Производная функции: суть, решение с примерами

Производная функции – одно из фундаментальных понятий в математике, без понимания которого становится невозможным решение большинства математических и физических задач. Что же это такое?

Производная функции — краткое описание, суть

Если совсем просто, то:

Выражаясь математическим языком, это предел отношения приращения функции к приращению её аргумента при стремлении приращения аргумента к нулю. Формула:

Она понимается в двух смыслах: геометрическом и физическом.

Геометрический смысл: производная от функции в точке равна тангенсу угла между осью OX и касательной к графику функции в данной точке.

Физический смысл: производная пути по времени равна скорости прямолинейного движения. Таким образом, значение скорости в определённый момент времени t₀ определяется по формуле:

Вычисление производной называется дифференцированием. Обратный процесс – интегрированием.

Основные правила нахождения производных

Дифференцирование строится на следующих правилах.

Правило №1: производная от произведения числа на функцию равна

(c * f (x))' = c * f' (x),

где с – любое число.

Правило №2: производная от суммы функций равна

(f (x) + g (x))' = f ' (x) + g' (x).

Правило №3: производная от разности функций равна

(f (x) – g (x))' = f ' (x) – g' (x).

Правило №4: производная от произведения двух функций равна

(f (x) g (x))' = f ' (x) g (x) + f (x) g' (x).

Правило №5: производная от дроби равна

Существует и так называемая сложная функция (композиция функции) вида f (g(x)). В данном случае f (x) считается внешней функцией, g (x) – внутренней.

Правило дифференцирования сложной функции

Производная сложной функции вычисляется по формуле:

[ f (g (x))]' = f ' (g (x)) g' (x).

Пример нахождения

Задача: продифференцировать (x+2)¹⁰. Обозначим её как u=x+2.

Решение: так как (x¹⁰)'=10x⁹,

то ((x+2) ¹⁰)'=(u¹⁰)'=10u⁹⋅u'=10(x+2) ⁹⋅1=10(x+2) ⁹.

Ответ: 10(x+2) ⁹.

Логарифмическая производная

Вычисляется по формуле:

Часто применяется для упрощения дифференцирования некоторых функций.

Пример поиска производной

Пусть y = y(x).

Для удобства прологарифмируем данную функцию:

ln y = ln y(x).

Теперь вычислим производную по правилу дифференцирования сложной функции:

Из этого следует, что

Тогда ответ:

Производная обратной функции

Общая формула:

Формулы и пример решения

Производные обратных тригонометрических функций:

Задача: продифференцировать y=x²-7lnx.

Решение: находим по формуле

отсюда

Производная функции, заданной параметрически

Пусть функция задана параметрическим уравнением:

Тогда производная равна:

Формулировка, решение примеров

Задача: продифференцировать функцию.

Решение: (при записи производной всегда необходимо писать t в нижнем индексе)

Подставляем в формулу:

Ответ:

В ответе составляется система, в которой кроме полученной производной необходимо писать х = t – 4.

Производная неявной функции

Если функция у = у(х) задана уравнением F (x; y(x)) = 0 то говорят, что она задана неявно.

Теоретическое обоснование

Для нахождения производной неявной функции нужно:

1. Продифференцировать обе части уравнения по независимой переменной х предполагая, что у – это дифференцируемая по х функция.
2. Решить полученное уравнение относительно производной у' (х).

Решение в примерах

Задача: решить функцию , заданную неявно:

Решение:

1) перенесём 3у -1 в левую часть и дифференцируем обе части равенства

Получим

Считая, что у – это функция от х, находим производную как от сложной функции:

Тогда

Для заданной функции имеем:

2) Решаем полученное уравнение относительно у':

Ответ:

Полная таблица производных

Приводим табличную форму, которая существенно облегчает вычисления:

Формул из этого списка достаточно для дифференцирования любой элементарной функции.

Решение элементарных производных, примеры

Задача№1: найти производную функции

Решение: данная функция является сложной, поэтому

Ответ:

Задача №2: найти производную функции 

Решение:

Ответ:

Изучение производных и интегралов занимает большое количество времени. ФениксХэлп может помочь вам в решении контрольных и самостоятельных работ по этой теме и многим другим.