Матрица — это прямоугольная таблица чисел, состоящая из определенного количества строк и столбцов. Существует множество матричных видов, и один из них — диагональный. Разберемся, что он из себя представляет.

Что такое диагональная матрица

Напомним, что матрица считается квадратной, если количество строк равно количеству столбцов (m = n).

Особенности и свойства

Для начала нужно понять, что такое матричный определитель.

Определитель (детерминант) — это некоторая величина, с которой можно сопоставить любую квадратную матрицу.

Определитель А = (2×2), к примеру, вычисляется по формуле:

Из этого следует свойство №1: определитель диагональной матрицы равен произведению ее диагональных элементов.

Свойство №2: обратная матрица для диагональной равна:

Свойство №3: ранг равен количеству ненулевых диагональных элементов.

Главная и побочная диагонали

Главную диагональ образуют элементы, расположенные на местах \(а_{11}\), \(а_{22}\), \(а_{33}\)…\(а_{NN}\). Их соответственно называют диагональными.  

Побочной диагональю называют диагональ элементов от правого верхнего угла до нижнего левого. Эти диагонали параллельны друг другу.

Частные случаи диагональных матриц

Существуют три основных подвида: единичная, нулевая, скалярная.

Единичная матрица

У единичной матрицы все диагональные элементы равны единице.

В формулах ее обозначают буквой Е.

Нулевая матрица

В нулевой матрице все элементы, в том числе диагональные, равны нулю.

В формулах ее обозначают цифрой 0.

Скалярная матрица

В скалярной матрице все элементы на главной диагонали равны друг другу.

В некоторых случаях говорят, что скалярная матрица — это произведение скаляра на единичную матрицу Е. В ней диагональные элементы могут быть как положительными, так и отрицательными.

Примеры решения диагональных матриц

Иногда недиагональная матрица может быть приведена к диагональному виду.

Условие: дана матрица А

Задача: привести к диагональному виду.

Решение: характеристическое уравнение равно

а его корни: \(λ_1 = 5\), \(λ_2 = (-2)\)

Если \(λ_1 = 5\), то

Пусть \(х_2 = с\), тогда вектор равен:

Если \(x = λ_2 = (-2)\), то

Пусть \(х_2 = с\), тогда вектор равен:

Таким образом, диагональная матрица имеет вид:

Изучение данных математических объектов имеет свои подводные камни. Если у вас нет времени на учебу, Феникс.Хелп может помочь вам с решением контрольных, самостоятельных и иных проверочных работ.

На данный момент самой известной системой компьютерной алгебры является MathCAD. Ее востребованность в технической и научной сферах объясняется рядом неоспоримых преимуществ перед аналогами. Что она из себя представляет?

Прикладная система MathCAD: что это, для чего нужна

Прикладная система MathCAD — это программа для инженерных математических расчетов и автоматизированного проектирования.

В «Маткад» входят инструменты вычисления, графики и программирования. Ее главными особенностями являются легкое интегрирование с системами САПР и возможность коллективной работы над проектами.

Общая характеристика, возможности

Программа имеет широкий спектр применения и предлагает следующие возможности:

• автоматическое преобразование единиц измерения;
• анализ результатов с помощью различных графиков;
• документирование с использованием расширенных математических обозначений;
• возможность представления расчетов с помощью различных инструментов графики в едином документе.

Также «Маткад» предоставляет научные и технические справочники, редакторы и видеоуроки. Бесплатный период составляет 30 дней, после истечения данного срока пользователь получает доступ к приложению PTC MathCAD Express — облегченную версию основной программы.

Главные отличия MathCAD от других расчетных программ

В отличие от большинства других программ, MathCAD не ограничивается инженерными расчетами и объединяет множество функций в одном ПО:

• решение математических уравнений и инженерных задач любой сложности;
• программирование;
• создание 3D-графики, гистограмм и диаграмм;
• создание комплексной документации;
• работа с компонентом Excel.

Также «Маткад» отличается от аналогов графическим режимом ввода выражений, что значительно упрощает работу с формулами и математическими обозначениями.

Помимо этого, софт переведен на русский язык и имеет удобный интерфейс для комфортной работы с большими проектами.

Возможности интеграции с другими программами

Открытое приложение поддерживает среду .NET и XML, что позволяет интегрировать систему MathCAD практически в любые IT-структуры. Также возможно интегрирование документа в модель Creo для двухмерного и трехмерного проектирования.

Бесплатные аналоги MathCAD

Бесплатные аналоги «Маткад» разнятся по своему назначению. Основными принято считать SMath Studio Cloud, Mas.Exponenta.ru и Graph Online. В сравнении с «Маткадом» они имеют ограниченный функционал и не предназначены для создания трехмерных графиков.

Можно ли работать в онлайн-режиме

В «Маткаде» нельзя работать в онлайн-режиме, однако программа предъявляет минимальные системные требования к установке на компьютер.

Понравилась статья? Феникс.Хелп может помочь в написании любых научных текстов, даже дипломов и диссертаций!

Сегодня принцип Парето считается одним из фундаментальных правил эффективности, которое можно использовать для оптимизации результатов любой деятельности. Как он был создан?

Вильфредо Парето — кто это, краткая история

Сам Вильфредо Парето, знаменитый экономист и социолог девятнадцатого века, никакого принципа не предлагал. Он изучал зависимости и законы распределения доходов в Италии и однажды пришёл к выводу, что 20% итальянских домохозяйств владеет 80% богатства.

На это исследование обратил внимание именитый учёный Джозеф Джуран. Именно он взял за основу данное соотношение 20/80 и предложил универсальное эмпирическое правило, которое может применяться во многих областях жизни.

Что такое принцип Парето простыми словами

Правило звучит так: 20% усилий дают 80% результата, а остальные 80% усилий — лишь 20% результата.

Из этого выводят несколько тезисов:

• только единичные действия приводят к важным результатам;
• большая часть усилий бесполезна;
• желаемый результат часто отличается от действительного.

Иными словами, минимальный набор основных действий принесёт больше результата, чем набор множества второстепенных.

На каком базовом соотношении основан

Соотношение 20/80 действительно встречается очень часто и уже принято как базовое. Однако критики данного принципа отмечают, что оно не всегда равно именно 20% на 80%, поскольку в реальной жизни на нашу деятельность влияет множество разных факторов.

Это означает, что формула Парето не должна рассматриваться как непреложный закон, который задан точными числовыми параметрами. Но она должна приниматься во внимание при организации работы и принятии решения о распределении средств.

Как применять правило 80 на 20

Есть подвох: даже зная, что только двадцать процентов действий принесут нужный результат, мы так или иначе вынуждены затрачивать остальные восемьдесят, поскольку работа просто будет не выполнена. Приведём пример: если в мясном магазине будут представлены только самые популярные и окупаемые виды, то количество продаж снизится, ведь потребителю всегда нужен выбор.

В таком случае, чем же полезно это правило? Оно учит нас тратить значительную часть усилий только на то, что принесёт пользу, но при этом не забывать о мелочах. Объясним на примерах.

Примеры из жизни и бизнеса

Правило может помочь избавиться от хлама в квартире. Ежедневно мы пользуемся лишь малой частью вещей, которыми владеем. При уборке работает такой метод: если что-то не использовалось более двух лет, то с этим можно распрощаться.

Закон Парето работает и в саморазвитии. Выбирая для глубоко изучения сферу, которая даётся вам легко, вы получите больше результата, чем при изучении сложной сферы.

Также он может помочь при составлении ежедневного расписания. В зависимости от своего биоритма человек чувствует себя бодрым в разное время суток. Соответственно, используя соотношение 20/80, нужно переносить большую часть важных дел на тот час, в котором вы чувствуйте себя энергичным, а неважное оставлять на потом.

Эффективная работа включает 80% труда и 20% отдыха. По этому же правилу устроены уроки и перемены в школе.

Теперь о бизнесе. В управлении и предпринимательстве действуют следующие закономерности:

• большая часть ресурсов тратится на содержание неэффективных процессов и сотрудников. Поэтому для модернизации производства необходимо сохранить 80% эффективности, избавившись от 20% ненужных ресурсов;
• большую часть прибыли получают от малой части клиентов. На этом правиле строится таргетированная реклама, которая показывается только целевой аудитории, то есть 20% общего числа потенциальных клиентов;
• большую часть функций выполняет малая доля работников. Выгодно повысить зарплату на самых важных должностях и перевести менее важные задачи на других рабочих.

Принцип Парето отлично работает в учёбе: вам нужно сделать всего 20% усилий, с остальным разберётся Феникс.Хэлп.

Квант – это неделимая часть какой-либо физической величины, то есть самая маленькая порция чего-либо: света, поля, энергии. Следовательно, квантовая механика изучает состояния микрочастиц и их систем.

Предсказания квантовой механики иногда существенно отличаются от предсказаний классической, поскольку классическая не способна описывать явления на уровне фотонов, молекул, атомов и электронов. Это можно выразить по-другому: действия в квантовой механике сравнимы по величине с постоянной Планка. Если физическое действие системы выше этой величины, квантовая механика переходит в классическую.

Законы квантовой механики

Законы квантовой механики составляют фундамент изучения строения вещества. Они же лежат в основе понимания практически всех явлений в макромире.

Свойства макроскопических тел определяются движением и взаимодействием частиц. Квантовые законы позволили:

• выяснить строение атомов;
• установить природу химической связи;
• объяснить периодическую систему элементов;
• понять строение атомных ядер;
• изучить свойства элементарных частиц. 

Интересно, что парадоксальные явления микромира породили различные философские споры по поводу того, влияет ли наше восприятие на состояние физического мира. Существует множество различных «интерпретаций» квантовой механики, в том числе от таких учёных, как Гейзенберг-Фокс, Уиллер и фон Нейман.

Но разберёмся с главными законами квантовой теории.

Закон де Бройля

Согласно этой гипотезе, микрочастицы обладают волновыми свойствами. Длина волны микрочастицы называется дебройлевской длиной волны и определяется по формуле:

где h – постоянная Планка, p – импульс частицы.

Закон соотношения неопределенностей Гейзенберга

В простой формулировке принцип неопределённости можно выразить так: чем точнее измеряется одна характеристика частицы, тем менее точно можно измерить вторую.

В физическом смысле это происходит из-за двойственной природы материи.
Согласно закону, к примеру, невозможно одновременно измерить положение и скорость частицы. Здесь соотношение выглядит так:

где Δх – погрешность определения координаты, Δv – погрешность определения скорости, h – постоянная Планка.

Закон Шредингера

Закон Шредингера представляет собой характеристику движения частицы в квантовой механике. Самое простое уравнение выглядит следующим образом:

где x - координата частицы, а E  и U – ее полная и потенциальная энергии соответственно.  

Глубокое изучение квантовой механики бывает трудным. Если у вас нет времени на учёбу, Феникс.Хэлп может помочь вам в написании научных статей, решений контрольных и многого другого.

Нам уже знакомо понятие матрицы. Этот математический объект имеет прикладное значение: он позволяет структурировать числа и информацию, проводить сложные расчёты. С ним можно проделывать различные операции, и одной из них является транспортирование.

Что такое транспонированная матрица, в чем отличие от обычной

Транспонированная матрица, в отличие от обычной, помогает получить одинаковый результат при умножении на вектор-столбец и вектор-строку, что значительно упрощает дальнейшие математические вычисления.

Особенности, определитель и свойства целочисленных

Свойства транспортирования целочисленных матриц:

• (A^T )^T  = A;
• (k · A)^T  = k · AT;
• (A + B)^T  = A^T  + В^T;
• (A · B)^T  = В^T · A^T 

Если матрица А – квадратная (m=n), то определитель исходной и транспортированной матрицы равны: det A^T  = det A.

Напомним, что определитель – это некоторое число, с которым можно сравнить любую квадратную матрицу.

Формула, как обозначается транспонированная матрица

Если исходная матрица обозначается как А, то у транспортированной будет обозначение A^T .    

Тогда формула для транспортировки выглядит следующим образом:

A^T  ij = A ji

Формально, если А = m × n, то A^T = n × m, но математически это записывается через индексы i и j.

Примеры задач на транспонирование матриц

Само транспортирование – довольно лёгкий процесс. Рассмотрим один пример.

Задача: даны А = (m × n) и В = (m × n).

Необходимо выполнить транспортирование.

Решение

Произведение и сумма транспонированных матриц

В математическом виде теорема выглядит так:

С^T = (A · B)^T  = В^T · А^T

Пример:

Сумма вычисляется по аналогичной формуле:

 C^T = (A + B)^T  = A^T  + В^T 

Периодически возникают сложности с учебой? ФениксХэлп может помочь!