Правила решения интегралов для студентов

Интеграл является одним из наиболее важных понятий в математическом анализе. Его применяют в алгебре для расчета площади под кривой, преодоленного пути в процессе неравномерного движения, массы, которой обладает неоднородное тело и решения других подобных задач. С помощью интеграла вычисляют функцию по известной производной.

Интегралы для чайников — базовые понятия

Понятие интеграла в теории основано на нахождении непрерывной функции. Для начала следует ознакомиться с этим термином.

Процедура поиска первообразной функции f(х) представляет собой операцию интегрирования в определенном порядке.

Неопределенный интеграл

В легком виде формулу для расчета неопределенного интеграла можно записать в такой форме:

\(\int f(x)dx=F(x)+C\), где

• f(x) является подынтегральной функцией;
• F(x) представляет собой первообразную функцию функции f(x);
• dx определяется дифференциалом;
• C является численной константой интегрирования.

В неопределенный интеграл включен спектр первообразных, так как имеется постоянная интегрирования. Дифференциалом называют произвольное, бесконечно малое приращение переменной величины. Среди основных свойств неопределенного интеграла можно отметить такие пояснения:

Табличная форма неопределенных интегралов в виде \(\int f(x)dx=F(x)+C\) имеет вид:

Определенный интеграл

В общем виде определенный интеграл можно записать таким образом:

\(\int_{a}^{b}{} f(x)dx\), где

• f(x) представляет собой подынтегральную функцию;
• a и b являются пределами интегрирования;
• dx соответствует дифференциалу.

Вычислить определенный интеграл можно с помощью уравнения Ньютона-Лейбница:

Свойства определенных интегралов:

• если определенный интеграл обладает одинаковыми пределами интегрирования, то его значение соответствует нулю;
• значение определенного интеграла является независимой от обозначения переменной интегрирования величиной;
• постоянный множитель допустимо выносить за знак определенного интеграла;
• определенный интеграл в случае алгебраической суммы конечного числа функций рассчитывается как алгебраическая сумма определенных интегралов;
• при разбивке отрезка интегрирования на части определенный интеграл в отношении всего отрезка соответствует сумме определенных интегралов его частей;
• перестановка пределов интегрирования не меняет абсолютную величину определенного интеграла, а изменяет его знак;
• определенный интеграл рассчитывается как произведение длины отрезка интегрирования и значения подынтегральной функции в какой-то точке х0 внутри него;
• в том случае, если верхний предел интегрирования больше, чем нижний, и подынтегральная функция соответствует неотрицательному или положительному значению, определенному интегралу будет соответствовать неотрицательная или положительная величина;
• когда верхний предел интегрирования больше, чем нижний, и функции f(х) и g(х) не прерываются, то допустимо почленно интегрировать неравенство f(x) >=g(x).

Таблица интегралов для студентов (основные формулы)

Существует несколько основных приемов решения задач с интегралами. Процесс заключается в интегрировании функции по переменной. В том случае, если интеграл обладает табличным видом, то проблем с поиском его значения не возникнет. Когда форма записи интеграла отлична от табличной, решение сводится к приведению интеграла к табличному виду.

Таблица первообразных для решения интегралов имеет следующий вид:

В первую очередь необходимо ознакомиться с основными свойствами интегралов:

С помощью данных понятий можно решать несложные интегралы. Но в большинстве случаев встречаются задачи с непростыми интегралами, для работы с которыми требуется прибегнуть к дополнительным приемам.

Правила вычисления интегралов, примеры решения

Специальные методики позволяют рассчитывать большую часть интегралов. Основными приемами для поиска решений являются:

1. Замена переменной с применением навыков нахождения производных.

2. Интегрирование по частям с помощью формулы: \(\int udv=uv-\int vdu\).
3. Интегрирование дробно-рациональных функций:

• разложением дроби на простейшие \(\int F_{n}(x)/G_{m}(x)dx\);
• выделением полного квадрата \(\int dx/(ax^{2}+bx+c)\);
• созданием в числителе дифференциала знаменателя \(\int (mx+n)dx/(ax^{2}+bx+c)\).

4. Интегрирование дробно-иррациональных функций:

• выделением под корнем полного квадрата \(\int dx/(\sqrt{ax^{2}+bx+c})\);
• созданием в числителе дифференциала подкоренного выражения \(\int (mx+n)dx/(\sqrt{ax^{2}+bx+c})\).

5. Интегрирование тригонометрических функций:

• с помощью формул разложения для произведения \(\int \sin \alpha x*\cos \beta xdx\);
• с помощью создания \(d(cos x)\) при m-нечетном, n-любом для выражений вида \(\int \sin^{n}x*\cos^{m} xdx\) применимо тождество \(\sin^{2}+\cos^{2}=1\), где m, n являются четными, \(\sin^{2}x=(1-\cos^{2}x)/2$$ и $$ \cos^{2}x=(1+\cos^{2}x)/2\);

6. Применение свойства \(\tan ^{2}x=1/\cos ^{2}x-1\) для выражения в виде \(\int tan^{n}xdx\).

Решать интегралы целесообразно с помощью данного алгоритма:

1. Вникнуть в суть интегралов, включая базовые понятия и методы решения. Интеграл представляет собой сумму элементарных частей объекта интегрирования. В том случае, когда рассматривается интегрирование функции, следует идентифицировать интеграл как площадь фигуры между графиком функции, осью х и границами интегрирования. При неопределенном интеграле, то есть неизвестных границах интегрирования, решать задачу необходимо с помощью нахождения первообразной. В случае определенного интеграла в найденную функцию подставляют значения границ.
2. Научиться пользоваться таблицей первообразных и основными свойствами интегралов. Множество функций уже определены первообразными, которые отмечены в таблице. Для интегралов, которые занесены в табличную форму, уже имеется готовое решение.
3. Освоение способов и приобретение навыков решения интегралов. В том случае, когда в задаче имеется интеграл, не соответствующий табличной форме, его необходимо привести к этому виду. Данная операция выполняется с помощью применения основных свойств интегралов и приемов по их решению.

Примеры решения интегралов:

Задача 1

Требуется решить интеграл:

\(\int (x^{5}+\frac{1}{\sqrt{x}})dx\)

Решение

Заметим, что по условию интеграл — неопределенный. Сначала необходимо найти первообразную. Для этого интеграл суммы можно разложить на сумму интегралов:

\(\int x^{5}dx+\frac{1}{\sqrt{x}}dx\)

Таким образом, каждый из интегралов преобразован в табличный вид. Решение можно найти с помощью таблицы:

\(\frac{x^{6}}{6}+2\sqrt{x}+С\)

Выполним проверку решения с помощью поиска производной:

\((\frac{x^{6}}{6}+2\sqrt{x})^{,}=x^{2}+\frac{1}{\sqrt{x}}\)

Ответ: \(\frac{x^{6}}{6}+2\sqrt{x}+С\)

Задача 2

Требуется решить интеграл:

\(\int \sqrt[5]{(x+5)}\)

Решение

Имеется неопределенный интеграл. Для начала необходимо найти первообразную. При сравнении с таблицей выяснилось, что подобное решение отсутствует. Способ разложения, исходя из свойств интеграла, не применим в данном случае. Следует обратиться к приемам. В этом случае целесообразно воспользоваться заменой переменной. Таким образом, выполним замену выражения \(х+5\) на \(t^{5}\).

\(t^{5}=x+5\)

После преобразований получим \(\int tdx.\)

Выражение dx также требуется заменить на t. В таком случае:

\(x=t^{5}-5\)

\(dx=(t^{5}-5)^{,}=5t^{4}\)

Выполним подстановку значений:

\(5\int t^{4}*tdt=5\int t^{5}dt\)

Интеграл соответствует табличной форме. Его можно посчитать \(\frac{5t^{6}}{6}\).

Далее необходимо заменить t на выражение \(\sqrt[5]{(x+5)}\).

Таким образом:

\(\int \sqrt[5]{(x+5)}=5/6\sqrt[5]{(x+5)^{6}}\)

Ответ: \(\int \sqrt[5]{(x+5)}=5/6\sqrt[5]{(x+5)^{6}}.\)

Задача 3

Необходимо найти решение интеграла:

\(\int \frac{dx}{\sqrt{4x^{2}+4x+5}}\)

Решение

В рамках данной задачи целесообразно выделить полный квадрат:

\(4x^{2}+4x+5=4x^{2}+4x+1+4=(2x+1)^{2}+1\)

\(\int \frac{dx}{\sqrt{4x^{2}+4x+5}}=\int \frac{dx}{\sqrt{(2x+1)^{2}+1}}=\frac{1}{2}\int \frac{d(2x+1}{\sqrt{(2x+1)^{2}+1}}\)

Результат преобразований соответствует табличному виду. Можно найти первообразную:

\(\int \frac{dx}{\sqrt{x^{2}+a^{2}}}=\ln \left|x+\sqrt{x^{2}+a^{2}} \right|+C\)

\(\int \frac{dx}{\sqrt{4x^{2}+4x+5}}=\ln \left|2x+1+\sqrt{(2x+2)^{2}+1} \right|+C\)

\((2x+1)^{2}+1=4x^{2}+4x+1\)

В результате получим:

\(\int \frac{dx}{\sqrt{4x^{2}+4x+5}}=\ln \left|2x+1+\sqrt{4x^{2}+4x+1} \right|+C\)

Ответ: \(\int \frac{dx}{\sqrt{4x^{2}+4x+5}}=\ln \left|2x+1+\sqrt{4x^{2}+4x+1} \right|+C\)

Математический анализ — достаточно сложная дисциплина. Одной из главных тем является решение интегралов. С подобными задачами часто сталкиваются учащиеся профильных вузов. Если в процессе обучения студент испытывает какие-либо трудности, правильное решение — обратиться к сервису Феникс.Хелп.