Залипательная наука

Матрица в математике — это таблица упорядоченных взаимосвязанных элементов, состоящая из m-строк и n-столбцов. В квадратной матрице m=n, то есть A = (n×n). Одной из основных ее характеристик, применяемых в решении большинства задач, является определитель.

Определитель матрицы — что это такое, его свойства

Точного определения этого термина не существует, однако для понимания:

Три альтернативных обозначения: |А|, Δ, det A. Методы вычисления варьируется в зависимости от порядка матрицы (количества строк или столбцов).  

Что называют детерминантом

При изучении матричного определителя часто мелькает латинское слово «детерминант». На самом деле, разницы нет — это одно и то же понятие. Однако детерминант имеет множество значений в других областях науки, поэтому в математике чаще всего используют его русский перевод.

Расстановка индексов в матрице

Индексы — это координаты элемента в системе. У каждого элемента их два: первый указывает на строку, второй — на столбец.

Поскольку порядок — это количество строк или столбцов в квадратной матрице, то его можно определить по m-индексу нижней строки или n-индексу крайнего правого столбца. Такой способ применяется в том случае, если таблица очень большая и считать строки (столбцы) неудобно.

Алгебраическое определение

Алгебраический смысл таков:

Формула:

Каждое слагаемое — это произведение n-элементов, взятых по одному из каждой строки и каждого столбца, умноженное на (-1) в степени Np (количество инверсий).

Геометрическое определение

Геометрический смысл таков:

Еще раз: количество строк (столбцов) равно количеству векторов. Таким образом, если нам дана матрица А = (2×2), то она является двухмерным параллелограммом, а детерминант — площадью данной фигуры. Если А = (3×3), то это трехмерный параллелепипед, а определитель — его объем.  

Общая схема вычисления определителей

Для матрицы 1-го порядка определитель равен его единственному элементу:

\(|a_{11}| = a_{11}\)

Для 2-го порядка — произведение элементов главной диагонали минус произведение побочной.

\(|а_{11} а_{12}|\)

\(|а_{21} а_{22}| = а_{11} * а_{22} — а_{12} * а_{21}\)

Для нахождения А = (3×3) есть два способа:

• правило треугольника;
• правило Саррюса.

Правило треугольника выглядит следующим образом:

Если показывать графически, то:

По правилу Саррюса нужно:

1. Дописать слева от определителя два первых столбца.
2. Перемножить элементы главной диагонали и параллельных диагоналей, взяв произведения со знаком «+».
3. Перемножить элементы побочных диагоналей и параллельных им, взяв произведения со знаком «–».

Матрицы от 4-го порядка считают разложением строк или столбцов, но такой метод применяется редко и требует знаний об алгебраическом дополнении и миноре.

Вычисление определителя матрицы, примеры с решением

Задача №1: вычислить детерминант матрицы A = (n×n), равной

| 11 -3 |

| 15 -2 |.

Решение:

\(|а_{11} а_{12}|\)

\(|а_{21} а_{22}| = а_{11} * а_{22} — а_{12} * а_{21}\), следовательно

det A = 11 * (-2) – (-15) * (-3) = (-22) – 45 = (-67)

Ответ: det A = (-67)

Задача №2: определить det A матрицы, равной

| 1 3  4 |

| 0 2  1 |

| 1 5 -1 |

Решение: если методом треугольника, то:

Следовательно:

det A = (1 * 2 * (-1) + 3 * 1 * 1 + 0 * 5 * 4) — (4 * 2 * 1 + 3 * 0 * (-1) + 1 * 5 * 1) =

((-2) + 3 + 0) — (8 + 0 + 5) = 1 — 13 = (-12)

Ответ: det A = (-12)

Сложно? Феникс.Хелп может помочь в решении домашних, самостоятельных и контрольных работ.

Формулы Дж. Максвелла являются основой теоретического описания электромагнитных явлений, которое предложил ученый. С помощью выявленных закономерностей объясняют эмпирические факты, известные в тот период времени, и предсказываются некоторые эффекты. Основным выводом, который выражает теория Максвелла, является положение, подтверждающее наличие волн электромагнитного характера, распространяющихся со скоростью света.

Уравнения Максвелла

С помощью обозначения формул Максвелла обобщают основные закономерности электрических и электромагнитных явлений. Как основа теоретического исследования электромагнитного поля, данная система формул направлена на решение задач на поиск электрических и магнитных полей, образованных путем заданного распределения электрических зарядов и токов. Уравнения Максвелла послужили основой для развития теории относительности Эйнштейна. Благодаря объяснению теории Максвелла, удалось раскрыть электромагнитную природу света.

Самостоятельно Максвеллом было выведено 20 формул, в которых использовалось 20 неизвестных, записанных в дифференциальном виде. В дальнейшем уравнения были преобразованы. Данные исследования получили негативные оценки критиков, которые являлись современниками Максвелла. Причиной является существенное отличие предложенных формул от ранее известных определений.

Несмотря на скептическое отношение в то время, сегодня уравнения Максвелла воспринимаются, как правильные и справедливые не только для привычного макромира, но и областей квантовой механики. Благодаря данному исследованию, произошел настоящий переворот восприятия людьми научной картины мира. Уравнения предвосхитили обнаружение радиоволн и продемонстрировали смысл электромагнитной природы света.

Границы применимости уравнений Максвелла

При необходимости исследований с учетом движения среды, формулы Максвелла не изменяют, а движение учитывают при составлении материальных уравнений. В данных отношениях наблюдается зависимость от характеристики скорости сред, что усложняет формулы в системе СИ. При этом материальные уравнения более не являются соотношениями между парами величин. К примеру, наблюдается зависимость плотности тока проводимости от индукции магнитного поля, наряду с напряженностью электрического поля. Для системы уравнения Максвелла характерны следующие ограничения:

• неподвижность материальных тел в поле;
• зависимость постоянных ε, μ, σ от координат, но не от времени и векторов поля;
• отсутствие в поле постоянных магнитов и ферромагнетиков.

Первое уравнение Максвелла

Описание данного уравнения тесно связано с понятием дивергенции. Данное явление называют дифференциальным оператором, с помощью которого определяют поток конкретного поля сквозь какую-то поверхность. Уместно сравнить данную систему с краном или трубой. К примеру, при большом диаметре крана и напора в трубе увеличивается поток жидкости через поверхность в виде крана. Современная форма первого уравнения Максвелла имеет следующий вид:

\(div\vec{E}=\frac{\rho }{\varepsilon _{0}}\)

В данном уравнении Максвелла Е является векторным электрическим полем, зависящим от суммарного заряда, который заключен внутри замкнутой поверхности. Данное уравнение является законом Гаусса.

Второе уравнение Максвелла

Данная формула, выведенная ученым, представляет собой закон Фарадея. На основе данных закономерностей функционируют электрические двигатели. В конструкции моторов ток в катушке возникает, благодаря вращающимся магнитам. Второе уравнение Максвелла имеет следующий вид:

\(rot\vec{E}=\frac{d\vec{B}}{dt}\)

Ротор электрического поля в виде интеграла через замкнутую поверхность выражается скоростью, с которой изменяется магнитный поток, пронизывающий эту поверхность. Наглядным примером такого явления может служить вода в ванной, сливаемая через отверстие. Вокруг слива будет образована воронка. Ротор в этом случае будет являться суммой или интегралом векторов скоростей молекул воды, вращающихся вокруг сливного отверстия.

Третье уравнение Максвелла

Представленная ученым формула является законом Гаусса. Следует отметить, что третье уравнение Максвелла справедливо не для электрического поля, а для магнитного. Формулировка имеет следующий вид:

\(div\vec{B}=0\)

Данное соотношение демонстрирует нулевое значение потока магнитного поля через замкнутую поверхность. Электрические заряды с положительным или отрицательным значением существуют отдельно друг от друга и приводят к образованию электрического поля в окружающей среде. Магнитные заряды в природе отсутствуют.

Четвертое уравнение Максвелла

Данная формула считается наиболее важной из всех приведенных ранее. Согласно четвертому уравнению, Максвелл определил что такое ток смещения. Равенство записывают таким образом:

\(rot\vec{B}=\frac{j}{\varepsilon _{0}c^{2}}+\frac{1}{c^{2}}\frac{dE}{dt}\)

Данные уравнения носят название теоремы о циркуляции вектора магнитной индукции. Согласно этому утверждению, вихревое магнитное поле образовано электрическим током и изменением электрического поля.

Следствия из уравнений Максвелла

Все формулы объясняют определенные явления. Суть каждого из них заключается в следующем:

• первое уравнение – электрическое поля образовано электрическим зарядом;
• второе уравнение – вихревое электрическое поле является результатом изменений магнитного поля;
• третье уравнение – отсутствие в природе магнитных зарядов;
• четвертое уравнение – вихревое магнитное поле сформировано электрическим током и изменением электрической индукции.

Уравнения Максвелла полностью соотносятся с принципами специальной теории относительности. Формулы необходимы для микроскопического описания вещества в условиях классического электромагнитного поля и заряженных частиц, подчиняющихся принципам квантовой механики. Более последовательное объединение полевого подхода с принципами квантовой механики осуществляют по средствам методов квантовой теории поля в квантовой электродинамике.

Подобные дисциплины изучают студенты современных профильных вузов. Данные области научных знаний достаточно сложны для восприятия. Поэтому при возникновении трудностей в образовательном процессе можно обратиться к ресурсу Феникс.Хелп.

История цивилизаций началась примерно 5500 лет назад с периода, который мы называем Древние цивилизации.

Древние цивилизации мира: описание

Признаки цивилизации:

• выход людей из пещер и поселения вдоль рек;
• рост поселений, развитие гончарных искусств, появление письменности;
• становление городской культуры, архитектуры, скульптуры.

Родовое общество характеризует любую древнюю цивилизацию, в то время, как современные цивилизации отличаются политическими или классовыми признаками.Собственность в древности была коллективной, и принцип власти в них также осуществлялся на основе родового признака.

Появление первых научно доказанных цивилизаций началось в 5 тысячелетии до н.э. и остановилось в 1 тысячелетии до н.э. Первые цивилизации появились на Востоке и Европе. Они тянулись от Средиземного моря до Тихого океана. Самое раннее их появление археологи обнаружили в Двуречье, в районе рек Евфрат и Тигр.

Ученые-историки определили 5 периодов, в течение которых развивалось человечество. Каждый период поделен на эпохи.

Первобытное общество существовало, начиная с 3000 года до нашей эры, когда объединялись Нижний и Верхний Египет.

К этому периоду относятся эпохи:

• палеолит и мезолит;
• неолит;
• бронзовый век;
• железный век.

Древний мир длился с 3000 г. до н.э. до падения Римской империи в 476 г. н.э.:

• эллинизм;
• древний Рим.

Средние века — это начало эпохи, названной "Великие географические открытия" (с 476 года нашей эры до конца XV века):

• раннее Средневековье: конец V — середина XI веков;
• высокое или классическое Средневековье: середина XI — конец XV веков.

Период Раннего Нового времени или позднего Средневековья: 

• Возрождение или Ренессанс начались со 2-й половины XIII века и продолжались до середины XVI века;
• продолжение Великих географических открытий, с XV века по XVII век;
• эпоха Реформации продолжалась с XVI века по XVII век;
• первая часть эпохи Просвещения началась в XVIII веке.

Период Нового времени

• вторая половина эпохи Просвещения продолжается в XVIII веке;
• эпоха промышленного переворота началась во второй половине XVIII века  и продолжалась в XIX веке.

Мы живем в периоде Новейшей истории, который начался в 1918 году и продолжается в настоящее время.

Список древних цивилизаций

1. Древняя Месопотамия (3500 — 500 гг. до н.э.).
2. Индская цивилизация (3300 — 1300 гг. до н.э.).
3. Древний Египет (3100 — 332 гг. до н.э.).
4. Древняя Греция (3000 — 30 гг. до н.э.).  
5. Крито-минойская (2600 — 1400 гг. до н.э.).
6. Древняя китайская (2070 — 500 гг до н.э.).
7. Нубийская цивилизация (2000 — 1000 гг. до н.э.).
8. Цивилизация Хеттов (1600 — 1178 гг. до н.э.).
9. Цивилизация Ольмеков (1500 — 401 гг. н.э.).
10. Финикийская цивилизация (1200 — 332 гг. до н.э.).
11. Цивилизация Майя (1200 — 900 гг. до н.э.).
12. Чавинская цивилизация (898 — 200 гг. до н.э.).
13. Древний Рим (27 г. до н.э. — 476 г. н.э.).

Чавинская цивилизация (898 — 200 гг. до н.э.)

Находилась на территории нынешнего государства Перу.Расположилась в долине Мосна, в месте, где сливаются реки Мосна и Уачекса. Территориально это Южная Америка, северные нагорья Анд, самых длинных и высоких горных систем планеты.

Ученые обнаружили целый комплекс археологических памятников, расположенный на высоте 3200 м над уровнем моря в 250 км к северу от столицы Перу, города Лимы. Среди этих памятников наиболее ценен храмовый комплекс, имеющий многочисленные подземные галереи.

Чавинцы научились плавить металлы и делать ювелирные изделия, строили каналы.

Цивилизация Ольмеков (1500 — 401 гг. до н.э.)

Ольмеков считают высокоразвитой цивилизацией Центральной Америки. Они занимали территорию современной Мексики. Поселения были небольшие, самым крупным был город Сан-Лоренсо.

Занятия: земледелие, пчеловодство, гончарное искусство, ткачество, ловля рыбы, скотоводство, строительство культовых храмов. Занимались ольмеки также резьбой по камню и изготовлением керамических изделий. Их отличали познания в астрономии и математике. Ольмеки придумали лунный календарь, игру в мяч. Цивилизация ольмеков отличается созданием памятников. Ученые обнаружили на территории каменные головы, высотой от 1,5 до 3 метров и весом от 5 до 40 тонн.

Историки предполагают, что цивилизация была уничтожена из-за восстания неимущих слоев населения, в результате которого каменные головы были изуродованы и зарыты в землю.

Цивилизация Хеттов (1600 — 1178 гг. до н.э.)

Хетты — индоевропейский народ, поселившийся в Малой Азии, где основал Хеттское царство. Первые поселения выросли на месте современной Турции, затем территория расширилась до земель Сирии и Ливана. Основные занятия хеттов — скотоводство и земледелие. Они изготавливали керамику, изделия из камня. Хетты владели письменностью на глиняных табличках. Они первыми придумали колесницы и использовали их в сражениях.

Расцвет цивилизации начался во II веке до н. э, когда хетты нашли залежи железной руды. Сначала они научились плавить ее, затем начали ковать оружие и доспехи. Это позволило им разбогатеть. Благодаря этому они создали мощную армию.

Причиной упадка великой цивилизации историки называют нападение причерноморских племен. Они отрезали хеттов от торговых путей, разорили землю.

Цивилизация Майя (2000 — 250 гг. до н.э.)

Место размещения — Центральная Америка.  Высоко были развиты письменность, искусство, архитектура, математика и астрономия. Майя занимала территорию  нынешних стран: Мексика, Сальвадор, Гватемала, Белиза, Гондураса. Всего существовали более 1000 городов майя и около 3000 посёлков.

Достигли больших успехов в скульптуре и живописи, резьбе по нефриту, создали свой собственный солнечный календарь, вырезанный из камня. Их астрономические расчеты сильно опередили время. Майя и ацтеки построили пирамиды, часть которых больше, чем в Египте. 

Нубийская цивилизация (2000 — 1000 гг. до н.э.)

Территория цивилизации находилась в плодородной долине Нила, севернее суданской столицы Хартума и южнее Асуана в Египте. Нубийское царство являлось независимым государством, имело собственную культуру, традиции и религиозные представления.

На культуру Нубии мощное воздействие оказал Древний Египет. Государства торговали и часто воевали друг с другом. Причиной войн были плодородные земли Нубии, а также драгоценные и цветные металлы.К историческим памятникам государства относятся пирамиды, которых около 290. Это в три раза больше гробниц фараонов Древнего Египта. Известно, что вождей нубийцев хоронили в гробницах в окружении сотен слуг, со всем богатством.

Древняя китайская цивилизация (1600 — 1046 гг. до н.э.)

Ее считают одной из самых древних культур на планете. Начиналась китайская цивилизация в долине реки Хуанхэ. Постепенно была освоена долина реки Янцзы. Древние китайцы выращивали рис, позже занялись скотоводством, козами, овцами. Территория была богата металлами, особенно много было свинца, меди, олова.

В III в. до н.э. Китай расширяется за счет Маньчжурии и Монголии, государство делится на 36 царств. Начинается сооружение Великой китайской стены, чтобы защитить север от кочевников. В конце III века царства объединились под властью Цинь. Эта династия была у власти всего 11 лет. Эти годы называют расцветом династии, который длился до конца II века. После этого начался кризис и упадок государства.

Эпохи могущества Древнего Китая периодически сменялись упадком. Но государство, переживая кризисы, вновь возрождалось, сохраняя свою уникальность и своеобразие.

Открытия того времени

Цивилизация известна всему миру своими открытиями. Бумага, шелк, порох, компас, технология книгопечатания изобретены китайцами.

В Китае применялось орошаемое земледелие. В эту эпоху возникла китайская иероглифическая письменность. Вначале существовало около 30 тыс. различных знаков, позже количество иероглифов сократилось. Китай стал родиной шелка. Технику шелководства держали в секрете почти 2,5 тыс. лет. Китайские мастера умели работать с камнем и металлом, особенно с нефритом, бронзой, золотом. В VI в. до н.э. в царстве Цзинь впервые появились металлические деньги.

Значительное развитие в Китае получила астрономия, появились карты звездного неба. Китайские астрономы умели предсказывать лунные и солнечные затмения, появление комет.

Огромное влияние на формирование китайского мировоззрения оказал мудрец Кун-Цзы (Конфуций), живший в период около 551 —479 гг. до н.э. Согласно его учению каждый человек должен помнить свое место в обществе, быть справедливым, скромным, бескорыстным, выше всего ставить чувство долга. Конфуций ввел в китайскую культуру принципы гуманизма.

Крито-минойская цивилизация (2600 — 1400 гг. до н.э.)

Ее считают одной из самых загадочных культур бронзового века. Минойцы возводили целые города, в которых строили огромные дворцы, умели создавать уникальные по красоте фрески, ювелирные украшения, красивую керамику и глиняные таблички с письменами.

Началась культура на острове Крит в эпоху бронзового века. Позже переместилась на другие острова в Эгейском море и на материковую Грецию. На острове развивались города-государства. К началу XVII в. до н.э. город Кносс, как наиболее развитый, подчинил себе остальные города. Был создан мощный флот, который господствовал в восточной части Средиземного моря. Строились города, дороги. Во главе стоял царь, его родственники назначались военачальниками и наместниками городов.

Основное достижение их культуры — так называемые дворцы. Среди сооружений самым мощным был комплекс царского дворца в Кноссе.

Гибель цивилизации произошла очень быстро и неожиданно. Находясь на пике своего могущества, цивилизация пострадала от извержения вулканов, которое началось на острове Крит. Извержение было таким мощным, что вода и воздух оказались отравленными ядовитыми выбросами, улицы городов и дороги покрыло толстым слоем вулканического пепла. Население, спасаясь от неминуемой гибели, в ужасе бежало с острова. Наступил глубокий упадок государства. Этим воспользовались ахейцы, греческое племенное объединение, которые вторглись в поверженный остров и захватили его.

Цивилизация Древнего Египта (3100 — 332 гг. до н.э.)

Древние египтяне отличаются своей развитой культурой. Они сооружали уникальные пирамиды, огромных сфинксов. В стране правили фараоны. Эта уникальная цивилизация располагалась по берегам реки Нил.

Первые поселенцы появились вокруг долины Нила в начале 3500 года до н.э. Благодаря периодическим разливам этой огромной реки сложились отличные условия для земледелия.

Открытия и достижения

Открытия и достижения египтян в самых разных сферах жизни имели фундаментальное значение для мирового развития. Они добывали в предгорьях кремень, известняк, гранит и другие строительные материалы. Камень нужен был для строительства пирамид — огромных каменных гробниц, которые возводились для фараонов. Всего было возведено около 100 пирамид. Самой крупной считается пирамида Хеопса. Ее высота — 146,5 м, стороны в основании — 230 м. 

Значительные достижения сделали египтяне в астрономии. При изучении храма в городе Луксор историки обнаружили  зодиакальные знаки. Жрецы располагали знаниями об анатомии человека. Они делали сложнейшие операции на череп, производили ампутацию конечностей, делали операции на глазах.

Египтяне изобрели папирус из стеблей лотоса, на котором писали исторические летописи.

Поклонение идолам дало толчок строительству храмовых комплексов, созданию фигурок на религиозные темы. Мистическое значение придавали отдельным животным. В храмах часто изображались фигуры или лепились скульптуры сфинкса, в котором соединялись черты животного и человека.

Немало сделано и в области математики. Создана десятичная система счета, египтяне умели вычислять площадь треугольника, трапеции и круга. Наблюдая за звездами, они составили календарь, согласно которому год поделили на 12 месяцев и 365 дней.

В Древнем Египте впервые в мире были созданы политические, социальные и экономические институты.

Египет долгий период оставался богатейшей страной Древнего Востока. Упадок начался в первом тысячелетии до н.э. из-за политических разногласий. Страну разоряли междоусобные войны враждующих династий. Начались нападения иноземцев на великую державу. В 332 году до н.э. Александр Македонский отвоевал Египет у персов и установил правящую династию Птолемеев. Египет подчинился Древней Греции. В 30 годах до нашей эры Египет стал южной провинцией Римской империи, а в 395 году нашей эры отошёл к Византии. В 640 году Египет был завоёван армией Арабского халифата, покорившего всю Северную Африку.

Индская цивилизация (3300 — 1300 гг. до н.э.)

Размещалась на территории северо-восточной части современных Пакистана, Афганистана и северо-западной Индии. Это третья по времени появления древневосточная цивилизация Бронзового века наравне с Древним Египтом и Месопотамией. Жители занимались скотоводством: выращивали овец, свиней, зебр, буйволов. Осваивали земледелие, применяли орошение полей. На полях высаживали ячмень, пшеницу и другие культуры. Приручили слонов и верблюдов.

В городах строились дома из кирпича. В домах были водопровод и сливная канализация. Были хорошо развиты различные ремесла, процветала торговля.

Во втором тысячелетии до нашей эры в долине Инда начался упадок цивилизации. Причинами историки называют участившиеся наводнения, обеднение почвы, а также частые войны. Способствовали упадку и частые тропические болезни населения.

Около 1500 г. до нашей эры долину Инда захватили арийские племена. Они жестоко обошлись с населением, превратив их в рабов или слуг. Позже арии стали распоряжаться на всей территории, и цивилизация индов сошла на нет.

Открытия, особенности общественного строя

Поселения отличались высоким уровнем архитектуры, в строительстве домов применялась кирпичная кладка, использовалась дренажная система. В крупных городах в домах были сливные туалеты, подключенные к системе канализации высокого инженерного уровня.

Жители Инды умели довольно точно измерять длину, массу и время. Имели свою письменность, которая историками до сих пор не расшифрована.

Общественный строй до конца  не изучен. Известно, что все города строились по единому принципу. Стандартные решения в постройках, изготовлении вещей говорят о том, что была централизованная власть, которой все подчинялись. 

Цивилизация Древней Месопотамии (3500 — 500 гг. до н.э.)

Месопотамия располагалась по берегам рек Евфрат и Тигр. Поэтому получила название «междуречье». Это территория нынешней страны Ирак. Цивилизация существовала около 25 веков.

Основные достижения

Жители осваивали берега рек, занимались осушением болот. Изобрели плуг, который хорошо рыхлил почву. Строили на полях оросительные сооружения, умели создавать запасы воды. Поселения постепенно разрастались и превращались в города-государства. Дома строили из кирпича, который изготовливали из глины с илом.

В земледелии культивировали пшеницу, ячмень. Выращивали овощи и финики. Приручили овец и коров, в реках ловили рыбу. Добывали руду и научились получать из нее чистую медь, затем научились плавить медь, серебро и золото. Изготавливали золотые украшения. Они создали письменность, которая называется клинопись. В архивах древнего Междуречья ученые нашли сотни тысяч глиняных табличек.

Месопотамцев отличали глубокие астрономические знания и высокая степень урбанизации.

Историческая ценность, влияние на развитие человечества

Знание культуры древности помогает нам понять, как происходило формирование человеческого общества.

Историки и археологи, проводя раскопки, изучают найденные артефакты и по ним определяют состояние цивилизации, уровень ее развития. Это помогает изучать быт и образ жизни древнейшего общества. Многие знания, полученные античными учеными, до сих пор лежат в основе современных учебников. Например, книга по геометрии Евклида не потеряла своей актуальности и сегодня.

Произведения античных поэтов и историков занимают почетные места в мировой культуре. Современные деятели искусства часто обращаются к античной культуре и сюжетам мифов. Остатки храмов и египетские пирамиды до сих пор восхищают.

Культура Древнего Египта, Греции, Рима заложила прочный фундамент развития современной культуры. Без него не было бы современной Европы.

Тема Древних цивилизаций очень обширна и требует много времени для изучения, которого всегда не хватает. Чтобы его освободить от студенческих работ, обращайтесь в Феникс.Хелп.

Уравнение Шредингера имеет большое значение для квантовой механики — наряду со вторым законом Ньютона в классической механике или уравнением Максвелла для изучения природы электромагнитных волн. Закономерности, описанные ученым, объясняют движение частиц, скорость которых существенно меньше, чем скорость света.

Общее уравнение Шредингера — какой имеет вид и зачем нужно

Опытным путем можно наблюдать волновые свойства частиц. Определение данного явления является следствием уравнения, которое описывает движение микроскопических частиц в разных силовых полях. Закономерности движения в квантовой механике вытекают из статистического толкования волн де Бройля и соотношения неопределенностей Гейзенберга.

Главное уравнение представляет собой формулу относительно волновой функции \(\psi\) (x, y, z,t). Это объясняется тем, что \(\left|\psi \right|\) является определением вероятности присутствия частицы в определенное время t в объеме ΔV, то есть в области со следующими координатами:

x и x + dx;

y и y + dy;

z и z+dz.

Основная закономерность нерелятивистской квантовой механики была представлена в 1926 году Э. Шредингером. Данная формула не является выводом, это — постулат. Справедливость уравнения подтверждается согласием с результатами опыта, что говорит о природном характере выявленной закономерности.

Общее уравнение Шредингера обладает следующим видом:

\(-\frac{h^{2}}{2m}\Delta \psi +U\psi =i\times h\frac{d\psi }{dt}\)

где ħ равно отношению \(\frac{h}{2\pi }\)

m — является массой частицы,

Δ — оператор Лампаса,

i — представляет собой мнимую единицу,

U(x, y, z, t) — равно потенциальной функции частицы в силовом поле, в котором она движется,

\(\psi\)(x, y, z, t) — служит искомой волновой функцией частицы.

Данная формула справедлива для любых частиц, спин которых равен нулю, движущихся с небольшой скоростью относительно скорости света. Уравнение можно дополнить условиями, характерными для волновой функции:

• волновая функция имеет конец, однозначна и непрерывна;
• производные волновой функции отличаются непрерывностью;
• \(\left|\psi \right|\) интегрируема, что является условием нормировки вероятностей.

В первом случае описано уравнение, которое зависит от времени. Многие физические явления, наблюдаемые в микромире, можно охарактеризовать с помощью упрощенной формулы. При исключении зависимости волновой функции от времени можно определить закономерность Шредингера для стационарных состояний, то есть состояний, в которых значения энергии фиксированы. Такие ситуации возможны при стационарном силовом поле, в котором происходит движение частицы. Таким образом, функция U = U (x, y, z) не определяется временем и обладает смыслом потенциальной энергии.

В данном случае уравнение Шредингера будет иметь следующий вид:

\(\Delta \psi +\frac{2m}{h^{2}}\left(E-U \right)\times \psi =0\)

Данная формула получила название уравнения Шредингера для стационарных состояний. Здесь используют полную энергию Е-частицы. Согласно теории дифференциальных уравнений доказано, что имеется бесчисленное множество решений подобных уравнений, которые имеют физический смысл при отборе методом наложения граничных условий. В случае уравнения Шредингера такими условиями являются характеристики регулярности волновых функций:

• конечность волновых функций;
• однозначность и непрерывность волновых функций наряду с первыми производными.

Реальным физическим смыслом обладают лишь те решения, которые определены регулярными функциями $$\left|\psi \right|$$. Регулярные решения характерны не для любых значений величины Е, а лишь при конкретной их совокупности в рамках определенной задачи. Такие параметры энергии носят название собственные. В свою очередь решения с собственными значениями энергии определяют как собственные функции. С помощью собственных параметров Е формируют непрерывный или дискретный ряд. Для первого случая характерен непрерывный или сплошной спектр, для второго — дискретный спектр.

Применение уравнения Шредингера

Уравнение Шредингера не подходит для описания следующих явлений:

1. Спонтанное излучение, в связи с тем, что волновая функция для возбужденного состояния представляет собой точное решение уравнения Шредингера с учетом зависимости от времени.
2. Процесс изменения, характерный для квантовой механики, так как уравнение линейно, детерминистично и обладает обратимостью во времени, а данный процесс не отличается линейностью, стохастичен и необратим.
3. Взаимное превращение элементарных частиц, по причине описания данных процессов релятивистской квантовой теорией поля.

Можно рассмотреть применение уравнения Шредингера к свободной частице или электрону, который совершает движение вдоль оси ОХ. При этом величина потенциальной энергии частицы, находящейся в свободном движении, равна нулю. То есть U = 0. Тогда уравнение Шредингера будет иметь следующий вид:

\(\Delta \psi +\frac{2m}{h^{2}}E\psi =0\)

Исходя из гипотезы Бройля, можно смоделировать перемещение такого микроскопического объекта с помощью плоской монохроматической волны, занимающей все пространство:

\(\psi =\psi _{0}e^{-i\left(\omega t-\vec{k}\vec{y} \right)}\)

Волновая функция, характеризующая движение свободной частицы вдоль оси ОХ, бедт записана следующим образом:

\(\psi =\psi _{0}e^{-i\left(\omega t-kx \right)}\)

где \(\psi _{0}\) является амплитудой волны.

Круговая частота \(\omega\) и волновое число k связаны с полной энергией E и импульсом р следующими закономерностями:

\(E=hω\)

\(p=hk\)

Из данных соотношений следует:

\(\omega = \frac{E}{h}\)

\(k=\frac{P}{h}\)

В таком  случае волновая функция будет иметь следующий вид:

\(\psi =\psi _{0}e^{\frac{i}{h}\left(Et-Px \right)}\)

Продемонстрировать соответствие данного вида функции уравнению Шредингера можно, если определить \(\Delta \psi\) и \(P^{2}\)

\(\frac{d\psi }{dx}=\psi _{0}\left(\frac{-i}{h} \right)\left(-P \right)\times e^{\frac{-i}{h}\left(Et-Px \right)}=\frac{i}{h}P\psi\)

\(\Delta \psi =\frac{d^{2}\psi }{dx^{2}}=\left(\frac{i}{h}P \right)^{2}e^{-\frac{i}{h}\left(Et-Px \right)}\psi _{0}=-\frac{P^{2}}{h^{2}}\psi\)

\(P^{2}=\frac{1}{\psi }h^{2}\Delta \psi\)

Далее необходимо определить \(\frac{d\psi }{dt}\) и определить значение полной энергии Е:

\(\frac{d\psi }{dt}=-\psi _{0}\frac{i}{h}E\times e^{-\frac{i}{h}\left(Et-Px \right)}=-\frac{i}{h}E\psi\)

\(E=-\frac{1}{\psi }\times \frac{h}{i}\times \frac{d\psi }{dt}\)

Используя отношение энергии частицы Е к импульсу p, получим формулу:

\(E=\frac{p^{2}}{2m}\)

Подставив данные значения в уравнение, можно вывести следующее равенство:

\(-\frac{1}{\psi }\times \frac{h}{i}\frac{d\psi }{dt}=\frac{1}{2m}\left(-\frac{1}{\psi }h^{2}\Delta \psi \right)\)

\(\frac{h}{i}\frac{d\psi }{dt}=\frac{h^{2}}{2m}\Delta \psi\)

\(\frac{h^{2}}{2m}\Delta \psi =ih\frac{d\psi }{dt}\)

\(-\frac{h^{2}}{2m}\Delta \psi =ih\frac{d\psi }{dt}=ih\left(-\psi _{0} \right)\frac{i}{h} Ee^{-\frac{i}{h}\left(Et-Px \right)}=E\psi\)

\(\Delta \psi +\frac{2m}{h^{2}}E\psi =0\)

Данное равенство соответствует уравнению Шредингера, когда U=0. Корректный вид волновой функции можно обосновать для случая движения частицы в силовом поле, в случае, когда потенциальная энергия не равна нулю. Формула будет иметь следующий вид:

\(\frac{P^{2}}{2m}= E-U\)

Такое уравнение характеризует энергию движения частицы по аналогии с кинетической энергией в классической механике. После подстановки значений Е и Р уравнение приобретает следующий вид:

\(\frac{1}{2m}\left(-\frac{1}{\psi }h^{2}\Delta \psi \right)=-\frac{1}{\psi }\frac{h}{i} \frac{d\psi }{dt}-U\)

\(-\frac{h^{2}}{2m}\Delta \psi +U\psi =\frac{h}{i}\frac{d\psi }{dt}\)

Конечная формулировка идентична уравнению Шредингера. Данное выражение применимо для частицы, которая совершает движение в силовом поле.

Пример решения уравнения Шредингера

Задание 1

Электрон движется в одном измерении вдоль оси ОХ между двумя потенциальными барьерами. В случае, если высота барьеров на концах ямы не имеет ограничений, электрон, как и в атоме, совершает финитное движение. Необходимо описать движение в квантовой механике и поведение импульса и энергии частицы.

Решение

Вначале следует изобразить ситуацию схематично

Согласно условиям задачи, функция U(x) обладает особым, разрывным видом и равна нулю в области между стенками. На краях ямы, то есть на ее барьерах, функция будет бесконечна:

При х=0 и х=l \(U=\propto\)

При 0<x<1 U=0

Можно представить импульс электрона по модулю в виде определенной и постоянной величины, изменяющей знак во время отражения от барьера. Связь энергии электрона и импульса выражается таким образом:

\(E=\frac{p^{2}}{2m_{0}}\)

Уравнение Шредингера для стационарных состояний частиц, находящихся между барьерами, имеет следующий вид:

\(\frac{h^{2}}{2m_{0}}\times \psi ^{"}+E\psi =0\)

Выполняя преобразования в формулах, получим:

\(\psi ^{"}+\frac{p^{2}}{h^{2}}\psi =0\)

К полученной формуле следует прибавить граничные условия на барьерах ямы. Необходимо учесть связь волновой функции и вероятности нахождения частиц. Согласно условиям задания, частица за пределами стенок не находится. В таком случае значение волновой функции на стенках и за их пределами равно нулю. Граничные условия задания будут иметь следующий вид:

\(x\leq 0 \)  \( \psi =0\)

\(x\leq 1 \)   \( \psi =0\)

При дальнейших действиях нужно учитывать, что решением последней формулы являются волны де-Бройля. Одну волну де-Бройля в качестве решения к задаче не применить, так как с ее помощью заранее описывается свободная частица, движущаяся в одном направлении. В данном случае рассматривается движение частицы между стенками. Поэтому, используя принцип суперпозиции, в решении можно применить две волны де-Бройля, совершающих движение навстречу друг к другу с импульсами р и –р. Формула будет иметь следующий вид:

\(\psi =C_{1}\times exp\left(\frac{i}{h}px \right)+C_{2}\times exp\left(-\frac{i}{h}px \right)\)

Исходя из граничных условий и условий нормировки, можно определить постоянные \(С_1\) и \(С_2\). Сумма всех вероятностей позволит рассчитать вероятность нахождения электрона между стенками в любом месте и получить единицу, то есть значение вероятности достоверного события равна 1. Уравнение будет иметь такой вид:

\(\int_{0}^{l}{\left|\psi \left(x \right) \right|^{2}}dx=1\)

Исходя из первых граничных условий:

\(C_{1}+C_{2}=C\)

\(C_{1}=-C_{2}=C\)

Решение задачи будет иметь следующий вид:

\(\psi =C\times \left(exp\left(\frac{i}{h}px \right)-exp\left(-\frac{i}{h}px \right) \right)\)

\(exp\left(\frac{i}{h}px \right)-exp\left(-\frac{i}{h}px \right) =2\sin \frac{px}{h}\)

\(\psi =A\sin \frac{px}{h}\)

\(A=2iC\)

Постоянная А выходит из условий нормировки. В данном случае она не представляет интереса. Необходимо использовать второе граничное условие. Тогда решение можно записать в виде уравнения:

\(\sin \frac{pl}{h}=0\)

Импульс при этом принимает только определенные значения:

\(p_{n}=\frac{h}{l}\pi n\)

n=±1, ±2…

Следует учесть, что n не равно нулю. Это объясняется тем, что в противном случае волновая функция повсюду имела нулевые значения. В этом случае для частицы между стенками состояние покоя не характерно. Электрон обязательно должен совершать движение. Минимальное значение возможного импульса движущейся частицы равен:

\(\frac{h}{l}\pi =\frac{hn}{2\pi }\frac{\pi }{l}=\frac{hn}{2l}\)

Ранее было указано, что импульс электрона изменяет знак во время отражения от барьеров. В этом заключается сложность представления ответа на вопрос, каков импульс у частицы, запертой между стенками. Он может быть равен –р или +р. Импульс не определен. Степень неопределенности будет выражаться в следующем:

рх-(-р)=2р

Неопределенность координаты Δх равна l. Обнаружить частицу можно в пределах между барьерами. Точное местонахождение электрона неизвестно. Наименьшее значение импульса имеет вид:

\(\frac{h}{2l}\)

Исходя из этого условия, можно вывести равенство:

\(\Delta x\times \Delta p_{x}=h\)

Таким образом, соотношение Гейзенберга в рамках данной задачи, то есть при наличии наименьшего значения р, подтверждено. В случае произвольно-возможного значения импульса соотношение неопределенности приобретает такой вид:

\(\Delta x\times \Delta p_{x}\geq h\)

Согласно исходному постулату Гейзенберга-Бора о неопределенности Δх и Δу, установлена лишь нижняя граница неопределенностей, возможная при измерениях. В начале движения наблюдают минимальные неопределенности, которые возрастают со временем. Полученное уравнение демонстрирует следующее: импульс системы в квантовой механике не всегда изменяется непрерывно. Спектр импульса электрона в данном случае дискретный, импульс частицы между барьерами изменяется скачкообразно. Величина такого скачка при условиях задания является постоянной величиной и определяется как:

\(\frac{h}{2l}\)

Можно изобразить спектр возможных значений импульса электрона. Дискретность изменения механических величин, не применимая к классической механике, в квантовой механике является следствием ее математического аппарата. Невозможно представить наглядное объяснение скачкообразного изменения импульса. Это закон квантовой механики, данный вывод следует из него логически и является объяснением.

Далее необходимо обратиться к энергии электрона. Данная величина обладает связью с импульсом. В случае дискретного спектра импульса получают дискретный спектр значений энергии частицы между барьерами. Подставив ранее известные формулы в уравнение, получим:

\(E_{n}=\frac{p_{n}^{2}}{2m_{0}}=\frac{1}{2m_{0}}\times \left(\frac{h}{2l} \right)^{2}n^{2}\)

где n = 1, 2,…, представляет собой квантовое число.

Таким образом, получают энергетические уровни.

На рисунке представлены энергетические уровни, согласно условию задания. Если изменить их, то схема расположения энергетических уровней будет изменена. В случае, когда частица обладает зарядом, как электрон, и расположена на самом низком энергетическом уровне, она будет в состоянии спонтанно испускать свет, как фотон. При этом переход на более низкий энергетический уровень возможен с условием:

\(E_{n}-E_{M}=h\times \nu _{nm}\)

Для этого задания волновые функции, характерные каждому стационарному состоянию, являются синусоидами. Их нулевые значения будут отмечены на стенках.

Уравнение Шредингера имеет огромное значение для развития современной науки. Квантовая механика является популярной дисциплиной для изучения в специализированных вузах. Нередко студенты учебных заведений сталкиваются со сложными задачами, решение которых отыскать порой достаточно сложно.

При возникновении трудностей в образовательном процессе получить квалифицированную помощь можно с помощью сервиса Феникс.Хелп.

Ученая степень и звание присваиваются за достижения в научной и преподавательской сфере. Их наличие гарантирует соискателю авторитет в глазах научного сообщества и получение востребованной работы с высокой зарплатой.

Что такое ученая степень

Ученую степень соискатели получают в высших учебных заведениях и НИИ (Научно-исследовательский институт). Окончательное решение о присвоении степени или об отказе принимает диссертационный совет.

Титулы сохраняются на всю жизнь и меняются только в случае получения более высокой степени или дисквалификации. В нашей стране утверждены степени: кандидат наук и доктор наук. Эта система была заимствована у Германии и применялась еще в дореволюционный период.

Во многих странах, которые примкнули к Болонскому процессу, сегодня применяется степень доктора философии, вручаемая после окончания вуза. Российская Федерация также подписывала Болонскую конвенцию, поэтому есть основания предполагать, что нашу систему образования ожидают серьезные изменения.

Виды степеней

В России действует следующая классификация ученых степеней: бакалавр, магистр и доктор наук. Рассмотрим каждую из них подробно.

Бакалавр

Впервые понятие «бакалавр» появилось в 1757 году в газете «Московские ведомости». С латинского бакалавр дословно переводится как «молодой рыцарь». В России степень бакалавра введена в 1996 году и действует до сих пор. Срок обучения на бакалавра составляет 4 года, после чего лицо сдает выпускную работу и получает квалификацию. Степень бакалавра свидетельствует о получении студентом профессионального образования.

С этим дипломом выпускник вправе претендовать на получение должности, которая соответствует профессиональной подготовке лица. Квалификация бакалавра дает возможность поступить на магистратуру и повысить свой профессиональный навык.

Магистр

Обучение в магистратуре дает более глубокое знание и освоение теоретической науки по соответствующему профилю.

Возможности, которые предоставляет диплом магистра:

• статус магистра котируется во всех странах;
• предоставляется возможность переводиться в другой вуз;
• степень магистра высоко ценится зарубежными работодателями.

Впервые понятие «магистр» появилось при Александре I в указе «Об устройстве училищ». Степень являлась промежуточной между степенью кандидата и доктора. В 1918 году данный научный статус был отменен и не действовал вплоть до 1996 года.

Сегодня нормативный срок обучения на магистратуре равен 2 годам. Для получения степени необходимо защитить магистерскую диссертацию.

Доктор наук

Лицу, получившему кандидатское научное образование, окончившему докторантуру и защитившему докторскую работу, присваивается степень доктора наук. Для этого необходимо одобрение Высшей Аттестационной Комиссии.

Условия для поступления в докторантуру:

• опыт педагогического или научного стажа – 5 лет;
• трудовой стаж в направляющей организации – от 1 года;
• наличие научных работ в рецензируемых изданиях.

Защита докторской работы происходит на заседании диссертационного совета, который создан при вузе или Научно-Исследовательском Центре. Срок обучения равен 3 годам.

Что такое ученое звание

Ученой степенью признается ступень квалификационной системы в вузах и научных организациях, которые позволяют ранжировать научных сотрудников на определенных этапах их академической деятельности. Ученое звание не только подтверждает уровень подготовки специалиста, но также и его соответствие конкретной преподавательской деятельности.

В России действует два вида ученых званий:

• доцент;
• профессор.

Звание доцента присваивает Высшая Аттестационная Комиссия, а профессора – Минобрнауки РФ. Соискатели подают аттестационные документы в вузы или Научно-Исследовательские Центры для предложения своей кандидатуры на рассмотрение.

При присвоении звания учитывается стаж лица и его достижения в профессиональной области. Ученому сначала нужно получить степень, а уже затем он вправе претендовать на звание. Согласно сложившейся практике, профессорами становятся доктора наук.

Доцент

Чтобы стать претендентом на звание доцента, нужно иметь научные труды и вести педагогическую деятельность в высшем образовательном учреждении с государственной аккредитацией.

Базовые требования к соискателю:

• иметь степень кандидата;
• написать 20 научных работ и учебных изданий;
• иметь 5 лет стажа в педагогической области;
• иметь 2 года стажа в качестве доцента вуза или сотрудника НИИ.

Звание остается у ученого пожизненно. Ни смена работы, ни увольнение, ни выход на пенсию не являются причиной его аннулирования. Лишиться звания можно лишь в том случае, если оно было присвоено ошибочно.

Профессор

С 1934 года звание профессора является наивысшим в иерархии степеней высшего образования. Его получают самые квалифицированные преподаватели и научные сотрудники, которые руководят научно-исследовательской работой. В вузах также есть преподавательская должность, именуемая «профессор».

Прежде чем стать профессором, обязателен трехлетний стаж в звании доцента – данное правило было введено недавно, ранее звание можно было получить сразу. Чаще всего статус профессора получают доктора наук. Ученые, получившие звание профессора без докторской степени, называются «холодными».

Основное отличие ученой степени от звания

Ученая степень и звание – не тождественные понятия и между ними есть существенная разница. Так, ученая степень акцентирована на исследовательскую деятельность, в то время как звание – на преподавательскую.

Звание присваивается в зависимости от того, сколько опубликовано учебных пособий, от стажа работы в высшем учебном заведении и количества достижений в научной сфере.

Ученые степени в России (отличие от западных)

В России и за рубежом установлен разный порядок присвоения ученой степени соискателю. Главное отличие заключается в том, что в РФ рассматриваются две ступени – кандидат и доктор. За рубежом нет понятия «кандидат наук», однако его аналогом служит «доктор философии».

В США действует одноступенчатая система степеней, присваиваемых по окончании вуза, поэтому там нет аналога степени «кандидат наук». В Германии с её двухступенчатой системой научных рангов идентичной служит высшая ступень, именуемая габилитированный доктор.

Иерархия степеней высшего образования

Иерархию степеней высшего образования регламентируют вузы. В обобщенном виде она вылядит так по мере возрастания:

• лаборанты;
• старшие лаборанты;
• ассистенты;
• преподаватели;
• старшие преподаватели;
• доценты;
• профессоры;
• завкафедрой;
• деканы;
• проректоры;
• ректоры.

Данная последовательность может быть изменена в соответствии с регламентом высшего учебного заведения.

Заключение

Понятия «ученая степень» и «ученое звание» не являются тождественными, однако она тесно взаимосвязаны между собой. Кандидаты наук чаще всего становятся доцентами, а доктора наук – профессорами. Намного реже человек получает звание, не имея научной степени. Такие примеры являются исключениями.

Ранжирование научных степеней в РФ и в других странах отличается в том, что за рубежом отсутствует статус кандидата наук.

Если вы соискатель и необходимо содействие в написании диссертации, магистерской или докторской работы, обратитесь на наш портал Феникс.Хелп и получите квалифицированную помощь.