Задачи по кинематике: основные понятия, вывод формул

Кинематика — это специальный раздел теоретической механики. Направление сформировалось несколько позднее, чем статика и динамика: во второй половине XIX столетия. Первые исследования в области кинематики были посвящены огнестрельному оружию. Ученые стремились понять процесс полета снаряда, производили расчет траектории его движения. В дальнейшем кинематика как научное направление получило широкое распространение и существенно повлияло на развитие технического прогресса.

Кинематика — описание

Механика представляет собой научную область физики, которой посвящены исследования механического движения тел. Основной целью данного направления служит определение точного положения тела в пространстве в любой момент времени. Важным понятием этого раздела является материальная точка в виде тела с определенной массой и размерами, которыми можно пренебречь для решения задачи при наличии следующих условий:

1. Путь, который преодолевает тело, существенно больше, чем его размеры.
2. Расстояние между телами значительно превышает их размеры.
3. Объект совершает поступательное движение.

Движение тела рассматривают в системе отсчета, состоящей из системы координат и прибора, измеряющего время. Траекторией называют линию, которую объект описывает, совершая движение. Путь является скалярной величиной, определяемой как длина траектории. Перемещением обозначают вектор, который соединяет начальное и конечное положение тела, преодолеваемое им в течение определенного промежутка времени.

Теория и формулы

Благодаря многолетним исследованиям в области кинематики ученым удалось вывести определенные закономерности движения тела. С помощью справедливых уравнений представляется возможным ответить на многие вопросы о разных характеристиках, которые изменяются либо остаются постоянными во время движения объектов.

Путь, время, скорость

Расстояние представляет собой удаленность одной точки положения тела от другой. Тело преодолевает путь, который представляет собой важную характеристику механического движения. Общепринятым обозначением пути является латинская буква s. Данный параметр измеряют метрами и километрами, если речь идет о больших расстояниях.

Скорость представляет собой путь, который тело преодолело в течение единицы времени. В качестве единицы времени часто используют 1 час, 1 минуту, 1 секунду. Для расчета скорости необходимо определить отношение пути к времени движения. В случае, когда в условиях задачи расстояние измеряется в метрах, а время пути — в секундах, то скорость следует рассчитывать в метрах в секунду (м/с). Для обозначения скорости используют латинскую букву \(v\).

Нередко требуется определить время пути. Данный параметр обозначают с помощью латинской буквы \(t\).

Важно отметить, что скорость, путь и время взаимосвязаны. При известных характеристиках скорости и времени можно определить расстояние, которое преодолело тело. Путь в данном случае равен произведению скорости и времени, рассчитывается по формуле:

\(s=v\times t\)

При известных величинах времени и расстояния достаточно просто определить скорость движения тела, руководствуясь следующим уравнением:

\(v=\frac{s}{t}\)

Равномерное движение

Скорость при равномерном движении определяется как отношение перемещения ко времени, в течение которого данное перемещение было совершено. Уравнение имеет следующий вид:

\(\vec{v}=\frac{\vec{s}}{t}\)

\(\vec{v}=const\)

Проекция вектора скорости на ось ОХ выглядит таким образом:

\(v_{x}=\frac{s_{x}}{t}\)

\(v_{x}=const\)

Если вектор скорости спроецировать на ось координат, то она будет равна быстроте изменения данной координаты:

\(v_{x}=\frac{x-x_{0}}{t}\)

Прямолинейное равноускоренное движение

Ускорение для прямолинейного равноускоренного движения обозначают следующим образом:

\(\vec{a}=const\)

При таком движении можно наблюдать увеличение или уменьшение скорости. Чтобы определить скорость, необходимо выполнить следующий расчет:

\(\vec{v}=\vec{v}_{0}+\vec{a}t\)

Если тело разгоняется в проекции оси ОХ, то скорость можно определить по формуле:

\(v_{x}=v_{0x}+a_{x}t\)

a>0, движение является равноускоренным.

Во время торможения в проекции на ось ОХ скорость рассчитывают следующим образом:

\(v_{x}=v_{0x}-a_{x}t\)

а<0, движение является равнозамедленным.

Графически зависимость ускорения от времени, то есть график ускорения во время равноускоренного движения тела, можно представить в виде:

График ускорения, характеризующий равноускоренное движение тела, представляет собой прямую, которая параллельна оси времени:

• график 1 находится над осью t, тело совершает разгон, ах>0;
• график 2 размещен под осью t, тело тормозит, ах<0.

Графически скорость или проекция скорости изображается в виде зависимости скорости от времени:

Графически скорость, характерная для равноускоренного движения тела, имеет вид прямой. График 1 направлен вверх, тело будет совершать равноускоренное движение в положительном направлении оси ОХ:

\(v_{0x}>0\)

\(a_x>0\)

\(a_{1x} = tg α \)

График 2 направлен вниз, тело будет двигаться равнозамедленно в положительном направлении оси ОХ:

\(v_{0x}>0\)

\(a_x<0\)

\(a_{2x} = tg α \)

График 3 направлен вниз, тело свершает равноускоренное движение против оси ОХ:

\(v_{0x}<0\)

\(a_x<0\)

Исходя из графика зависимости скорости от времени, определяют перемещение, которое тело преодолело в течение определенного промежутка времени \(t_2-t_1\). В этом случае целесообразно рассчитать площадь фигуры, расположенной под графиком. Формула для определения перемещения при равноускоренном движении имеет вид:

\(S_{x}=v_{0x}t+\frac{a_{x}t^{2}}{2}\)

\(S_{x}=\frac{v^{2}-v_{0}^{2}}{2a}\)

Перемещение в n-ую секунду во время равноускоренного движения можно определить по формуле:

\(S_{n}=\frac{a}{2}\left(2n-1 \right)\)

Определить координату тела, которое совершает равноускоренное движение, можно с помощью справедливого уравнения:

\(x=x_{0}+v_{0x}t+\frac{a_{x}t^{2}}{2}\)

Движение тела, брошенного вертикально вверх (вниз)

Во время падения тела вниз вектор его скорости направлен в ту же сторону, что и вектор ускорения свободного падения.

Формулы, описывающее это движения, имеют следующий вид:

\(\vec{v} ↑↑\vec{g}\)

\(h=v_{0}t+\frac{gt^{2}}{2}\)

\(v=v_{0}+gt\)

\(h=\frac{v^{2}-v_{0}^{2}}{2g}\)

В случае, когда тело падает вниз и его начальная скорость равна нулю, \(v_0=0\). Время падения при этом можно рассчитать по формуле:

\(t=\sqrt{\frac{2h_{0}}{g}}\)

\(h\) является начальной высотой.

Для брошенного вверх тела будут справедливы следующие равенства:

\(h=v_{0}t-\frac{gt^{2}}{2}\)

\(v=v_{0}-gt\)

\(h=\frac{v^{2}-v_{0}^{2}}{-2g}\)

В максимальной верхней точке тело, брошенное вверх, будет обладать нулевой скоростью, \(v=0\). Для расчета времени подъема можно воспользоваться формулой:

\(t=\frac{v_{0}}{g}\)

Свободно падающее тело

В условиях свободного падения ускорения тел с разной массой будут равны. Данный параметр называют ускорением свободного падения. Оно всегда направлено к центру нашей планеты, то есть вертикально вниз. Величина обозначается латинской буквой g, а единицами измерения являются м/с².

Движение по окружности с постоянной по модулю скоростью

Траектория такого движения будет представлена в виде окружности. Вектор скорости тела приобретает направление по касательной к окружности. Модуль скорости тела при изменении времени остается постоянным, а направление движения в каждой точке изменяется. Из этого можно сделать вывод, что движение по окружности представляет собой движение с ускорением. В свою очередь ускорение, изменяющее направление скорости, носит название центростремительного.

Центростремительное ускорение направлено по радиусу окружности к ее центру.

Центростремительное ускорение является характеристикой быстроты изменения направления вектора линейной скорости. Параметр обозначается, как ацс. Единицами измерения центростремительного ускорения служат м/с². Формула для расчета следующая:

\(а_{цс} = \frac{v^{2}}{R}\)

Движение тела по окружности при постоянной по модулю скорости называют периодическим движением. Таким образом, его координата будет повторяться через одинаковые периоды времени. Периодом называют время, в течение которого тело совершает один полный оборот. Обозначается величина как Т. Единицами измерения периода являются секунды, с. Для расчета справедливо равенство:

\(T=\frac{t}{N}\)

\(N\) является количеством оборотов, \(t\) — временем, за которое тело совершает обороты.

Частота вращения представляет собой количество оборотов за единицу времени. Обозначается параметр в виде латинской буквы \(ν\). Единицами измерения являются \(с^{-1}\) (Гц).

\(\nu=\frac{N}{t}\)

Период и частота являются взаимно обратными величинами:

\(T=\frac{1}{\nu}\)

\(\nu =\frac{1}{T}\)

Линейная скорость представляет собой скорость движения тела по окружности. Параметр обозначают латинской буквой v, единицами измерения являются м/с. Линейная скорость направлена по касательной к окружности и рассчитывается по формуле:

\(v=\frac{2\pi \times R}{T}\)

\(R\) является радиусом окружности.

Угловой скоростью называют физическую величину, которая определяется как отношение угла поворота и времени, за которое тело совершает этот поворот. Обозначают параметр как ω. Единицами измерения угловой скорости являются рад/с. Угловая скорость определяется по формуле:

\(\omega =\frac{\varphi }{t}\)

\(\varphi\) представляет собой угол поворота.

Направление угловой скорости определяют с помощью правила правого винта или буравчика. В случае, когда вращательное движение винта соотносится с направлением движения тела по окружности, то поступательное движение винта и направление угловой скорости совпадают. Связь параметров движения тела по окружности представлена следующими формулами:

\(v=\omega R\)

\(\omega =\frac{v}{R}\)

\(a_{сц} = \omega ^{2}R\)

\(\omega = \frac{2\pi }{T}\)

\(\omega = 2\pi v\)

Во время равномерного движения тела по окружности точки, расположенные на радиусе, перемещаются с равной угловой скоростью, так как радиус за одно и то же время поворачивается на одинаковый угол. В это время линейная скорость разных точек радиуса отличается в зависимости от того, насколько близко или далеко от центра они размещены:

\(v_{1}=\omega r\)

\(v_{2}=\omega R\)

\(\frac{v_{1}}{v_{2}}=\frac{r}{R}\)

При рассмотрении равномерного движения двух соединенных тел можно наблюдать отсутствие отличий в линейных скоростях, но при этом угловые скорости тел будут различны в зависимости от радиуса тела:

\(\omega _{1}=\frac{v}{R_{1}}\)

\(\omega _{2}=\frac{v}{R_{2}}\)

\(\frac{\omega _{1}}{\omega _{2}}=\frac{R_{1}}{R_{2}}\)

Движение тела, брошенного под углом к горизонту

Движение тела, которое бросили под углом к горизонту, можно представить в виде суперпозиции двух движений:

1. Равномерного горизонтального перемещения.
2. Равноускоренного движения вертикально при ускорении свободного падения.

Формула скорости будет иметь следующий вид:

\(v_{0x}=v_{x}=v_{0} \cos \alpha =const\)

\(v_{0y}=v_{0}\sin \alpha\)

\(v_{y}=v_{0}\sin \alpha-gt\)

Уравнение координаты обладает следующим видом:

\(x=v_{0}\cos \alpha \times t\)

\(y=v_{0}\sin \alpha \times t-\frac{gt^{2}}{2}\)

Скорость тела в любое время будет равна:

\(v=\sqrt{v_{x}^{2}+v_{y}^{2}}\)

Найти угол между вектором скорости и осью ОХ можно по формуле:

\(\tan \beta =\frac{v_{y}}{v_{x}}=\frac{v_{0}\sin \alpha -gt}{v_{0}\cos \alpha }\)

Время подъема на максимальную высоту равно:

\(t=\frac{v_{0}\sin \alpha }{g}\)

Максимальную высоту подъема можно рассчитать с помощью формулы:

\(h_{max}=\frac{v_{0}^{2}\sin ^{2}\alpha}{2g}\)

Время полета соответствует уравнению:

\(t=\frac{2v_{0}\sin \alpha }{g}\)

Максимальную дальность полета можно рассчитать по формуле:

\(L_{max}=\frac{v_{0}^{2}\sin 2\alpha }{g}\)

Движение тела, брошенного горизонтально

Движение тела, которое бросили горизонтально, представлено в виде суперпозиции двух движений:

1. Равномерное горизонтальное движение со скоростью v0=v0x.
2. Равноускоренное вертикальное движение при ускорении свободного падения g с нулевой начальной скоростью.

Уравнение скорости:

\(v_{x}=v_{0x}=const\)

\(v_{y}=g_{y}t=-gt\)

Уравнение координаты:

\(x=v_{0x}t=v_{x}t\)

\(y=\frac{g_{y}t^{2}}{2}=h_{0}-\frac{gt^{2}}{2}\)

Скорость тела в любое время будет определяться по формуле:

\(v=\sqrt{v_{x}^{2}+v_{y}^{2}}\)

Дальность полета тела соответствует уравнению:

\(l=v_{0x}t=v_{0x}\sqrt{\frac{2h_{0}}{g}}\)

Вычислить угол между вектором скорости и осью ОХ можно с помощью формулы:

\(\tan \beta =\frac{v_{y}}{v_{x}}=\frac{-gt}{v_{0x}}\)

Задачи по кинематике, их решение

Задача 1

Рассмотрим путь велосипедиста из одного населенного пункта в другой. Половина расстояния была преодолена со скоростью 12 км/ч (\(v_1\)). Далее половину оставшегося времени он ехал со скоростью 6 км/ч (\(v_2\)). Остаток расстояния путник преодолел пешком со скоростью 4км/ч (\(v_3\)). Необходимо рассчитать среднюю скорость на всем пути следования велосипедиста.

Решение

Данный пример относится к теме равномерного прямолинейного движения одного тела. Процесс можно изобразить схематично:

\(S = S_1 + S_2 + S_3\)

\(t = t_1 + t_2 + t_3\)

На каждый отрезок пути необходимо составить уравнение движения:

\(S_1 = v_1t_1\)

\(S_2 = v_2t_2\)

\(S_3 = v_3t_3\)

Далее можно представить дополнительные условия задачи:

\(S_1 = S_2 + S_3\)

\(t_2 = t_3\)

\(v_{sr}=\frac{S}{t}=\frac{S_{1}+S_{2}+S_{3}}{t_{1}+t_{2}+t_{3}}\)

Следует преобразить формулу и подставить числовые значения:

\(v_{sr}=\frac{2S_{1}}{\frac{S_{1}}{v_{1}}+\frac{2S_{1}}{v_{2}+v_{3}}}=\frac{2v_{1}\left(v_{2}+v_{3} \right)}{2v_{1}+v_{2}+v_{3}}\)

\(v_{sr}=\frac{2\times 12\left(6+4 \right)}{2\times 12+6+4}=7\)

Ответ: средняя скорость составляет \(7\) км/ч.

Задача 2

Тело подбросили вертикально вверх. Начальная скорость при этом составила 3,13 м/с (\(v_0\)). В момент, когда данное тело достигло максимальную высоту полета, из начального пункта подбросили второе тело с такой же начальной скоростью, как у первого. Необходимо определить на каком расстоянии от точки бросания встретятся тела. Сопротивлением воздуха при решении можно не учитывать.

Решение

Схематично перемещение тел можно представить следующим образом:

Формула, описывающая движение тела, которое подбросили вверх, необходима для вычисления координаты движущегося тела в любое время. Для первого тела справедливо уравнение:

\(h=v_{0}t_{1}-\frac{gt_{1}^{2}}{2}\)

Для второго тела можно представить следующую формулу:

\(h=v_{0}t_{2}-\frac{gt_{2}^{2}}{2}\)

Следующую формулу можно составить на основании условия задачи, в котором указано, что  второе тело бросили позднее первого на время максимального подъема:

\(t_{1}-t_{2}=\frac{v_{0}}{g}\)

Объединяя уравнения в систему из трех формул относительно величины \(h\) получим:

\(h=\frac{3}{4}\frac{v_{0}^{2}}{2g}\)

\(h=\frac{3}{4}\frac{3.13^{2}}{2*9.8}=0.37\)

Ответ: тела встретятся на высоте \(0,37\) м.

Задача 3

Камень, находясь в свободном падении, вторую часть пути преодолел за 1 секунду. Необходимо вычислить высоту \(h\), с которой упал камень.

Решение

Ось Y системы координат, в которых падает камень, направлена вертикально вниз. В качестве начала координат можно принять точку, из которой камень упал. Закон перемещения данного тела в проекции на ось будет обладать следующим видом:

\(h=v_{0}t+\frac{gt^{2}}{2}\)

\(h=\frac{gt^{2}}{2}\)

\(v=v_{0}t+gt\)

\(v=gt\)

Время падения камня рассчитывается по формуле:

\(t=\sqrt{\frac{2h}{g}}\)

Для середины пути, который преодолел камень, справедливы уравнения:

\(\frac{h}{2}=\frac{gt_{1}^{2}}{2}\)

\(t_{1}=\sqrt{\frac{h}{g}}\)

Время \(t_2\), которое потребовалось телу на преодоление второй половины пути, указанное в условии задачи, рассчитывается по формуле:

\(t_{2}=t-t_{1}=\sqrt{\frac{2h}{g}}-\sqrt{\frac{h}{g}}\)

\(t_{2}^{2}=\frac{h}{g}\left(\sqrt{2} -1\right)^{2}\)

Исходя из данного уравнения, можно вычислить высоту:

\(t_{2}^{2}=\frac{h}{g}\left(\sqrt{2} -1\right)^{2}\)

\(h=\frac{t_{2}^{2}g}{\left(\sqrt{2}-1 \right)^{2}}=\frac{9,81}{0,17}=57,7\)

Ответ: камень упал с высоты \(57,7\) м.

Решение задач по кинематике основано на простых формулах. Успешность результата зависит от умения грамотно применять справедливые уравнения в том или ином случае. Бывают ситуации, когда в процессе изучения физики возникают некоторые трудности. Простым решением будет обратиться к порталу Феникс.Хелп.