Нам уже знакомо понятие матрицы. Этот математический объект имеет прикладное значение: он позволяет структурировать числа и информацию, проводить сложные расчёты. С ним можно проделывать различные операции, и одной из них является транспортирование.

Что такое транспонированная матрица, в чем отличие от обычной

Транспонированная матрица, в отличие от обычной, помогает получить одинаковый результат при умножении на вектор-столбец и вектор-строку, что значительно упрощает дальнейшие математические вычисления.

Особенности, определитель и свойства целочисленных

Свойства транспортирования целочисленных матриц:

• (A^T )^T  = A;
• (k · A)^T  = k · AT;
• (A + B)^T  = A^T  + В^T;
• (A · B)^T  = В^T · A^T 

Если матрица А – квадратная (m=n), то определитель исходной и транспортированной матрицы равны: det A^T  = det A.

Напомним, что определитель – это некоторое число, с которым можно сравнить любую квадратную матрицу.

Формула, как обозначается транспонированная матрица

Если исходная матрица обозначается как А, то у транспортированной будет обозначение A^T .    

Тогда формула для транспортировки выглядит следующим образом:

A^T  ij = A ji

Формально, если А = m × n, то A^T = n × m, но математически это записывается через индексы i и j.

Примеры задач на транспонирование матриц

Само транспортирование – довольно лёгкий процесс. Рассмотрим один пример.

Задача: даны А = (m × n) и В = (m × n).

Необходимо выполнить транспортирование.

Решение

Произведение и сумма транспонированных матриц

В математическом виде теорема выглядит так:

С^T = (A · B)^T  = В^T · А^T

Пример:

Сумма вычисляется по аналогичной формуле:

 C^T = (A + B)^T  = A^T  + В^T 

Периодически возникают сложности с учебой? ФениксХэлп может помочь!

Матрица в математике — это таблица упорядоченных взаимосвязанных элементов, состоящая из m-строк и n-столбцов. В квадратной матрице m=n, то есть A = (n×n). Одной из основных ее характеристик, применяемых в решении большинства задач, является определитель.

Определитель матрицы — что это такое, его свойства

Точного определения этого термина не существует, однако для понимания:

Три альтернативных обозначения: |А|, Δ, det A. Методы вычисления варьируется в зависимости от порядка матрицы (количества строк или столбцов).  

Что называют детерминантом

При изучении матричного определителя часто мелькает латинское слово «детерминант». На самом деле, разницы нет — это одно и то же понятие. Однако детерминант имеет множество значений в других областях науки, поэтому в математике чаще всего используют его русский перевод.

Расстановка индексов в матрице

Индексы — это координаты элемента в системе. У каждого элемента их два: первый указывает на строку, второй — на столбец.

Поскольку порядок — это количество строк или столбцов в квадратной матрице, то его можно определить по m-индексу нижней строки или n-индексу крайнего правого столбца. Такой способ применяется в том случае, если таблица очень большая и считать строки (столбцы) неудобно.

Алгебраическое определение

Алгебраический смысл таков:

Формула:

Каждое слагаемое — это произведение n-элементов, взятых по одному из каждой строки и каждого столбца, умноженное на (-1) в степени Np (количество инверсий).

Геометрическое определение

Геометрический смысл таков:

Еще раз: количество строк (столбцов) равно количеству векторов. Таким образом, если нам дана матрица А = (2×2), то она является двухмерным параллелограммом, а детерминант — площадью данной фигуры. Если А = (3×3), то это трехмерный параллелепипед, а определитель — его объем.  

Общая схема вычисления определителей

Для матрицы 1-го порядка определитель равен его единственному элементу:

\(|a_{11}| = a_{11}\)

Для 2-го порядка — произведение элементов главной диагонали минус произведение побочной.

\(|а_{11} а_{12}|\)

\(|а_{21} а_{22}| = а_{11} * а_{22} — а_{12} * а_{21}\)

Для нахождения А = (3×3) есть два способа:

• правило треугольника;
• правило Саррюса.

Правило треугольника выглядит следующим образом:

Если показывать графически, то:

По правилу Саррюса нужно:

1. Дописать слева от определителя два первых столбца.
2. Перемножить элементы главной диагонали и параллельных диагоналей, взяв произведения со знаком «+».
3. Перемножить элементы побочных диагоналей и параллельных им, взяв произведения со знаком «–».

Матрицы от 4-го порядка считают разложением строк или столбцов, но такой метод применяется редко и требует знаний об алгебраическом дополнении и миноре.

Вычисление определителя матрицы, примеры с решением

Задача №1: вычислить детерминант матрицы A = (n×n), равной

| 11 -3 |

| 15 -2 |.

Решение:

\(|а_{11} а_{12}|\)

\(|а_{21} а_{22}| = а_{11} * а_{22} — а_{12} * а_{21}\), следовательно

det A = 11 * (-2) – (-15) * (-3) = (-22) – 45 = (-67)

Ответ: det A = (-67)

Задача №2: определить det A матрицы, равной

| 1 3  4 |

| 0 2  1 |

| 1 5 -1 |

Решение: если методом треугольника, то:

Следовательно:

det A = (1 * 2 * (-1) + 3 * 1 * 1 + 0 * 5 * 4) — (4 * 2 * 1 + 3 * 0 * (-1) + 1 * 5 * 1) =

((-2) + 3 + 0) — (8 + 0 + 5) = 1 — 13 = (-12)

Ответ: det A = (-12)

Сложно? Феникс.Хелп может помочь в решении домашних, самостоятельных и контрольных работ.

В психологии убеждение — это один из самых эффективных методов воздействия на сознание человека. Понимание основных техник необходимо для извлечения выгоды из коммуникации и повышения самооценки. Также оно пригодится, чтобы определить, как эти техники действуют на вас самих: к примеру, в магазине при покупке товара или через рекламные кампании в социальных сетях.

Как убеждать людей сделать то, что вы хотите

Необходимо внушить человеку мысль, что выдвинутое предложение выгодно ему, а не вам. Для этого надо дать собеседнику почувствовать полный контроль над ситуацией и подстроиться под его действия. Пусть он назначит место и время встречи, заведет разговор первым.

Создание у человека впечатления, что вы полностью разделяете его мнение, является хорошим инструментом влияния. При этом важно не опускаться до уровня манипуляций. Манипулятивные тактики подразумевают, что человек упрашивает, не предлагая ничего взамен. Это не приносит выгоды в долгосрочной перспективе, поскольку собеседник, если не чувствует отдачи, то быстро утрачивает доверие. Гораздо эффективнее добиваться своего с помощью компромисса, уступок и взаимного обмена.

Можно ли научиться самостоятельно

Практически всему можно научиться самостоятельно, если приложить достаточно усилий. Главное, не забывать о практике — полученные знания не закрепляются в голове, если они никак не реализуются в повседневной жизни.

Соответственно, чтения научной литературы и просмотра обучающих видеороликов недостаточно, чтобы провести успешные переговоры и заставить других делать то, что хотите вы. Чтобы научиться убеждать, нужно разговаривать с людьми, наблюдать за своим и чужим поведением, подмечать неявные детали. Только методом проб и ошибок можно выработать свою стратегию и добиться желаемого результата.

Как правильно себя вести при убеждении

Уверенно, но дружелюбно. При убеждении действуют два компонента: эмоциональная составляющая и фактологическая. Вы должны выглядеть опытным человеком, который, тем не менее, всегда прислушивается к позиции других. Это позволит собеседнику легче согласиться с вами. 

Психологические приемы манипулирования психическим сознанием

Вот несколько основных психологических приемов:

• просите больше, чем желаете;
• делаете редкие, но правдивые комплименты;
• давайте человеку высказаться и слушайте с предельным вниманием;
• произносите имя собеседника с улыбкой.

Существует также такое понятие, как рефрейминг, то есть «выворачивание» негативного высказывания в положительное. Самый распространенный пример: стакан наполовину пуст — стакан наполовину полон. Таким образом, чем больше позитива в ваших словах, тем больше вы нравитесь собеседнику.

Способы речевого воздействия

Люди доверяют тем, кто похож на них. Необходимо подстроиться под речь собеседника, говорить с ним на одном языке. Если собеседник часто иронизирует, необходимо тоже говорить с усмешкой. Если собеседник имеет ярко выраженный диалект или использует жаргон, значит, нужно понимать его значение и иногда использовать в своей речи.

Невербальные средства убеждения

То же самое касается и невербальных способов. Обратите внимание на жестикуляцию собеседника, его взгляд, движение тела и по возможности копируйте их. Данный принцип называют «принципом хамелеона».

Способность убеждать особенно важна в учебе. И если эмоциональную часть придется прорабатывать самому, то с матчастью вам может помочь Феникс.Хелп.

Матрица имеет множество значений в разных областях науки и техники. Конкретно в математике это объект, который облегчает вычисления и позволяет легко систематизировать любую информацию. Именно поэтому так необходимо знать, как ею пользоваться. Что же такое матрица?

Что такое матрицы в математике

Может иметь разные размеры и формы в зависимости от количества находящихся в ней элементов. Элементы фиксированы: если переставить хотя бы один, то получится иная матрица с иными свойствами.  

Откуда они взялись, чем полезны

Первые упоминания найдены еще в Древнем Китае, однако широкую известность матрицы приобрели только в середине XVIII, аккурат после выхода книги «Введение в анализ алгебраических кривых» Габриэля Крамера. В своей работе знаменитый математик описал совершенно новый способ решения систем линейных уравнений, который прозвали «методом волшебных квадратов». Сам термин «матрица» появился лишь в XIX веке благодаря трудам английского математика Д.Д. Сильвестра.

В современном мире матрицы используют повсюду. Телефонные справочники, табели успеваемости, отчеты и счета тоже являются матричными моделями. Они полезны, так как имеют прикладное значение.

Основные определения и обозначения матриц

В большинстве случаев матрицы обозначают прописными латинскими буквами (A, B, C), а ее элементы — строчными.

Виды матриц зависят от количества строк m и столбцов n. Основные из них:

• квадратная (m = n);
• прямоугольная (m ≠ n).

Также существует понятие детерминант — это определитель свойств квадратной матрицы, который чаще всего используют в решении систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ).

Применение матриц в математико-экономическом моделировании

В математико-экономическом моделировании матрицы считаются самым удобным способом хранения различных структурированных данных и решения задач с ними. Приведем простой пример из экономической модели «затраты-выпуск».

Дана таблица распределения ресурсов по различным отраслям:

Так, элемент а23 = 5,8 обозначает то, сколько водных ресурсов потребляется в торговле, а элемент а11 = 4,8 обозначает, сколько трудовых ресурсов потребляется в промышленности.

Данная матрица может использоваться при сравнении и оценке востребованности ресурсов в различных отраслях экономики, решении экономических задач предприятий и организаций, анализе затраченных средств в ходе производства.

Решение матриц, основные операции с примерами и объяснением

Матрицы можно складывать и вычитать, умножать на определенное число, умножать между собой. Подробнее остановимся на основных операциях.

Сложение и вычитание матриц

Сложение и вычитание матриц возможно только в том случае, если они равны по размеру.

Чтобы сложить две матрицы, нужно сложить их соответствующие элементы. 

С вычитанием действуем аналогичным образом.

Умножение матрицы на число

Чтобы умножить целую матрицу на число, необходимо умножить каждый элемент матрицы на это число.

Подметим, что дроби вносить в матрицу не нужно, поскольку это затрудняет дальнейшие операции.

Вынесение общего множителя за знак матрицы

Для вынесения общего множителя за знак матрицы необходимо найти общий множитель для всех элементов.

Подметим, что вынести общий множитель из строки или столбца невозможно.

Вынесение знака (минуса) за матрицу

При выполнении различных действий с матрицами большое количество минусов может привести к ошибкам и просчетам, поэтому обычно их выносят за матричную модель. Делается это при помощи замены всех знаков элементов. К примеру:

Таким образом, вероятность путаницы уменьшается за счет увеличения положительных коэффициентов.

Изучение матричных моделей не самое простое занятие. Если у вас нет времени на учебу, Феникс.Хелп может помочь в написании контрольных работ, статей и диссертаций. Переходите по ссылке и получаете квалифицированную помощь прямо сейчас!

Мы помним, что матрицы – это таблицы взаимосвязанных элементов, которые позволяют упростить математические вычисления и систематизировать определённую информацию. Их можно складывать, вычитать, умножать между собой. В этой статье подробнее остановимся на последнем алгоритме – матричном произведении.

Умножение матриц — определение

При произведении матриц A и B получается новая матрица C. В математическом виде формула будет выглядеть так:

Но для начала разберёмся, что такое согласованные матрицы.

Согласованные матрицы

Индексы показывают координаты равных элементов.

Для того, чтобы умножить А и В, нужно взять строку в первой матрице и столбец во второй, перемножить одинаковые элементы и сложить полученные произведения.

Основные свойства матричного произведения

Размеры, то есть количество строк (m) и столбцов (n), влияют на особенности матричного произведения. Следовательно, для двух главных видов – квадратных и прямоугольных – действуют разные свойства произведения. Однако умножение любого вида всегда некоммуникативное. Это означает, что матрицы нельзя менять местами (АВ ≠ ВА).

Умножение квадратных матриц

Для квадратных матриц существует единичная матрица Е. В ней элементы по главной диагонали равны единице, а оставшиеся – нулю. Произведение любой квадратной матрицы на неё не влияет на результат.

В математическом виде это выглядит так: ЕА = АЕ = А

Также существует обратная матрица А (-1), при умножении на которую исходная A = [m ☓ n] даёт в результате единичную матрицу E.

Следовательно, формула такова: АА(-1) = Е

Умножение прямоугольных матриц

Существуют четыре основных свойства умножения:

1. Сочетательное свойство, или ассоциативность: (AB)C = A(BC)
2. Распределительное свойство, или дистрибутивность: А(В+С) = АВ + АС / (А+В)С = АС + ВС
3. Умножение на единичную матрицу: ЕА = А
4. Умножение на нулевую матрицу: 0А = 0

Напомним, что у нулевой матрицы все элементы равны нулю.

Произведение трех матриц

Произведение АВС можно получить двумя альтернативными способами:

1. Найти АВ и умножить на С
2. Найти ВС и умножить на А

(АВ) С = А (ВС)

Данное свойство называется ассоциативностью матричного умножения и действует на все виды согласованных матриц. Сами они не переставляются, меняется только порядок их умножения.

Умножение матрицы на число

Для умножения на число необходимо умножить каждый матричный элемент на это число:

Дроби вносить не нужно, поскольку они могут затруднить дальнейшие операции.

Умножение матрицы на вектор

Здесь работает правило «строка на столбец».

При умножении на вектор-столбец важно, чтобы количество столбцов в матрице совпадало с количеством строк в векторе-столбце. Результатом произведения будет вектор-столбец.

При умножении на вектор-строку матрица должна быть только вектором-столбцом. Важно, чтобы количество строк в векторе-столбце совпадало с количеством столбцов в векторе-строке. Результатом произведения будет квадратная матрица.

Примеры задач на умножение матриц

Задача №1: выполнить умножение и найти С, если A = [m ☓ n] и B = [n ☓ k] равны.

Решение: 

c₁₁ = a₁₁·b₁₁ + a₁₂·b₂₁ = 4·3 + 2·(-3) = 12 - 6 = 6

c₁₂ = a₁₁·b₁₂ + a₁₂·b₂₂ = 4·1 + 2·4 = 4 + 8 = 12

c₂₁ = a₂₁·b₁₁ + a₂₂·b₂₁ = 9·3 + 0·(-3) = 27 + 0 = 27

c₂₂ = a₂₁·b₁₂ + a₂₂·b₂₂ = 9·1 + 0·4 = 9 + 0 = 9

Ответ: 

Задача №2: вычислить С, если А = [m ☓ n] и вектор-столбец В равны.

Решение: 

c11 = a11·b11 + a12·b21 = 2·1 + (-1)·2 + 3·(-1) = -3

c21 = a11·b12 + a12·b22 = 4⋅1 + 2⋅2 + 0⋅2 = 8

c31 = a21·b11 + a22·b21 = −1⋅1 + 1⋅2 + 1⋅(−1) = 0

Ответ:

Изучение матричных операций очень увлекательное, но сложное занятие. Если у вас нет времени на учёбу, ФениксХэлп может помочь в решении контрольных и самостоятельных работ, написании статей и диссертаций.