Как складывать матрицы различного порядка

Мы уже знаем, что матрица – это объект, который представляет собой совокупность взаимосвязанных строк (m) и столбцов (n). С ней можно проводить различные действия, от обычного вычитания до транспортирования. Разберёмся с самой простой матричной операцией – сложением.

Сложение матриц — теория

Формула:

$с_{ij} = a_{ij} + b_{ij}$

где i – номер строки, а j – номер столбца.

То есть, чтобы получить, например, элемент $с_{11}$, нужно сложить $а_{11}$ и $b_{11}$. 

Когда это возможно, можно ли складывать матрицы разной размерности

Как сложение, так и вычитание матриц возможно только в том случае, когда они равны по размеру.

Также подметим, что нельзя складывать матрицы с обычными целыми числами и дробями. Порядок элементов в таблице менять нельзя.

Экономический смысл сложения матриц

Матрица имеет прикладное значение, так как часто используется в экономике для систематизации информации и облегчения вычислений. К примеру, с помощью неё можно предоставить отчёт о продажах:

Пусть $х_{ij}$ – это количество определённого товара, проданного в определённом магазине за первый год. Матрица У – отчёт о продажах за второй год. Тогда, чтобы посчитать сумму продаж за оба года, нужно сложить отчёты Х и У.

Свойства операции сложения матриц

Свойств немного, и все они легки для запоминания:

1. Свойство коммутативности: A+ B = B + A.
2. Свойство ассоциативности: (A+ B) + C= A + (B + C).
3. Свойство дистрибутивности: (A+ B) * C= AC + BC.

При сложении А с нулевой матрицей 0, у которой все элементы равны нулю, исходная матрица не меняется:

А + О = А

При сложении А с противоположной матрицей (-А) сумма равна нулю:

А + (-А) = О

Примеры с решением на нахождение суммы матриц

Задача №1

Даны слагаемые:

Найти: С

Решение

$с_{11} = а_{11} + б_{11} = 2 + 1 = 3$

$с_{12} = а_{12} + б_{12} = 3 + (-3) = 0$

$с_{21} = а_{21} + б_{21} = (-1) + 2 = 1$

$с_{22} = а_{22} + б_{22} = 4 + 5 = 9$

Ответ:  

Задача №2

Даны слагаемые:

Найти: С

Решение: так как матрицы разного размера (А = 2 × 3; В = 3 × 2), данная операция невозможна.

Ответ: нет решения.

Не справляетесь с заданиями по учебе? Обращайтесь в ФениксХелп за помощью!