомобиля составляет 30 м/с.

Задача 2

Масса девочки 40 кг. Она качается на качелях, длина подвеса которых составляет 4 м. Требуется определить силу, с которой девочка давит на сиденье при прохождении среднего положения со скоростью 5 м/с.

Решение

На девочку действует сила тяжести \(m\vec{g}\) и сила реакции опоры \(\vec{N}\).

Качели находятся под действием силы давления  \(\vec{F_{g}}\), которая направлена вниз. Согласно третьему закону Ньютона, данная сила соответствует взятой со знаком минус силе реакции опоры:

\(\vec{F_{g}}=-\vec{N}\)

Таким образом, решением задачи является определение силы реакции опоры. Исходя из закона динамики:

\(m\vec{g}+\vec{N}= m\vec{a}\)

В проекции на ось Х:

\(N-mg=m\frac{v^{2}}{R}\)

Из чего следует вывод:

\(F_{g}=\left|N \right|=m(g+\frac{v^{2}}{R})\)

\(F_{g}=40(10+\frac{5^{2}}{4})=650\) Н

Ответ: сила равна 650 Н.

Задача 3

Шарик привязали с помощью нити к подвесу. Он описывает в горизонтальной плоскости окружность, совершая движение с постоянной скоростью. Нить обладает длиной 0,6 м и составляет с вертикалью угол в 60 градусов. Необходимо рассчитать, какова скорость шарика.

Решение

Сумма сил \(m\vec{g}\) и натяжения \(\vec{F_{n}}\), исходя из правила параллелограмма, соответствует результирующей силе, направленной в центр вращения \(\sum_{i}^{}{\vec{F}_{i}}\):

\(\sum_{i}^{}{\vec{F}_{i}}= m\vec{g}+\vec{F_{n}}= m\vec{a}\)

Силы в сумме определяются из прямоугольного треугольника с углом α равным 60 градусам. Исходя из того, что \(\vec{F_{n}}\) является противолежащим катетом, получим:

\(\vec{F_{n}}=mg*tg α\)

Таким образом:

\(mg*tg α= m\vec{a}= m\frac{v^{2}}{R}\)

\(v^{2}=\frac{mg*\tan \alpha *R}{m}=gR*\tan \alpha\)

R включен в прямоугольный треугольник, в котором длина нити представляет собой гипотенузу. R является катетом, противолежащий углу α в 60 градусов.

\(R=l*\sin \alpha\)

Преобразив формулу квадрата скорости шарика с помощью подстановки выражения для радиуса, получим:

\(v^{2}=gl*\sin \alpha *\tan \alpha \)

\(v=\sqrt{gl*\sin \alpha *\tan \alpha }=\sqrt{10*0.6*\frac{\sqrt{3}}{2}*\sqrt{3}}=3\) м/с

Ответ: скорость шарика составляет 3 м/с.

Задача 4

Необходимо определить максимальную скорость мотоцикла по горизонтальной плоскости, который описывает при этом дугу окружности с радиусом 100 м. Коэффициент трения резины о плоскость составляет 0,4.

Решение

Во время поворота мотоцикл наклоняется к центру поворота. На транспортное средство оказывают действие:

• сила тяжести \(m\vec{g}\);
• сила реакции опоры \(\vec{N}\);
• сила трения \(\vec{F_{tr}}\);
• сила тяги \(\vec{F_{t}}\);
• сила сопротивления \(\vec{F_{c}}\).

Данные силы в сумме составляют:

\(m\vec{g}+\vec{N}+\vec{F_{tr}}+\vec{F_{t}}+\vec{F_{c}}= m\vec{a}\)

Согласно выражениям:

\(m\vec{g}+\vec{N}=0\)

\(\vec{F_{t}}+\vec{F_{c}}=0\)

Получим:

\(\vec{F_{tr}}= m\vec{a}\)

Сила трения составляет:

\(F_{tr}= \mu mg\)

Таким образом:

\(\mu mg=ma= m\frac{v^{2}}{R}\)

\(v=\sqrt{\frac{\mu mgR}{m}}=\sqrt{\mu gR}=\sqrt{0.4*10*100}=20\) м/с

Ответ: максимальная скорость равна 20 м/с.

Задачи разной сложности по теме движения тела по кружности часто встречаются не только в школьной программе, но и во время обучения в вузе. Знание основных закономерностей позволит быстро найти решение примера любой сложности. Если в процессе расчетов возникают трудности, всегда можно обратиться за помощью к сервису Феникс.Хелп.

Разработка большинства модификаций оптического оборудования основана на законах распространения света. В некоторых закономерностях учитывается двойственная природа света, а в других – нет. Геометрическая оптика – это наука, в которой рассматриваются особенности распространения света, не имеющие общих связей с его природой. Данная дисциплина представляет собой наиболее древнюю часть оптики, как области научных знаний.

Геометрическая оптика — что изучает предмет

Разработка большинства модификаций оптического оборудования основана на законах распространения света. В некоторых закономерностях учитывается двойственная природа света, а в других – нет. Геометрическая оптика – это наука, в которой рассматриваются особенности распространения света, не имеющие общих связей с его природой. Данная дисциплина представляет собой наиболее древнюю часть оптики, как области научных знаний.

Одним из ключевых терминов в оптике, включая направление геометрической оптики, является понятие луча.

Световой луч представляет собой пучок света с толщиной, которая намного меньше, чем расстояние его распространения. Подобное определение можно сравнить с объяснением материальной точки, характерным для кинематики.

Важные закономерности геометрической оптики известны с давних времен. В 430 г. до н.э. Платон вывел закон прямого распространения света. Трактаты Евклида содержат формулировку закона прямолинейного распространения света, а также закон равенства углов падения и отражения. Аристотель и Птолемей проводили исследования в области преломления света. Однако перечисленные научные труды не содержали точные формулировки законов геометрической оптики.

Геометрическая оптика представляет собой предельный случай волновой оптики, в котором длина световой волны приближается к нулевым значениям. Наиболее простые оптические явления такие, как тень и формирование изображений в оптических приборах, рассматривают в рамках геометрической оптики. Основой формального построения научны знаний являются четыре закона, справедливость которых была обоснована опытным путем:

• закон прямолинейного распространения света;
• закон независимости световых лучей;
• закон отражения;
• закон преломления света.

Анализ этих закономерностей выполнен Х. Гюйгенсом с помощью простого и наглядного метода, который в дальнейшем получил название принцип Гюйгенса.

Принцип Гюйгенса: любая точка, до которой доходит световое возбуждение, является, в свою очередь, центром вторичных волн; поверхность, огибающая в некоторый момент времени эти вторичные волны, указывает положение к этому моменту фронта действительно распространяющейся волны.

Основные законы геометрической оптики

Исходя из собственных исследований, Гюйгенс представил объяснение прямолинейности распространения света. Ученый сформулировал закономерности для отражения и преломления света.

Закон прямолинейного распространения света

Данное утверждение является первым законом геометрической оптики. Закон о прямолинейном распространении света гласит, что в условиях однородной прозрачной среды свет распространяется прямолинейно. Согласно теореме Ферма, распространение света происходит в том направлении, время распространения по которому будет минимально.

Доказательством того, что свет в оптически однородной среде распространяется прямолинейно, является тень с резкими границами, которую отбрасывают непрозрачные предметы во время освещения их источниками с небольшими габаритами. Подробные экспериментальные опыты установили нарушение этого закона в случае прохождения света через отверстия очень малого диаметра. При этом степень отклонения от прямолинейности распространения возрастает при уменьшении отверстия.

Тень, которую отбрасывает предмет, объясняется прямолинейностью распространения световых лучей в условиях оптически однородной среды. В качестве астрономической иллюстрации данного явления формирования тени и полутени служит затенение одних планет другими. К примеру, затмение Луны можно наблюдать, когда она находится в области тени, отбрасываемой Землей. По причине взаимного перемещения нашей планеты и ее спутника тень от Земли движется по Луне, и лунное затмение можно наблюдать через несколько частных фаз.

Закон отражения света

Во втором законе геометрической оптики рассматриваются законы отражения света. Основные положения закономерности:

• отраженный, падающий лучи и перпендикуляр, установленный на границе раздела двух сред, находятся в одной плоскости;
• углы падения и отражения равны.

∟α = ∟β

Закон независимости световых пучков заключается в том, что эффект, который производит отдельный пучок, не зависит от одновременного действия остальных пучков или их отсутствия. Если световые пучки разбить на отдельные компоненты, к примеру, используя диафрагму, можно продемонстрировать независимое действие выделенных световых пучков.

Закон отражения можно схематично представить на рисунке.

Вывести закон отражения можно с помощью принципа Гюйгенса. Можно предположить, что плоская волна, то есть фронт волны АВ, распространяясь в вакуумной среде по направлению I со скоростью C, попадает на границу раздела двух сред.

В том случае, когда фронт волны АВ достигает отражающую поверхность в точке А, эта точка излучает вторичную волну. Для того чтобы волна прошла расстояние ВС, потребуется затратить время, вычисляемое по формуле:

Δt = BC/υ

За такой же промежуток времени фронт вторичной волны достигнет точек полусферы. Ее радиус AD можно определить с помощью формулы:

υΔt = ВС

Положение фронта, характерного для отраженной волны, в рассматриваемый момент времени, согласно принципу Гюйгенса, будет задано с помощью плоскости DC. Направление, в котором распространяется эта волна, определяется лучом II. Согласно равенству треугольников ABC и ADC , сформулирован закон отражения: угол падения α и угол отражения у равны друг другу.

Закон преломления света

Согласно третьему закону геометрической оптики объясняется характер преломления света. Закономерность заключается в следующем:

• преломленный, падающий лучи и перпендикуляр, который восстановлен в точке падения, лежат в одной плоскости;
• отношение синуса угла падения к синусу угла преломления является величиной, которая постоянна для данных двух сред и представляет собой показатель преломления(n).

Показатели интенсивности, которыми обладают отраженный и преломленный лучи, определяются средой и границей раздела.

\(\frac{\sin \alpha }{\sin \gamma }=n\)

Физический смыл показателя преломления можно записать с помощью уравнения:

\(n=\frac{V_{I}}{V_{II}}\)

Показатель преломления представляет собой относительную величину. Это связано с особенностью измерений, которые выполняются относительно двух сред.

В том случае, когда одна из сред является вакуумом, применим принцип Ферма:

\(n=\frac{c}{V}\)

где с является скоростью света в вакууме;

n представляет собой абсолютный показатель преломления, который характеризует среду относительно вакуума.

В том случае, когда наблюдается переход света из среды, которая отличается меньшей оптической плотностью, в более плотную среду, скорость света будет снижаться. Оптически более плотной средой называют среду, характеризующуюся меньшей скоростью света. Оптически менее плотная среда представляет собой среду с большей скоростью света.

Применение явления полного отражения на практике

В геометрической оптике используют понятие предельного угла преломления. Данный термин обозначает наибольший угол падения луча, при котором наблюдают преломление в процессе перехода луча в среду с меньшей плотностью.

Если углы падения больше, чем предельный угол, то можно рассматривать полное внутреннее отражение.

\(\sin \alpha =\frac{1}{n}\)

Границы применимости геометрической оптики состоят в необходимости учеты размеров, которыми характеризуются препятствия для света. Параметром света является длина волны, которая составляет примерно \(10^{-9}\) метра. В том случае, когда габариты препятствия превышают длину волны, используют размеры геометрической оптики. Явление полного отражения света применяют для конструирования призмы полного отражения.

Величина преломления стекла составляет n>1.5. Исходя из этого, предельный угол для границы стекло – воздух составляет:

\(\alpha =arc\sin (1/1.5)=42^{0}\)

Если свет падает на границу стекло – воздух при угле α больше 42 градусов, можно наблюдать полное отражение. На рисунке изображены призмы полного отражения, благодаря которым можно выполнить следующие действия:

• поворот луча на 90 градусов;
• поворот изображения;
• оборот лучей.

Призмы полного отражения применяют при конструировании оптического оборудования, например, биноклей и перископов. Также данное изобретение используют при сборке рефрактометров, предназначенных для определения показателей преломления тел. Принцип действия устройства таков: согласно закону преломления, измеряют угол α, определяют относительный показатель преломления двух сред, а также абсолютную величину преломления одной из сред при известной величине преломления второй среды.

Полное отражение используют в производстве светодиодов. Световые элементы являются тонкими, произвольно изогнутые волокна, изготовленные из оптически прозрачного материала.

В волоконных устройствах используют стеклянные нити со световедущей жилой или сердцевиной, окруженной стеклом или оболочкой из другого стекла, характеризующейся меньшей величиной преломления. Свет, который падает на торец световода под углом, превышающим предельный, подвергается на поверхности раздела сердцевины и оболочки полному отражению и распространяется только вдоль световедущей жилы.

Световоды являются неотъемлемым компонентом при изготовлении телеграфно-телефонных кабелей с большой емкостью. Конструкция включает сотни и тысячи тонких волокон, диаметр которых сравним с толщиной человеческого волоса. Провода служат для передачи до восьмидесяти тысяч телефонных разговоров одновременно. Также световоды активно применяют в производстве электронно-лучевых трубок, электронно-счетных машин, для кодирования данных, в медицинской отрасли в сфере интегральной оптики.

Законы геометрической оптики послужили основой для великих изобретений, которые применяются по сей день. Закономерности данной области научных знаний являются неотъемлемой частью образовательных программ многих современных вузов. Если в процессе освоения дисциплин возникают сложности, то студенты всегда могут обратиться за помощью к ресурсу Феникс.Хелп.