Интеграл является одним из наиболее важных понятий в математическом анализе. Его применяют в алгебре для расчета площади под кривой, преодоленного пути в процессе неравномерного движения, массы, которой обладает неоднородное тело и решения других подобных задач. С помощью интеграла вычисляют функцию по известной производной.

Интегралы для чайников — базовые понятия

Понятие интеграла в теории основано на нахождении непрерывной функции. Для начала следует ознакомиться с этим термином.

Процедура поиска первообразной функции f(х) представляет собой операцию интегрирования в определенном порядке.

Неопределенный интеграл

В легком виде формулу для расчета неопределенного интеграла можно записать в такой форме:

\(\int f(x)dx=F(x)+C\), где

• f(x) является подынтегральной функцией;
• F(x) представляет собой первообразную функцию функции f(x);
• dx определяется дифференциалом;
• C является численной константой интегрирования.

В неопределенный интеграл включен спектр первообразных, так как имеется постоянная интегрирования. Дифференциалом называют произвольное, бесконечно малое приращение переменной величины. Среди основных свойств неопределенного интеграла можно отметить такие пояснения:

Табличная форма неопределенных интегралов в виде \(\int f(x)dx=F(x)+C\) имеет вид:

Определенный интеграл

В общем виде определенный интеграл можно записать таким образом:

\(\int_{a}^{b}{} f(x)dx\), где

• f(x) представляет собой подынтегральную функцию;
• a и b являются пределами интегрирования;
• dx соответствует дифференциалу.

Вычислить определенный интеграл можно с помощью уравнения Ньютона-Лейбница:

Свойства определенных интегралов:

• если определенный интеграл обладает одинаковыми пределами интегрирования, то его значение соответствует нулю;
• значение определенного интеграла является независимой от обозначения переменной интегрирования величиной;
• постоянный множитель допустимо выносить за знак определенного интеграла;
• определенный интеграл в случае алгебраической суммы конечного числа функций рассчитывается как алгебраическая сумма определенных интегралов;
• при разбивке отрезка интегрирования на части определенный интеграл в отношении всего отрезка соответствует сумме определенных интегралов его частей;
• перестановка пределов интегрирования не меняет абсолютную величину определенного интеграла, а изменяет его знак;
• определенный интеграл рассчитывается как произведение длины отрезка интегрирования и значения подынтегральной функции в какой-то точке х0 внутри него;
• в том случае, если верхний предел интегрирования больше, чем нижний, и подынтегральная функция соответствует неотрицательному или положительному значению, определенному интегралу будет соответствовать неотрицательная или положительная величина;
• когда верхний предел интегрирования больше, чем нижний, и функции f(х) и g(х) не прерываются, то допустимо почленно интегрировать неравенство f(x) >=g(x).

Таблица интегралов для студентов (основные формулы)

Существует несколько основных приемов решения задач с интегралами. Процесс заключается в интегрировании функции по переменной. В том случае, если интеграл обладает табличным видом, то проблем с поиском его значения не возникнет. Когда форма записи интеграла отлична от табличной, решение сводится к приведению интеграла к табличному виду.

Таблица первообразных для решения интегралов имеет следующий вид:

В первую очередь необходимо ознакомиться с основными свойствами интегралов:

С помощью данных понятий можно решать несложные интегралы. Но в большинстве случаев встречаются задачи с непростыми интегралами, для работы с которыми требуется прибегнуть к дополнительным приемам.

Правила вычисления интегралов, примеры решения

Специальные методики позволяют рассчитывать большую часть интегралов. Основными приемами для поиска решений являются:

1. Замена переменной с применением навыков нахождения производных.

2. Интегрирование по частям с помощью формулы: \(\int udv=uv-\int vdu\).
3. Интегрирование дробно-рациональных функций:

• разложением дроби на простейшие \(\int F_{n}(x)/G_{m}(x)dx\);
• выделением полного квадрата \(\int dx/(ax^{2}+bx+c)\);
• созданием в числителе дифференциала знаменателя \(\int (mx+n)dx/(ax^{2}+bx+c)\).

4. Интегрирование дробно-иррациональных функций:

• выделением под корнем полного квадрата \(\int dx/(\sqrt{ax^{2}+bx+c})\);
• созданием в числителе дифференциала подкоренного выражения \(\int (mx+n)dx/(\sqrt{ax^{2}+bx+c})\).

5. Интегрирование тригонометрических функций:

• с помощью формул разложения для произведения \(\int \sin \alpha x*\cos \beta xdx\);
• с помощью создания \(d(cos x)\) при m-нечетном, n-любом для выражений вида \(\int \sin^{n}x*\cos^{m} xdx\) применимо тождество \(\sin^{2}+\cos^{2}=1\), где m, n являются четными, \(\sin^{2}x=(1-\cos^{2}x)/2$$ и $$ \cos^{2}x=(1+\cos^{2}x)/2\);

6. Применение свойства \(\tan ^{2}x=1/\cos ^{2}x-1\) для выражения в виде \(\int tan^{n}xdx\).

Решать интегралы целесообразно с помощью данного алгоритма:

1. Вникнуть в суть интегралов, включая базовые понятия и методы решения. Интеграл представляет собой сумму элементарных частей объекта интегрирования. В том случае, когда рассматривается интегрирование функции, следует идентифицировать интеграл как площадь фигуры между графиком функции, осью х и границами интегрирования. При неопределенном интеграле, то есть неизвестных границах интегрирования, решать задачу необходимо с помощью нахождения первообразной. В случае определенного интеграла в найденную функцию подставляют значения границ.
2. Научиться пользоваться таблицей первообразных и основными свойствами интегралов. Множество функций уже определены первообразными, которые отмечены в таблице. Для интегралов, которые занесены в табличную форму, уже имеется готовое решение.
3. Освоение способов и приобретение навыков решения интегралов. В том случае, когда в задаче имеется интеграл, не соответствующий табличной форме, его необходимо привести к этому виду. Данная операция выполняется с помощью применения основных свойств интегралов и приемов по их решению.

Примеры решения интегралов:

Задача 1

Требуется решить интеграл:

\(\int (x^{5}+\frac{1}{\sqrt{x}})dx\)

Решение

Заметим, что по условию интеграл — неопределенный. Сначала необходимо найти первообразную. Для этого интеграл суммы можно разложить на сумму интегралов:

\(\int x^{5}dx+\frac{1}{\sqrt{x}}dx\)

Таким образом, каждый из интегралов преобразован в табличный вид. Решение можно найти с помощью таблицы:

\(\frac{x^{6}}{6}+2\sqrt{x}+С\)

Выполним проверку решения с помощью поиска производной:

\((\frac{x^{6}}{6}+2\sqrt{x})^{,}=x^{2}+\frac{1}{\sqrt{x}}\)

Ответ: \(\frac{x^{6}}{6}+2\sqrt{x}+С\)

Задача 2

Требуется решить интеграл:

\(\int \sqrt[5]{(x+5)}\)

Решение

Имеется неопределенный интеграл. Для начала необходимо найти первообразную. При сравнении с таблицей выяснилось, что подобное решение отсутствует. Способ разложения, исходя из свойств интеграла, не применим в данном случае. Следует обратиться к приемам. В этом случае целесообразно воспользоваться заменой переменной. Таким образом, выполним замену выражения \(х+5\) на \(t^{5}\).

\(t^{5}=x+5\)

После преобразований получим \(\int tdx.\)

Выражение dx также требуется заменить на t. В таком случае:

\(x=t^{5}-5\)

\(dx=(t^{5}-5)^{,}=5t^{4}\)

Выполним подстановку значений:

\(5\int t^{4}*tdt=5\int t^{5}dt\)

Интеграл соответствует табличной форме. Его можно посчитать \(\frac{5t^{6}}{6}\).

Далее необходимо заменить t на выражение \(\sqrt[5]{(x+5)}\).

Таким образом:

\(\int \sqrt[5]{(x+5)}=5/6\sqrt[5]{(x+5)^{6}}\)

Ответ: \(\int \sqrt[5]{(x+5)}=5/6\sqrt[5]{(x+5)^{6}}.\)

Задача 3

Необходимо найти решение интеграла:

\(\int \frac{dx}{\sqrt{4x^{2}+4x+5}}\)

Решение

В рамках данной задачи целесообразно выделить полный квадрат:

\(4x^{2}+4x+5=4x^{2}+4x+1+4=(2x+1)^{2}+1\)

\(\int \frac{dx}{\sqrt{4x^{2}+4x+5}}=\int \frac{dx}{\sqrt{(2x+1)^{2}+1}}=\frac{1}{2}\int \frac{d(2x+1}{\sqrt{(2x+1)^{2}+1}}\)

Результат преобразований соответствует табличному виду. Можно найти первообразную:

\(\int \frac{dx}{\sqrt{x^{2}+a^{2}}}=\ln \left|x+\sqrt{x^{2}+a^{2}} \right|+C\)

\(\int \frac{dx}{\sqrt{4x^{2}+4x+5}}=\ln \left|2x+1+\sqrt{(2x+2)^{2}+1} \right|+C\)

\((2x+1)^{2}+1=4x^{2}+4x+1\)

В результате получим:

\(\int \frac{dx}{\sqrt{4x^{2}+4x+5}}=\ln \left|2x+1+\sqrt{4x^{2}+4x+1} \right|+C\)

Ответ: \(\int \frac{dx}{\sqrt{4x^{2}+4x+5}}=\ln \left|2x+1+\sqrt{4x^{2}+4x+1} \right|+C\)

Математический анализ — достаточно сложная дисциплина. Одной из главных тем является решение интегралов. С подобными задачами часто сталкиваются учащиеся профильных вузов. Если в процессе обучения студент испытывает какие-либо трудности, правильное решение — обратиться к сервису Феникс.Хелп.

С числовыми последовательностями человек сталкивается постоянно. Ранее русские математики оперировали термином вариант, который ввел Ш. Мерэ. Последовательность включает ряд чисел. Данный объект является одним из ключевых понятий в математическом анализе.

Что такое числовая последовательность — понятие и определение

Последовательность обладает рядом отличительных признаков:

• каждый элемент из множества соотносится с натуральным числом;
• число используют для обозначения номера элемента и идентификации позиции этого компонента в рассматриваемой последовательности;
• для всех элементов можно определить следующий за ним компонент последовательности.

Предположим, что х является числовым множеством. Тогда можно использовать его в формулировке числовой функции.

Множество х в данном случае представляет собой область определения.

С помощью функции можно определить любой член из последовательности. Этим свойством она отличается от произвольного комплекса чисел. В математике принято использовать буквы и числа для записи понятий и законов. Числовые последовательности, как правило, обозначают буквой х, хотя строгих правил на этот счет не предусмотрено.

\(x_{n}=f\left(n \right)\)

\(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4},...x_{n},...\)

В число самых интересных и популярных числовых последовательностей входит последовательность Фибоначчи. Она обладает удивительными свойствами и нередко наблюдается в природном мире. К примеру, семена подсолнечника расположены в порядке, который имеет форму спирали. Числа, с помощью которых обозначают количество семян в каждой из них, представляют собой члены последовательности Фибоначчи.

Какие бывают последовательности чисел

Данное понятие может быть представлено в разных видах. Среди числовых последовательностей различают следующие формы:

• постоянная или монотонная, имеет вид: 1, 1, 1, 1, 1 …;
• возрастающая характеризуется признаком, согласно которому каждый последующий компонент будет больше предыдущего;
• убывающая, в которой каждый следующий элемент меньше предыдущего.

Кроме стандартной классификации, числовые последовательности подразделяют на следующие категории:

• сходящиеся, с конечным пределом;
• расходящиеся, в которых предел соответствует бесконечности, либо вообще отсутствует.

Наиболее распространенными примерами последовательностей являются те, которые проходят на школьных уроках. К ним относят арифметическую и геометрическую прогрессию.

Арифметическая прогрессия

Раскрыть данное понятие поможет последовательность чисел:

1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15…

a₁, a₂, a₃, a₄, a₅, a₆, a₇, a₈... a_n,...

Следует отметить, что данные числа являются нечетными. Каждый следующий элемент можно вычислить, если прибавить к нему одно и то же число. Пусть данное число будет записано, как d. В данном примере d = 2.

Представленная последовательность является арифметической прогрессией. Для этого вида числового ряда справедлива формула:

\(a_{n+1}=a_{n}+d\)

Элемент а, которому соответствует номер n, является общим членом последовательности. Число d представляет собой разность арифметической прогрессии.

\(a_{n}=a_{1}+d(n-1)\)

\(d=a_{n+1}-a_{n}\)

Сумму первых n компонентов последовательности можно рассчитать с помощью уравнения:

\(S_{n}=\frac{a_{1}+a_{n}}{2}n\)

Ряд свойств характерен для арифметической прогрессии:

\(a_{n}=\frac{a_{n+1}+a_{n-1}}{2}\)

Геометрическая прогрессия

Данное определение соответствует последовательности чисел, состоящей из элементов, каждый из которых, начиная со второго, равен предыдущему члену, умноженному на одно и то же число q. Данное число является знаменателем прогрессии. Для компонентов геометрической прогрессии справедливо выражение:

\(b_{n+1}=b_{1}\times q^{n}\)

При рассмотрении геометрических прогрессий используют основные формулы. Для расчета n-го элемента прогрессии следует воспользоваться уравнением:

\(b_{n}=b_{1}\times q^{n-1}\)

Определить сумму первых n членов последовательности можно таким образом:

если \(q\neq 1\)

то \(S_{n}=\frac{b_{1}(q^{n}-1)}{q-1}\)

если \(\left| q\right|< 1\)

то \(S_{n}=\frac{b_{1}}{q-1}\)

Характеристическим свойством геометрической прогрессии является следующее равенство:

\(b^{2}_{n}=b_{n-1}\times b_{n+1}\)

Предел последовательности, основные свойства

Согласно определению, последовательность является некоторой функцией. Поэтому определение пределов последовательностей во многом сходится с вычислением пределов функций, но обладает некоторыми особенностями.

По-другому, предел последовательности представляет собой число, в окрестности которого расположены все компоненты последовательности, начиная с определенного. Переменная n в данном случае всегда будет стремиться к бесконечности, в сторону увеличения натуральных чисел.

Способы задания числовых последовательностей

Такие действия можно выполнять по-разному. К основным способам задания последовательностей относят:

• аналитический или с помощью формулы;
• реккурентный, при наличии нескольких известных первых элементов прогрессии и формулы для определения следующих членов последовательности;
• описательный, включает простое перечисление всех компонентов последовательности.

Аналитический способ задания числовой последовательности

Считают, что последовательность задана аналитически, когда представлено уравнение для расчета ее n-го элемента.

\(y_{n}=f(n)\)

В качестве примера можно рассмотреть:

\(y_{n}=\frac{1}{n}\)

Это аналитический способ задания последовательности чисел:

\(1;\frac{1}{2};\frac{1}{3};...\frac{1}{n};...\)

Зная конкретное значение n, можно определить элемент последовательности с соответствующим номером. Можно изобразить данную последовательность на графике. Исходя из определения графика функции, он будет представлять собой множество всех точек:

\((n;\frac{1}{n})\)

Указанные точки будут расположены на правой ветви гиперболы:

\(y=\frac{1}{x}\)

Функция  \(y=\frac{1}{x}\) в случае, когда x > 0, будет убывающей. В таком случае числовая последовательность \(y_{n}=\frac{1}{n}\) также будет убывать.

Можно рассмотреть второй пример, когда:

\(y_{n}=\left|n-5 \right|\)

Следует представить несколько элементов данной числовой прогрессии:

\(y_{1}=\left|1-5 \right|=4\)

\(y_{2}=\left|2-5 \right|=3\)

\(y_{3}=\left|3-5 \right|=2\)

Графиком рассматриваемой последовательности будет являться множество точек, которые характеризуются координатами:

\((n;\left|n-5 \right|)\)

Эти точки принадлежат ломаной линии:

\(y=\left|x-5 \right|\)

Числовая последовательность \(y_{n}=\left|n-5 \right|\) будет убывать, если n соответствует интервалу от 1 до 5, и возрастать – при n от 5 до бесконечности.

Описательный метод задания числовой последовательности

Данная методика используется не всегда. Описательный способ записи последовательности чисел целесообразно применять, когда в условии задачи отсутствуют формулы, а правило прогрессии изложено лишь словами. В качестве примера можно рассмотреть такую последовательность, в которой:

\(a_{n}\) является цифрой после запятой в десятичной записи числа \(\sqrt{2}\)

\(\sqrt{2}=1,41421…\)

\(a_{1}=4\); \(a_{2}=1\);\(a_{3}=4\);\(a_{4}=2\);\(a_{5}=1\);…

Рекуррентный способ задания числовой последовательности

Рекуррентной называют последовательность, в правилах которой указано, что для расчета n-го члена необходимо знать значение предыдущих. В качестве примера можно привести такие условия:

\(y_{1}=1\)

\(y_{2}=1\)

\(y_{n}=y_{n-2}+y_{n-1}\)

\(n = 3, 4, 5 …\)

Данный пример демонстрирует возможность рассчитать любой n-ый элемент числовой последовательности.

Действия над числовыми последовательностями

Представленные формулы позволяют производить разнообразные манипуляции с рядом чисел. К основным действиям относятся:

1. Суммировать последовательности x_n и y_n в виде последовательности x_n + y_n с элементами x₁+y₁  x₂+y₂  x₃+y₃  … x_n+y_n.
2. Найти разность последовательностей x_n и y_n в виде последовательности x_n - y_n с элементами x₁-y₁  x₂-y₂  x₃-y₃  … x_n-y_n.
3. Умножение последовательностей x_n и y_n в виде последовательности x_n * y_n с элементами x₁*y₁  x₂*y₂  x₃*y₃  … x_n*y_n.
4. Поиск частного последовательностей x_n и y_n в виде последовательности x_n / y_n с элементами x₁/y₁  x₂/y₂  x₃/y₃  … x_n/y_n.

При выполнении расчетов и решении задач с последовательностью чисел следует учитывать важные особенности:

• последовательность может обладать только одним пределом;
• последовательность с пределом считается ограниченной, обратное утверждение не всегда справедливо;
• в случае, когда элементы какой-либо последовательности z_n находятся между соответствующими компонентами пары последовательностей x_n и y_n сходящихся к одному пределу, то и эта последовательность сходится к тому же пределу;
• предел постоянной числовой прогрессии соответствует ее постоянному;
• равные между собой числовые последовательности x и y обладают равными друг другу пределами при их наличии;
• в ситуации, когда каждый элемент сходящейся последовательности не превосходит соответствующего элемента другой сходящейся последовательности, то и предел первой не превосходит предела второй;
• предел суммы или разности пары числовых прогрессий соответствует сумме или разности их пределов в случае, когда рассматриваемые последовательности обладают пределами;
• предел произведения пары числовых прогрессий, для которых характерно наличие пределов, имеет место быть и рассчитывается, как произведение пределов последовательностей;
• при работе с постоянным множителем допускается выносить его за знак предела;
• предел частного пары числовых прогрессий, обладающих пределами, равен частному пределов этих последовательностей, если предел знаменателя не равен нулю.

Примеры задач с решением

Задача 1

Дана числовая последовательность

\(y_1=1\)

\(y_2=1\)

\(y_n=y_{n-2}+y_{n-1}\)

\(n = 3, 4, 5 …\)

Требуется найти 7-ой элемент последовательности.

Решение

Для определения 7 члена числовой последовательности следует узнать 5 и 6 компоненты.

\(y_4=3\)

\(y_5=5\)

\(y_6=3+5=8\)

\(y_7=5+8=13\)

Ответ: 7 член равен 13.

Задача 2

По условию задачи

\(x_{n}=\frac{n-1}{2n+1}\)

Требуется найти \(x_{3}\)

Решение

В начало необходимо подставить n=3 в уравнение для определения n-го элемента последовательности:

\(x_{n}=\frac{n-1}{2n+1}\)

Формула будет преобразована таким образом:

\(x_{3}=\frac{3-1}{2*3+1}=\frac{2}{7}\)

Ответ: \(x_{3}=\frac{2}{7}\)

Задача 3

Дана формула для определения n-го компонента прогрессии:

\(x_{n}=\frac{n-1}{2n+1}\)

Требуется выяснить, является ли число \(\frac{4}{11}\) каким-либо из элементов рассматриваемой последовательности.

Решение

Следует приравнять уравнение для n-го компонента последовательности \(x_{n}=\frac{n-1}{2n+1}\) к указанному в условии задачи числу \(\frac{4}{11}\) для получения уравнения относительно n. В том случае, когда n представляет собой натуральное число, то число \(\frac{4}{11}\) будет являться членом заданной прогрессии.

\(\frac{n-1}{2n+1}=\frac{4}{11}\)

\(11n – 11 = 8n + 4\)

\(3n = 15\)

\(n = 5\)

Ответ: число \(\frac{4}{11}\) является 5 членом последовательности.

Задача 4

Требуется записать уравнение общего члена последовательности, которая задана несколькими компонентами: 1, 4, 9, 16, 25.

Решение

Сначала необходимо записать каждый из членов прогрессии в таком виде:

\(y_{1}=1=1^{2}\)

\(y_{2}=4=2^{2}\)

\(y_{3}=9=3^{2}\)

\(y_{4}=16=4^{2}\)

\(y_{5}=25=5^{2}\)

Следует отметить, что компоненты прогрессии являются квадратами последовательных натуральных чисел. Согласно этому утверждению, можно сделать следующий вывод:

\(y_{n}=n^{2}\)

Ответ: \(y_{n}=n^{2}\)

Числовые последовательности исследовались многими математиками с мировым именем на протяжении веков. Зная основные формулы и правила работы с прогрессиями, можно достаточно просто решать задачи с рядами чисел и определять компоненты последовательностей. Если в процессе освоения какой-либо темы возникают сложности, можно обратиться за помощью к сервису Феникс.Хелп.

Человек регулярно сталкивается с разными видами движения. Перемещение тела по окружности позволяет понять многие физические процессы. На основе закономерностей такого явления работают разнообразные механизмы. Рассчитать характеристики движения по окружности достаточно просто, если знать и уметь применять несколько основных формул.

Движение тела по окружности — какими законами описывается

Тело может двигаться по окружности двумя способами:

• равномерно;
• неравномерно.

Равномерное движение тела характеризуется постоянной угловой скоростью. Для описания такого перемещения применяют следующие формулы:

• угловая скорость: \(\omega =\frac{2\pi }{T}\)
• скорость движения: \(V =\frac{2\pi R}{T}=\omega R\)
• угол поворота: \(\phi =2\pi \frac{t}{T}=\omega t\)
• ускорение: \(\frac{2\pi v}{T}=\omega ^{2}R\)

Неравномерное движение возможно при переменной угловой скорости тела. В данном случае применимы формулы:

• тангенциальное ускорение: \(a_{t}=\frac{dv}{dt}\)
• центростремительное ускорение: \(a_{n}=\frac{v^{2}}{R}=\omega ^{2}R\)

В представленных уравнениях используются такие параметры, как:

• Т — период вращения;
• t — время;
• ω — угловая скорость;
• R — радиус;
• a_t — тангенциальное ускорение;
• a_n — центростремительное или полное ускорение.

При отсутствии специальных оговорок, в процессе решения задач движение тела по окружности принимают за равномерное. Для расчета пройденного пути используют формулу:

\(S=\frac{v}{t}\)

где:

• S является расстоянием, которое преодолело тело;
• v представляет собой скорость движения тела;
• t определяет время движения.

Таким образом, справедливы выражения:

\(v=\frac{S}{t}\)

\(t =\frac{v}{S}\)

Величины, которые применяют для решения задач, характеризуются положительными значениями:

S > 0, v > 0, t > 0

Секретом заданий на движение тела по окружности является то, что обгоняющий будет преодолевать на 1 круг больше при первом обгоне. Данное расстояние считается на n кругов больше, если первый объект обогнал другого в n-ый раз.

Задачи на движение по окружности от простых до сложных

Задачи на движение тела по окружности отличаются по степени сложности. Можно рассмотреть примеры простых заданий.

Задача 1

Длина круговой трассы составляет 8 километров. Из ее точки в один момент времени в одинаковом направлении выехали два автомобиля. Первый автомобиль развил скорость 114 км/ч и, спустя 20 минут после начала движения, обогнал второй автомобиль на один круг. Требуется определить скорость, с которой двигался второй автомобиль. Ответ необходимо представить в км/ч.

Решение

Известно, что старт произошел одновременно для обоих автомобилей. Через 20 минут после начала движения первое транспортное средство опережало второе на один круг. Таким образом, в течение 20 минут или 1/3 часа первый автомобиль преодолел на 1 круг больше, то есть на 8 км больше. За час первый автомобиль проехал на 8*3=24 км больше, чем второй. Скорость второго транспортного средства на 24 км/ч меньше по сравнению с первым, и равна 114-24=90 км/ч.

Ответ: второй автомобиль двигался со скоростью 90 км/ч.

Задача 2

Из пункта А круговой трассы выехал велосипедист, а спустя полчаса стартовал мотоциклист. Через 10 минут после начала пути водитель мотоцикла догнал велосипедиста в первый раз. Спустя еще 30 минут мотоциклист догнал велосипедиста повторно. Требуется определить, какова скорость мотоциклиста, в том случае, когда длина трассы составляет 30 км. Ответ необходимо представить в км/ч.

Решение

В первую очередь требуется перевести минуты в часы. Скорости мотоциклиста и велосипедиста можно обозначить х и у. В первый раз водитель мотоцикла обогнал велосипедиста, спустя 10 минут или 1/6 часа после начала движения. До этого момента велосипедист находился в движении 40 минут или 2/3 часа.

Можно упростить запись условий задачи:

велосипедист: v = х, t = 2/3, S = 2/3*х;

мотоциклист: v = у, t = 1/6, S = 1/6*у.

Велосипедист и мотоциклист преодолели одинаковый путь:

\(\frac{1}{6}y=\frac{2}{3}x\)

Спустя 30 минут или 1/2 часа после первого обгона мотоциклист выполнил второй обгон велосипедиста.

Таким образом:

велосипедист: v = х, t = 1/2, S = 1/2*х;

мотоциклист: v = у, t = 1/2, S = 1/2*у.

Требуется определить расстояния, которые преодолели гонщики. Мотоциклист обогнал велосипедиста, то есть проехал больше на один круг. Это является ключевым моментом в данной задаче. Один круг составляет 30 километров. Второе уравнение будет иметь вид:

\(\frac{1}{2}y-\frac{1}{2}x=30\)

Далее необходимо решить полученную систему:

у = 4х

у – х = 60

Таким образом, х = 20, у = 80.

Ответ: скорость мотоциклиста равна 80 км/ч.

Бывают задания на движение тела по окружности с повышенной степенью сложности. Как правило, подобные примеры при невозможности проведения экспериментов требуют сложных вычислений.

Задача 3

На часах со стрелками время 8 часов 00 минут. Требуется определить, через сколько минут минутная стрелка в четвертый раз догонит часовую стрелку.

Решение

Спустя один час минутная стрелка преодолевает один круг, а часовая проходит лишь 1/12 циферблата. Допустим, что скорости равны 1 круг в час и 1/12 круга в час соответственно. Начало движения приходится на 8.00. Необходимо определить время, в течение которого минутной стрелке в первый раз удастся догнать часовую.

Минутная стрелка преодолеет на 2/3 круга больше. Исходя из этого, можно записать уравнение:

\(1*t-\frac{1}{12}t=\frac{2}{3}\)

Таким образом, спустя 8/11 часа стрелки совпадут. Предположим, что через время z стрелки совпадут повторно. Минутная стрелка преодолеет расстояние 1*z, а часовая 1/12*z. При этом минутной стрелкой будет пройдено на один круг больше. Можно записать уравнение:

\(1*z-\frac{1}{12}z=1\)

Решение данного уравнения будет таким:

\(z=\frac{12}{11}\)

Таким образом, через 12/11 часа стрелки совпадут повторно. Спустя еще 12/11 часа они встретятся вновь и так далее. Поэтому при старте в 8.00 в четвертый раз минутная стрелка догонит часовую через:

\(\frac{8}{11}+3\frac{12}{11}\) часа

Ответ: минутная и часовая стрелки совпадут в четвертый раз через \(\frac{8}{11}+3\frac{12}{11}\)часа.

Нередко при решении задач на движение по окружности требуется рассчитать среднюю скорость тела. Важно, что данная величина не совпадает со средним арифметическим скоростей. Средняя скорость определяется с помощью формулы:

\(v=\frac{S_{0}}{t_{0}}\)

где v является средней скоростью;

S₀ представляет собой общий путь;

t₀ определяет общее время.

При наличии двух участков пути средняя скорость рассчитывается по формуле:

\(v=\frac{S_{1}+S_{2}}{t_{1}+t_{2}}\)

Наиболее сложными задачами считаются примеры с пятизначными дискриминантами. Рассмотрим алгоритм действий в таком случае.

Задача 4

Пара гонщиков участвует в соревновании. Путь, который требуется преодолеть, равен 60 кругам кольцевой трассы в 3 км. После одновременного старта первый гонщик пересек финиш раньше, чем второй на 10 минут. Требуется рассчитать среднюю скорость второго гонщика. Известно, что впервые первый участник обогнал второго на круг, спустя 15 минут после начала движения. Ответ требуется записать в км/ч.

Решение

Первый участник гонки, находясь в движении 15 минут, догнал второго гонщика на первом круге. Таким образом, в течение 15 минут он преодолел на 1 круг или на 3 км больше, чем второй. За час первый гонщик проехал 3*4=12 километров больше. При этом скорость его движения на 12 км/ч превышает скорость второго гонщика. 10 минут соответствует ¼ часа. Можно записать уравнение:

\(\frac{180}{x}-\frac{180}{x+12}=\frac{1}{6}\)

Далее необходимо преобразовать выражение к квадратному уравнению:

\(x^{2}+12x-12960=0\)

Таким образом, получен пятизначный дискриминант. Есть более простой вариант решения задачи. Можно записать уравнение:

\(\frac{180}{x}-\frac{180}{x+12}=\frac{1}{6}\)

В нем 180 можно поделить на 12. Заменим х=12z:

\(\frac{180}{12z}-\frac{180}{12z+12}=\frac{1}{6}\)

\(\frac{15}{z}-\frac{15}{z+1}=\frac{1}{6}\)

\(\frac{90}{z}-\frac{90}{z+1}=1\)

Данное равенство можно преобразить в квадратное уравнение. Целый положительный корень такого выражения z=9. Тогда получим:

\(х=12z=108\)

Ответ: средняя скорость второго гонщика равна 108 км/ч.

Нахождение линейной скорости при движении по окружности

Любая точка, находящаяся на окружности, перемещается с некоторой скоростью. Данная величина называется линейной скоростью. Вектор линейной скорости всегда совпадает по направлению с касательной к окружности. К примеру, стружка из точильного станка движется, повторяя направление мгновенной скорости.

Можно рассмотреть какую-то точку на окружности, совершившую один оборот. При этом было затрачено время равное периоду Т. Расстояние или путь, пройденный точкой, представляет собой длину рассматриваемой окружности.

Задачи на тему равномерное движение по окружности

Задача 1

Радиус выпуклого моста равен 90 м. Требуется определить скорость, с которой автомобиль должен пройти его середину, чтобы пассажир на мгновение ощутил невесомость.

Решение

Согласно условиям задачи:

R = 90 м

N = 0

Сила реакции опоры обладает нулевым значением, так как пассажир в состоянии невесомости не оказывает давление на сиденье автомобиля.

Решение задачи необходимо представить в системе отсчета, которая связана с Землей. Человек совершает движение вместе с автомобилем. Ускорение при этом направлено вниз. На пассажира действует сила притяжения Земли, которая будет центростремительной:

\(mg=m\frac{v^{2}}{R}\)

Таким образом:

\(v=\sqrt{\frac{Rmg}{m}}=\sqrt{Rg}=\sqrt{90*10}=30\) м/с

Ответ: скорость автомобиля составляет 30 м/с.

Задача 2

Масса девочки 40 кг. Она качается на качелях, длина подвеса которых составляет 4 м. Требуется определить силу, с которой девочка давит на сиденье при прохождении среднего положения со скоростью 5 м/с.

Решение

На девочку действует сила тяжести \(m\vec{g}\) и сила реакции опоры \(\vec{N}\).

Качели находятся под действием силы давления  \(\vec{F_{g}}\), которая направлена вниз. Согласно третьему закону Ньютона, данная сила соответствует взятой со знаком минус силе реакции опоры:

\(\vec{F_{g}}=-\vec{N}\)

Таким образом, решением задачи является определение силы реакции опоры. Исходя из закона динамики:

\(m\vec{g}+\vec{N}= m\vec{a}\)

В проекции на ось Х:

\(N-mg=m\frac{v^{2}}{R}\)

Из чего следует вывод:

\(F_{g}=\left|N \right|=m(g+\frac{v^{2}}{R})\)

\(F_{g}=40(10+\frac{5^{2}}{4})=650\) Н

Ответ: сила равна 650 Н.

Задача 3

Шарик привязали с помощью нити к подвесу. Он описывает в горизонтальной плоскости окружность, совершая движение с постоянной скоростью. Нить обладает длиной 0,6 м и составляет с вертикалью угол в 60 градусов. Необходимо рассчитать, какова скорость шарика.

Решение

Сумма сил \(m\vec{g}\) и натяжения \(\vec{F_{n}}\), исходя из правила параллелограмма, соответствует результирующей силе, направленной в центр вращения \(\sum_{i}^{}{\vec{F}_{i}}\):

\(\sum_{i}^{}{\vec{F}_{i}}= m\vec{g}+\vec{F_{n}}= m\vec{a}\)

Силы в сумме определяются из прямоугольного треугольника с углом α равным 60 градусам. Исходя из того, что \(\vec{F_{n}}\) является противолежащим катетом, получим:

\(\vec{F_{n}}=mg*tg α\)

Таким образом:

\(mg*tg α= m\vec{a}= m\frac{v^{2}}{R}\)

\(v^{2}=\frac{mg*\tan \alpha *R}{m}=gR*\tan \alpha\)

R включен в прямоугольный треугольник, в котором длина нити представляет собой гипотенузу. R является катетом, противолежащий углу α в 60 градусов.

\(R=l*\sin \alpha\)

Преобразив формулу квадрата скорости шарика с помощью подстановки выражения для радиуса, получим:

\(v^{2}=gl*\sin \alpha *\tan \alpha \)

\(v=\sqrt{gl*\sin \alpha *\tan \alpha }=\sqrt{10*0.6*\frac{\sqrt{3}}{2}*\sqrt{3}}=3\) м/с

Ответ: скорость шарика составляет 3 м/с.

Задача 4

Необходимо определить максимальную скорость мотоцикла по горизонтальной плоскости, который описывает при этом дугу окружности с радиусом 100 м. Коэффициент трения резины о плоскость составляет 0,4.

Решение

Во время поворота мотоцикл наклоняется к центру поворота. На транспортное средство оказывают действие:

• сила тяжести \(m\vec{g}\);
• сила реакции опоры \(\vec{N}\);
• сила трения \(\vec{F_{tr}}\);
• сила тяги \(\vec{F_{t}}\);
• сила сопротивления \(\vec{F_{c}}\).

Данные силы в сумме составляют:

\(m\vec{g}+\vec{N}+\vec{F_{tr}}+\vec{F_{t}}+\vec{F_{c}}= m\vec{a}\)

Согласно выражениям:

\(m\vec{g}+\vec{N}=0\)

\(\vec{F_{t}}+\vec{F_{c}}=0\)

Получим:

\(\vec{F_{tr}}= m\vec{a}\)

Сила трения составляет:

\(F_{tr}= \mu mg\)

Таким образом:

\(\mu mg=ma= m\frac{v^{2}}{R}\)

\(v=\sqrt{\frac{\mu mgR}{m}}=\sqrt{\mu gR}=\sqrt{0.4*10*100}=20\) м/с

Ответ: максимальная скорость равна 20 м/с.

Задачи разной сложности по теме движения тела по кружности часто встречаются не только в школьной программе, но и во время обучения в вузе. Знание основных закономерностей позволит быстро найти решение примера любой сложности. Если в процессе расчетов возникают трудности, всегда можно обратиться за помощью к сервису Феникс.Хелп.

Энергия является важнейшим понятием в механике. Данный термин определяет способность тела совершать работу. Универсальная количественная мера в физике характеризует движение и взаимодействие объектов. Она может быть двух типов: потенциальной и кинетической.

Потенциальная и кинетическая энергия

Определить потенциальную энергию тела можно, зная его массу, ускорение свободного падения и положение относительно земли. Формула для расчета имеет следующий вид:

E = m * g * h

В международной системе СИ потенциальная энергия обозначается буквой Е и измеряется в Дж (Джоуль).

В вышеуказанной формуле m является массой тела, h представляет собой высоту, а g – ускорением свободного падения, которое приблизительно равно 9,8 м/с2.

Величина потенциальной энергии определяется выбранной системой отсчета. Это связано с тем, что отсчет высоты можно выполнять не только относительно земной поверхности, но и от какой-то точки или определенного уровня.

Кинетическая энергия служит для определения запаса энергии тела, обладающего определенной скоростью. Определить кинетическую энергию можно с помощью формулы:

\(E=\frac{mv^{2}}{2}\)

В международной системе СИ кинетическая энергия обозначается буквой Е и измеряется в Дж (Джоуль).

В уравнении m является массой тела, а v представляет собой его скорость.

Скорость тела определяется выбранной системой отсчета. Поэтому кинетическая энергия также зависит от того, каким образом рассчитывают характеристики системы, в которой движется тело.

Каким законам подчиняется, формулы

Потенциальная энергия характерна не только для тела, находящегося на определенной высоте. Несколько иначе выполняют расчет потенциальной энергии упруго деформированного тела. При деформации изменяется его форма и объем, при этом объекту передается определенный запас энергии. К примеру, если растянуть пружину или, напротив, сжать ее, то такие действия меняют расстояние, на которое удалены атомы и молекулы друг от друга. Таким образом, создается потенциальная энергия.

Расчет потенциальной энергии деформированного объекта выполняют с помощью уравнения:

\(E=\frac{k(\Delta x)^{2}}{2}\)

k является жесткостью пружины, \(\Delta x\) — это изменение длины пружины.

Следует отметить, что значение потенциальной энергии пружины будет всегда положительным, так как формула содержит ее изменение в квадрате. Даже в случае, когда изменение будет иметь знак «-», потенциальная энергия в любом случае останется положительной.

Говоря об энергии, следует учитывать, что объект обладает несколькими типами энергии одновременно. К примеру, летящий на большой высоте самолет имеет запас потенциальной энергии, так как удален от поверхности земли, и кинетической энергии из-за своей скорости движения.

Ели принять земную поверхность за уровень нулевой энергии, то данное утверждение будет справедливо. В случае, когда рассматривают объект в других системах отсчета, его энергия будет отличаться.

Рассматривая качели, можно сказать, что они обладают запасом и кинетической, и потенциальной энергии. Когда конструкция максимально отклоняется от равновесного положения, энергия будет рассчитываться таким образом:

Е_п = макс

Е_к = 0, так как скорость имеет нулевое значение.

В момент, когда качели пересекают точку равновесного положения, энергия будет распределена следующим образом:

Е_к = макс

скорость качелей в этой точке будет максимальна;

Е_п = мин

высота, на которой тело находится над землей, будет минимальной.

При сложении двух видов энергии получают полную механическую энергию тела. Она включает потенциальную и кинетическую энергии.

Задачи по теме с подробными решениями

Задача 1

Самолет, масса которого составляет 50 тонн, пролетает на высоте 10 километров. Скорость транспортного средства равна 900 км/ч. Требуется рассчитать, какова полная механическая энергия самолета.

Решение

Первым шагом является перевод искомых данных, согласно системе СИ. В таком случае масса самолета составит 50 000 кг, скорость – 250 м/с, а высота – 10 000 м.

Самолет обладает запасом полной энергии, которая включает и потенциальную, и кинетическую.

E = E_п + Е_к

E_п = m * g * h

Е_к = m * v² / 2

Таким образом, полная энергия составит:

\(E=m\times g\times h\times \frac{mv^{2}}{2}\)

Если подставить в полученную формулу числовые значения величин из условия задачи, то получим полную энергию:

\(E=6.5625\times 10^{9}\) Дж

Если записать ответ сокращенно, то он примет такой вид:

\(Е = 6,5625\) Гдж.

Ответ: в рассмотренной системе отсчета значение полной механической энергии самолета составит 6.5625 Гдж.

Однако, данную задачу можно решить, принимая за нулевой уровень отметку в 10 километров. Тогда транспортное средство будет характеризоваться лишь запасом кинетической энергии, а значение потенциальной энергии будет равно нулю.

Задача 2

Пружину закрепили к стене и поместили на гладкую поверхность. На конце пружины зафиксировали тело. Растяжение пружины, которая обладает жесткостью в 400 Н/м, происходит при воздействии силы в 80 Н. Требуется рассчитать запас энергии в пружине.

Решение

Согласно условию задачи, поверхность обладает гладкостью, что позволяет сделать вывод о нулевом значении силы трения. Таким образом, потери энергии исключены. Воздействуя на пружину, можно наблюдать ее деформацию. Весь запас энергии будет сосредоточен в ней. Найти данную величину можно по формуле:

\(E=\frac{k(\Delta x)^{2}}{2}\)

Сила упругости равна произведению жесткости на изменение длины пружины:

\(k\times \Delta x=F\)

Деформацию пружины можно рассчитать таким образом:

\(\Delta x=\frac{F}{k}\)

Используя последнее равенство, можно преобразовать формулу для расчета энергии:

\(E=\frac{k(\frac{F}{k})^{2}}{2}=\frac{kF^{2}}{2k^{2}}=\frac{F^{2}}{2k}\)

Далее следует подставить числовые значения в полученное выражение:

\(E=\frac{80^{2}}{2\times 400}=8\) Дж

Ответ: запас энергии в пружине составляет 8 Дж.

Задача 3

Масса пули составляет 9 грамм. Ее выпустили из оружия вертикально в верхнем направлении. Скорость пули при этом составила 700 м/с. Требуется рассчитать ее кинетическую энергию.

Решение

Условия задачи удобно представить в виде рисунка.

Расчет нужно выполнить по формуле:

\(E=\frac{mv^{2}}{2}\)

Перед тем, как подставить в уравнение числовые значения, требуется перевести их в систему СИ. Тогда масса пули составит 0,009 кг. Выражение будет записано следующим образом:

\(E=\frac{0.009\times 49\times 10^{4}}{2}=2200\) Дж

Ответ: запас кинетической энергии пули равен 2200 Дж.

Задача 4

Масса ракеты составляет 0,2 кг. Ее выпустили из орудия вертикально вверх. После этого ракета достигла высоты в 60 метров. Требуется рассчитать значение потенциальной энергии ракеты, характерной для этой отметки.

Решение

Условие задачи можно представить с помощью рисунка.

Для того чтобы рассчитать потенциальную энергию, требуется воспользоваться формулой:

E = m * g * h

Далее необходимо подставить в выражение числовые значения:

Е = 0,2 * 9,8 * 60 = 118 Дж

Ответ: потенциальная энергия ракеты на заданной высоте составит 118 Дж.

Задача 5

Пружину растянули на 5 мм. Коэффициент ее жесткости составляет 10000 Н/м. Требуется вычислить, какова энергия пружины.

Решение

Следует представить условия задачи на рисунке.

Уравнение, с помощью которого можно рассчитать энергию пружины, имеет такой вид:

\(E=\frac{k(\Delta x)^{2}}{2}\)

Далее необходимо привести к системе СИ расстояние, на которое растянули пружину. Оно составит 0,005 м.

После преобразований можно подставить числовые значения в искомую формулу:

\(E=\frac{10^{4}\times 25\times 10^{-6}}{2}=0.125\) Дж

Ответ: энергия пружины составляет 0,125 Дж.

Знание основных формул для расчета кинетической, потенциальной и полной энергии тела позволит решить задачи любой сложности. Наиболее простым способом является выполнение последовательных действий, включая запись условий задачи, графическое изображение системы, представление формул для вычисления энергии, решение уравнения с помощью подстановки числовых значений. Важно отметить, что механическая энергия представляет собой сумму потенциальной и кинетической энергии.

Если в процессе поиска решений уравнений возникают трудности, всегда можно обратиться за помощью к сервису Феникс.Хелп.

В современном мире наблюдается огромный спрос на инновации в области радиотехники и информационных технологий. Сфера активно развивается, что повышает востребованность многих специальностей. Получить интересную и высокооплачиваемую профессию можно, если успешно окончить радиотехнический колледж. Будущим студентам будет полезно ознакомиться с особенностями обучения в России.

Какие дисциплины изучают в радиотехническом колледже

Современные образовательные учреждения предоставляют качественные услуги по обучению профессиям в области радиотехники. Программы по специальностям могут несколько отличаться. Однако такие предметы, как высшая математика, физика, электроника и программирование, лежат в основе образовательного процесса. Учащимся следует подготовиться к углубленному изучению этих дисциплин. Радиотехнические колледжи и техникумы предлагают на выбор студентам широкий спектр специальностей и направлений:

• радиотехника;
• программное обеспечение;
• телекоммуникации;
• компьютерные сети и системы;
• робототехника;
• наноэлектроника;
• проектируемые мобильные системы.

Популярностью пользуются такие специальности, как:

• военный связист;
• звукорежиссер;
• инженер оптико-электронных приборов;
• инженер по авиационному и радиоэлектронному оборудованию;
• инженер по приборам ориентации, навигации и стабилизации летательных аппаратов;
• инженер по спутниковым коммуникациям;
• инженер по телевизионному оборудованию;
• инженер по электромагнитной совместимости;
• инженер связи;
• инженер телекоммуникаций;
• инженер технической поддержки в области связи.

Что требуется для поступления

Прежде всего, следует определиться с направлением обучения. Познакомиться с особенностями специальностей можно на курсах ввода в профессию. Для каждого учебного заведения характерен ряд внутренних испытаний. Вступительные экзамены могут несколько отличаться в зависимости от профессиональной области. Обязательными экзаменами являются:

• математика;
• физика;
• русский язык.

Некоторые факультеты радиотехнических колледжей тестируют будущих студентов на уровень знаний по химии и английскому языку. Если предполагается поступление в военный радиотехнический техникум, то необходимо предоставить справку о состоянии здоровья.

В колледж можно поступить после окончания средней школы:

• 9 классов;
• 11 классов.

Учащиеся радиотехнического колледжа, которые поступили в учреждение после 9 или 11 класса, смогут продолжить обучение в институте. При этом вуз не требует сдавать ЕГЭ.

Большинство радиотехнических колледжей характеризуются не очень высоким проходным баллом, который может не дотягивать до «четверки». К примеру, если абитуриент имеет средний балл 3,8, то у него есть возможность поступить на факультет. Желающим обучаться на бюджетном отделении следует ответственно отнестись к подготовке к экзаменам, так как претендентов достаточно много.

Подготовительные курсы

Обучение в радиотехническом колледже предполагает углубленное изучение точных дисциплин. Темы достаточно сложные, поэтому не лишним будет посетить подготовительные курсы.

Наиболее популярными предметами, по которым готовят будущих студентов, являются:

• математика;
• прикладная информатика;
• физика;
• русский язык.

Такой комплекс занятий поможет поступить на факультет по одному из следующих направлений:

1. Информатика и вычислительная техника.
2. Информационная безопасность.
3. Электроника и радиотехника и системы связи.

Дополнительная подготовка, как правило, является услугой, которую предоставляет радиотехнический колледж. Курсы ведут преподаватели, с которыми студентам предстоит взаимодействовать в будущем.

Формы обучения

Современные учебные заведения предлагают несколько форматов образовательного процесса. Формы обучения в радиотехническом колледже:

• заочная;
• очно-заочная;
• очная.

Особенности обучения

Каждый радиотехнический колледж предлагает студентам качественные образовательные программы. В учреждении представлено обычно несколько основных областей научных знаний и разные факультеты. Важным преимуществом среднего специального образования является наличие производственной практики. Уже в процессе обучения студенты могут проявить свои профессиональные навыки, а также подыскать место работы.

Расписание радиотехнического колледжа

Распорядок пар, промежуточных и итоговых экзаменов определяется кафедрой. Ознакомиться с информацией по каждому конкретному колледжу удобно на сайте образовательного учреждения. Студентам предоставляются данные по дисциплинам, часам, нормативам, предстоящим теоретическим и практическим работам.

Общежитие

При выборе радиотехнического колледжа следует узнать о его местоположении. Многие образовательные учреждения расположены в крупных населенных пунктах. Поэтому студентам, проживающим на удаленном расстоянии, приходится задуматься о том, как добираться до места учебы. В большинстве случаев учащиеся арендуют жилье у частных лиц или заселяются в общежития. Второй вариант обладает рядом преимуществ:

• существенная экономия бюджета на транспортные расходы;
• демократичная стоимость;
• близость места учебы;
• возможность взаимодействовать с другими студентами.

Сколько стоит обучение в радиотехническом колледже

Стоимость получения среднего специального образования зависит от ряда факторов. К основным ценообразующим условиям относятся:

• престиж колледжа;
• специализация;
• форма обучения.

В среднем студенты, которые поступают в радиотехнический колледж, платят от 20 до 40 тысяч рублей в год. Максимальная стоимость обучения может достигать 120 тысяч рублей в год.

Какие профессии подходят для выпускников радиотехнического колледжа

Наиболее важный вопрос, который волнует будущих студентов, связан с дальнейшим трудоустройством. Выпускникам радиотехнического колледжа доступны следующие профессии:

• сфера IT технология: программист, системный администратор;
• разработка радиоэлектронных приборов: инженер-электронщик;
• организация мобильной связи, видеонаблюдения, прокладка сетей: монтажник слаботочного электрооборудования, инженер.

Популярные радиотехнические колледжи

Каждый студент выбирает техникум, исходя из своих индивидуальных требований и возможностей. Абитуриентам будет полезно ознакомиться с рейтингом наиболее популярных радиотехнических коллежей России.

Политехнический колледж имени П.А. Овчинникова предлагает получить среднее специальное образование по следующим направлениям:

• информатика и разработка программ;
• установка радиоэлектроники;
• установка, контроль и восстановление электроники;
• установка охранной и пожарной сигнализации.

Колледж телекоммуникаций Московского технического университета связи и информатики принимает документы по таким специальностям, как:

• телекоммуникации многоканального типа;
• радиосвязь, вещание и телевидение;
• коммутация и связь.

Московский колледж транспорта Российского университета транспорта (МИИТ) предлагает качественные образовательные программы по направлениям:

• экономическая сфера;
• логистика;
• транспорт и грузоперевозки;
• радиоэлектроника на транспорте;
• автоматика и телемеханика на транспорте;
• компьютерные комплексы;
• информатика;
• электроснабжение.

Колледж Российского государственного университета туризма и сервиса предлагает следующие направления:

• туризм;
• гостиничный сервис;
• информатика;
• технический контроль и восстановление радиоэлектроники;
• банки;
• право и социальное обеспечение;
• дизайн.

Колледж связи №54 им. П.М. Вострухина специализируется на подготовке студентов по таким областям, как:

• компьютерные комплексы;
• связь и коммутация;
• почта;
• системы и сети.

Московский колледж управления, гостиничного бизнеса и информационных технологий "Царицыно" предлагает несколько направлений для получения среднего специального образования:

• авиационная техника и сети;
• гостиничное дело;
• земельно-имущественные отношения;
• инфокоммуникационные сети и средства связи.

Образовательный комплекс "Юго-Запад" готовит специалистов в Москве по популярным направлениям:

• компьютерные сети и системы;
• установка радиоэлектроники;
• радиоаппаратостроение;
• технический контроль и восстановление радиоэлектроники (по отраслям);
• установка, технический контроль и восстановление электроники;
• лаборант на контроль качества производства;
• технология производства и переработки полимеров;
• аналитическая химия;
• природохозяственные комплексы;
• создание и технология защиты информации.

Политехнический колледж № 50 имени дважды Героя Социалистического Труда Н.А. Злобина предлагает получить среднее специальное образование в областях:

• автомеханик;
• строительство и эксплуатация зданий и сооружений;
• компьютерные сети;
• технология продукции общественного питания;
• техническое обслуживание и ремонт автомобильного транспорта;
• операционная деятельность в логистике;
• гостиничный сервис;
• наладчик аппаратного и программного обеспечения;
• монтажник радиоэлектронной аппаратуры и приборов;
• электромонтер по ремонту и обслуживанию электрооборудования;
• мастер по обработке цифровой информации.

Западный комплекс непрерывного образования готовит специалистов в областях:

• информационные системы и программирование;
• компьютерные системы и комплексы;
• обеспечение информационной безопасности телекоммуникационных систем;
• оснащение средствами автоматизации технологических процессов и производств;
• радиоэлектронные приборные устройства;
• радиоаппаратостроение;
• монтажник радиоэлектронной аппаратуры и приборов;
• наладчик компьютерных сетей;
• станочник (металлообработка).

Политехнический колледж № 8 имени дважды Героя Советского Союза И.Ф. Павлова предлагает абитуриентам поступить на один из популярных факультетов:

• сетевое и системное администрирование;
• монтаж радиоэлектронной аппаратуры и приборов;
• обеспечение информационной безопасности автоматизированных систем.

Профессия, которую получают студенты в радиотехнических колледжах, является оптимальным вариантом для начала карьеры. Профильное техническое образование в комплексе со знаниями иностранных языков помогут найти престижную работу не только на Родине, но и за рубежом. Если в процессе обучения возникают какие-либо трудности, студент всегда сможет получить компетентную помощь в сервисе Феникс.Хелп.