Производная функции – одно из фундаментальных понятий в математике, без понимания которого становится невозможным решение большинства математических и физических задач. Что же это такое?

Производная функции — краткое описание, суть

Если совсем просто, то:

Выражаясь математическим языком, это предел отношения приращения функции к приращению её аргумента при стремлении приращения аргумента к нулю. Формула:

Она понимается в двух смыслах: геометрическом и физическом.

Геометрический смысл: производная от функции в точке равна тангенсу угла между осью OX и касательной к графику функции в данной точке.

Физический смысл: производная пути по времени равна скорости прямолинейного движения. Таким образом, значение скорости в определённый момент времени t₀ определяется по формуле:

Вычисление производной называется дифференцированием. Обратный процесс – интегрированием.

Основные правила нахождения производных

Дифференцирование строится на следующих правилах.

Правило №1: производная от произведения числа на функцию равна

(c * f (x))' = c * f' (x),

где с – любое число.

Правило №2: производная от суммы функций равна

(f (x) + g (x))' = f ' (x) + g' (x).

Правило №3: производная от разности функций равна

(f (x) – g (x))' = f ' (x) – g' (x).

Правило №4: производная от произведения двух функций равна

(f (x) g (x))' = f ' (x) g (x) + f (x) g' (x).

Правило №5: производная от дроби равна

Существует и так называемая сложная функция (композиция функции) вида f (g(x)). В данном случае f (x) считается внешней функцией, g (x) – внутренней.

Правило дифференцирования сложной функции

Производная сложной функции вычисляется по формуле:

[ f (g (x))]' = f ' (g (x)) g' (x).

Пример нахождения

Задача: продифференцировать (x+2)¹⁰. Обозначим её как u=x+2.

Решение: так как (x¹⁰)'=10x⁹,

то ((x+2) ¹⁰)'=(u¹⁰)'=10u⁹⋅u'=10(x+2) ⁹⋅1=10(x+2) ⁹.

Ответ: 10(x+2) ⁹.

Логарифмическая производная

Вычисляется по формуле:

Часто применяется для упрощения дифференцирования некоторых функций.

Пример поиска производной

Пусть y = y(x).

Для удобства прологарифмируем данную функцию:

ln y = ln y(x).

Теперь вычислим производную по правилу дифференцирования сложной функции:

Из этого следует, что

Тогда ответ:

Производная обратной функции

Общая формула:

Формулы и пример решения

Производные обратных тригонометрических функций:

Задача: продифференцировать y=x²-7lnx.

Решение: находим по формуле

отсюда

Производная функции, заданной параметрически

Пусть функция задана параметрическим уравнением:

Тогда производная равна:

Формулировка, решение примеров

Задача: продифференцировать функцию.

Решение: (при записи производной всегда необходимо писать t в нижнем индексе)

Подставляем в формулу:

Ответ:

В ответе составляется система, в которой кроме полученной производной необходимо писать х = t – 4.

Производная неявной функции

Если функция у = у(х) задана уравнением F (x; y(x)) = 0 то говорят, что она задана неявно.

Теоретическое обоснование

Для нахождения производной неявной функции нужно:

1. Продифференцировать обе части уравнения по независимой переменной х предполагая, что у – это дифференцируемая по х функция.
2. Решить полученное уравнение относительно производной у' (х).

Решение в примерах

Задача: решить функцию , заданную неявно:

Решение:

1) перенесём 3у -1 в левую часть и дифференцируем обе части равенства

Получим

Считая, что у – это функция от х, находим производную как от сложной функции:

Тогда

Для заданной функции имеем:

2) Решаем полученное уравнение относительно у':

Ответ:

Полная таблица производных

Приводим табличную форму, которая существенно облегчает вычисления:

Формул из этого списка достаточно для дифференцирования любой элементарной функции.

Решение элементарных производных, примеры

Задача№1: найти производную функции

Решение: данная функция является сложной, поэтому

Ответ:

Задача №2: найти производную функции 

Решение:

Ответ:

Изучение производных и интегралов занимает большое количество времени. ФениксХэлп может помочь вам в решении контрольных и самостоятельных работ по этой теме и многим другим.

Мы помним, что матрицы – это таблицы взаимосвязанных элементов, которые позволяют упростить математические вычисления и систематизировать определённую информацию. Их можно складывать, вычитать, умножать между собой. В этой статье подробнее остановимся на последнем алгоритме – матричном произведении.

Умножение матриц — определение

При произведении матриц A и B получается новая матрица C. В математическом виде формула будет выглядеть так:

Но для начала разберёмся, что такое согласованные матрицы.

Согласованные матрицы

Индексы показывают координаты равных элементов.

Для того, чтобы умножить А и В, нужно взять строку в первой матрице и столбец во второй, перемножить одинаковые элементы и сложить полученные произведения.

Основные свойства матричного произведения

Размеры, то есть количество строк (m) и столбцов (n), влияют на особенности матричного произведения. Следовательно, для двух главных видов – квадратных и прямоугольных – действуют разные свойства произведения. Однако умножение любого вида всегда некоммуникативное. Это означает, что матрицы нельзя менять местами (АВ ≠ ВА).

Умножение квадратных матриц

Для квадратных матриц существует единичная матрица Е. В ней элементы по главной диагонали равны единице, а оставшиеся – нулю. Произведение любой квадратной матрицы на неё не влияет на результат.

В математическом виде это выглядит так: ЕА = АЕ = А

Также существует обратная матрица А (-1), при умножении на которую исходная A = [m ☓ n] даёт в результате единичную матрицу E.

Следовательно, формула такова: АА(-1) = Е

Умножение прямоугольных матриц

Существуют четыре основных свойства умножения:

1. Сочетательное свойство, или ассоциативность: (AB)C = A(BC)
2. Распределительное свойство, или дистрибутивность: А(В+С) = АВ + АС / (А+В)С = АС + ВС
3. Умножение на единичную матрицу: ЕА = А
4. Умножение на нулевую матрицу: 0А = 0

Напомним, что у нулевой матрицы все элементы равны нулю.

Произведение трех матриц

Произведение АВС можно получить двумя альтернативными способами:

1. Найти АВ и умножить на С
2. Найти ВС и умножить на А

(АВ) С = А (ВС)

Данное свойство называется ассоциативностью матричного умножения и действует на все виды согласованных матриц. Сами они не переставляются, меняется только порядок их умножения.

Умножение матрицы на число

Для умножения на число необходимо умножить каждый матричный элемент на это число:

Дроби вносить не нужно, поскольку они могут затруднить дальнейшие операции.

Умножение матрицы на вектор

Здесь работает правило «строка на столбец».

При умножении на вектор-столбец важно, чтобы количество столбцов в матрице совпадало с количеством строк в векторе-столбце. Результатом произведения будет вектор-столбец.

При умножении на вектор-строку матрица должна быть только вектором-столбцом. Важно, чтобы количество строк в векторе-столбце совпадало с количеством столбцов в векторе-строке. Результатом произведения будет квадратная матрица.

Примеры задач на умножение матриц

Задача №1: выполнить умножение и найти С, если A = [m ☓ n] и B = [n ☓ k] равны.

Решение: 

c₁₁ = a₁₁·b₁₁ + a₁₂·b₂₁ = 4·3 + 2·(-3) = 12 - 6 = 6

c₁₂ = a₁₁·b₁₂ + a₁₂·b₂₂ = 4·1 + 2·4 = 4 + 8 = 12

c₂₁ = a₂₁·b₁₁ + a₂₂·b₂₁ = 9·3 + 0·(-3) = 27 + 0 = 27

c₂₂ = a₂₁·b₁₂ + a₂₂·b₂₂ = 9·1 + 0·4 = 9 + 0 = 9

Ответ: 

Задача №2: вычислить С, если А = [m ☓ n] и вектор-столбец В равны.

Решение: 

c11 = a11·b11 + a12·b21 = 2·1 + (-1)·2 + 3·(-1) = -3

c21 = a11·b12 + a12·b22 = 4⋅1 + 2⋅2 + 0⋅2 = 8

c31 = a21·b11 + a22·b21 = −1⋅1 + 1⋅2 + 1⋅(−1) = 0

Ответ:

Изучение матричных операций очень увлекательное, но сложное занятие. Если у вас нет времени на учёбу, ФениксХэлп может помочь в решении контрольных и самостоятельных работ, написании статей и диссертаций.

Мы уже знаем, что матрица – это объект, который представляет собой совокупность взаимосвязанных строк (m) и столбцов (n). С ней можно проводить различные действия, от обычного вычитания до транспортирования. Разберёмся с самой простой матричной операцией – сложением.

Сложение матриц — теория

Формула:

\(с_{ij} = a_{ij} + b_{ij}\)

где i – номер строки, а j – номер столбца.

То есть, чтобы получить, например, элемент \(с_{11}\), нужно сложить \(а_{11}\) и \(b_{11}\). 

Когда это возможно, можно ли складывать матрицы разной размерности

Как сложение, так и вычитание матриц возможно только в том случае, когда они равны по размеру.

Также подметим, что нельзя складывать матрицы с обычными целыми числами и дробями. Порядок элементов в таблице менять нельзя.

Экономический смысл сложения матриц

Матрица имеет прикладное значение, так как часто используется в экономике для систематизации информации и облегчения вычислений. К примеру, с помощью неё можно предоставить отчёт о продажах:

Пусть \(х_{ij}\) – это количество определённого товара, проданного в определённом магазине за первый год. Матрица У – отчёт о продажах за второй год. Тогда, чтобы посчитать сумму продаж за оба года, нужно сложить отчёты Х и У.

Свойства операции сложения матриц

Свойств немного, и все они легки для запоминания:

1. Свойство коммутативности: A+ B = B + A.
2. Свойство ассоциативности: (A+ B) + C= A + (B + C).
3. Свойство дистрибутивности: (A+ B) * C= AC + BC.

При сложении А с нулевой матрицей 0, у которой все элементы равны нулю, исходная матрица не меняется:

А + О = А

При сложении А с противоположной матрицей (-А) сумма равна нулю:

А + (-А) = О

Примеры с решением на нахождение суммы матриц

Задача №1

Даны слагаемые:

Найти: С

Решение

\(с_{11} = а_{11} + б_{11} = 2 + 1 = 3\)

\(с_{12} = а_{12} + б_{12} = 3 + (-3) = 0\)

\(с_{21} = а_{21} + б_{21} = (-1) + 2 = 1\)

\(с_{22} = а_{22} + б_{22} = 4 + 5 = 9\)

Ответ:  

Задача №2

Даны слагаемые:

Найти: С

Решение: так как матрицы разного размера (А = 2 × 3; В = 3 × 2), данная операция невозможна.

Ответ: нет решения.

Не справляетесь с заданиями по учебе? Обращайтесь в ФениксХелп за помощью!

Данный фестиваль признан самым большим народным гулянием в мире, который привлекает в Германию около шести миллионов посетителей ежегодно. Пора познакомиться с ним поближе.

«Октоберфест» — что это за немецкий праздник

Октоберфест — это фольклорный немецкий фестиваль пива, который проводится в Мюнхене с конца сентября до начала октября. Раньше его ставили в середине десятого месяца, однако позже решили перенести из-за погодных условий, оставив название в качестве своеобразной дани прошлому.

История появления и традиции

Праздник впервые отметили в 1810 году, в день бракосочетания принца Людвига с саксонской принцессой Терезой. Он сразу стал любимым немецким фестивалем, который теперь отмечают каждый год. Пиво является традиционным напитком этого торжества, поскольку королевская семья занималась непосредственно его производством и реализацией.  

Где и когда проходит Октоберфест

Ровно в полдень на Лугу Терезы в павильоне Шоттенхамель-Фестхалле мэр Мюнхена забивает пивной кран, тем самым обозначая начало торжества. Первые кружки достаются градоначальникам, далее пиво раздаётся всем желающим.

Как проводится фестиваль пива в Германии

Сам фестиваль открывает праздничное костюмированное шествие, которое движется от Триумфальной арки до Луга Терезы. Участники могут опробовать различные парковые аттракционы, пройтись по пивной ярмарке и посетить множество музыкальных концертов.

Что входит в программу

На фестивале представлены только мюнхенские пивоварни с напитками высокого качества. Для посетителей расставлены четырнадцать больших и пятнадцать маленьких палаток, где можно опробовать этот знаменитый напиток.

Большой выбор аттракционов для семей с детьми и взрослых, от американских город до башни симуляции свободного падения и 400 музыкальных исполнителей не заставят вас скучать.

На празднике также дежурят представители Красного креста, которые могут оказать необходимую медицинскую помощь в любой момент.

Открытие фестиваля и костюмированная процессия

Существуют два шествия, которые проходят в разное время: шествие владельцев палаток и костюмированное шествие.

Первое возглавляет обер-бургомистр Мюнхена и мюнхенский ребёнок на праздничной упряжке. Вслед за ними следуют все владельцы пивных палаток на повозках с бочками пива.

Костюмированное шествие также возглавляет ребёнок с представителями городского управления и правительства, министром-президентом Баварии и его супругой. За ними движутся оркестры, стрелковые общества и общества национальных костюмов, которые исполняют мини-представления, смешные сценки и танцы.  

Что едят и пьют на Октоберфесте

Основой всего, конечно, является пиво с секретным рецептом приготовления, которое доступно для распития только во время Октоберфеста. Кроме того, на фестивале предоставляют вино, коктейли, алкогольные напитки различной степени крепости. Закуски всегда разнообразны: от знаменитых мюнхенских сосисок до окороков и жареных цыплят.

Сколько длится и в каких городах можно принять участие

Фестиваль проходит в Мюнхене, столице Баварии. Длится шестнадцать дней, но даты начала и окончания всегда варьируются. По традиции он всегда должен начинаться в третью субботу сентября и кончаться в первое воскресенье октября, однако, если оно выпадает на первое и второе число, праздник продлевают до третьего октября — Дня Объединения Германии.

Напоминаем, что Феникс.Хелп против злоупотребления алкоголем, но за отличную учебу и хороший отдых.

Язык программирования – это основа, набор формальных правил для разработки программ. Одним из самых лёгких является Python или Пайтон, который имеет минимимальное количество сложных символов и максимально понятный синтаксис.

Что это за язык, история создания

Разработка началась в конце 1980-х годов одним из работников голландского института CWI Гвидо ван Россумом. Гвидо писал Python для операционной системы Amoeba и позже взял некоторые наработки для языка ABC, в создании которого также принимал активное участие. С самого начала Пайтон позиционировался как объективно-ориентированный язык. В 1991 году Гвидо показал исходник в новостной группе Alt sources, а после длительного тестирования в декабре 2008 года вышел Python 3.0. – первая официальная версия, которая поддерживается и сейчас.

В чем особенности, сложно ли научиться на нем программировать

ООП значительно ускоряет разработку и делает код более читаемым. Так как Пайтон – это ОО-язык, он довольно прост в изучении и понимании.

Основные причины выбрать Python в качестве первого языка

Рекомендуется начать изучать языки программирования с Пайтона, поскольку это один из самых простых языков, который используется во многих сферах. Возможности использования Пайтона действительно очень широки: от веб-разработки до машинного обучения и визуализированного анализа данных.

Также надо заметить, что это интерпретируемый язык, который до запуска представляет собой обычный текстовый файл. Он доступен практически на всех платформах, а архитектура логична и хорошо спроектирована.

Где и как применить Python на практике

Пайтон может применяться для разных целей. К примеру, с его помощью новичкам можно автоматизировать некоторые базовые процессы на компьютере, всегда быть в курсе цен на биткойн, создавать программы и многое другое.

Основные сферы использования

Основные сферы, в которых Пайтон может использоваться:

• веб-разработка;
• машинное обучение;
• скриптинг.

Веб-разработка

На данный момент очень популярны веб-фреймворки Django и Flask, которые как раз-таки работают на Python. С помощью них можно написать бэкенд-код, который будет работать на вашем сервисе, а не в браузере. Использование веб-фреймворков значительно облегчает процесс создания веб-приложений и рефакторинга старых сайтов.

Машинное обучение

С помощью алгоритмов машинного обучения на Python можно настроить систему рекомендаций, распознавание лиц и голосов, предметов на картинке. Здесь есть два самых известных фреймворка: scikit-learn и TensorFlow.

Скриптинг

Скриптинг позволяет автоматизировать простые задачи: обновление электронных таблиц, переименование файлов на компьютере, подсчёт мейлов.

Для дополнительного изучения программирования требуется много времени. С основной учебой может помочь Феникс.Хэлп.