Решение системы уравнений методом Крамера

С помощью метода Крамера решают системы линейных алгебраических уравнений или СЛАУ. Освоить данный способ – значит, существенно упростить определение ответов многих задач по математическому анализу и другим дисциплинам. Однако правило справедливо не во всех случаях, а применимо лишь в тех примерах, где число неизвестных и уравнений в системе одинаковое. Рассмотрим подробнее описание данного метода.

Метод Крамера — в чем заключается, суть для чайников

Габриель Крамер был великим математиком. Еще в детстве он отличался уникальными интеллектуальными способностями.

С двадцати лет Крамер преподавал в университете Женевы. Путешествуя по Европе, Габриель повстречался с другим ученым, Иоганном Бернулли, который в дальнейшем стал его наставником. Благодаря плодотворному сотрудничеству с Бернулли, Крамер опубликовал множество трудов по геометрии, математике и философии.

Свободное время ученый посвящал углубленному изучению математических теорий. В результате трудоемких исследований Габриелю удалось изобрести собственный способ решения систем линейных уравнений любой сложности.

Методика великого ученого применима в тех случаях, когда пример состоит из систем линейных уравнений, в которых их количество соответствует числу неизвестных, а определитель не равен нулю.

В том случае, когда для любой крамеровской системы уравнений n*m можно подобрать единственное решение (Х₁, Х₂, … Х_n), справедлива формула:

\(x_{i}=\frac{\Delta _{i}}{\Delta }\)

где \(\Delta _{i}\) является определителем матрицы, которая получена на основе основной матрицы А с помощью замены i-го столбца на столбец со свободными членами системы;

\(\Delta\) представляет собой определитель матрицы.

Таким образом, записывают формулу Крамера.

Теоремы замещения и аннулирования

Перед решением системы линейных уравнений необходимо изучить две важные закономерности. К ним относят:

• теорему аннулирования;
• теорему замещения.

Теорема замещения

К примеру, можно записать справедливое равенство:

\(b_{1}A_{11}+b_{2}A_{21}+b_{3}A_{32}=\begin{vmatrix} b_{1}&a_{12}&a_{13}\\b_{2}&a_{22}&a_{23}\\b_{3}&a_{32}&a_{33} \end{vmatrix}\)

где A₁₁, А₂₁, А₃₁ являются алгебраическими дополнениями для компонентов а₁₁, а₂₁, а₃₁ первого столбца первоначального определителя:

\(\Delta =\begin{vmatrix} a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33} \end{vmatrix}\)

Теорема аннулирования

В качестве примера можно записать справедливое равенство:

\(a_{12}A_{11}+a_{22}A_{21}+a_{32}A_{31}=0\)

Применение метода Крамера для решения систем линейных уравнений (СЛАУ)

Данная методика актуальна для поиска ответа на задачи, которые содержат системы линейных уравнений. Метод Крамера позволяет найти решение систем с числом строк, равных количеству неизвестных. Таким образом, решают квадратные системы уравнений. В процессе необходимо вычислить определители матрицы, включая основные и дополнительные, которые получены с помощью замещения одного из столбца главного определителя на столбец, состоящий из свободных членов системы алгебраических уравнений. Наглядно ознакомиться с алгоритмом можно на примере задачи.

Требуется решить с помощью метода Крамера СЛАУ:

\(\begin{cases} a_{11}x_1+a_{12}x_2+a_{13}x_3 = b_1\\a_{21}x_1+a_{22}x_2+a_{23}x_3 = b_2\\a_{31}x_1+a_{32}x_2+a_{33}x_3=b_3 \end{cases}\)

Определим неизвестные \(\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3 \end{pmatrix}\)Порядок действий простой. Необходимо составить из системы матрицу:

\( A = \begin{pmatrix} a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33} \end{pmatrix}\)

А также следует записать столбец, состоящий из свободных членов:

\(B = \begin{pmatrix} b_1\\b_2\\b_3 \end{pmatrix}\)

Затем нужно рассчитать главный определитель матрицы:

\(\Delta = |A|\)

Кроме того, требуется записать дополнительные определители \(\Delta_i\)

Дополнительные определители получают на основе главного определителя с помощью замены столбцов по очереди на столбец, в котором записаны свободные члены:

\(\begin{pmatrix}b_1\\b_2\\b_3 \end{pmatrix}\)

Бывает, что при расчетах получается \(\Delta = 0\). В таком случае метод Крамера не применим для решения системы.

По итогам расчетов с помощью формулы Крамера можно сделать вывод неизвестных для системы линейных уравнений, что является ответом к задаче:

\(x_1 = \frac{\Delta_1}{\Delta}, x_2 = \frac{\Delta_2}{\Delta}, x_3 = \frac{\Delta_3}{\Delta}\)

Порядок решения однородной системы уравнений

Метод Крамера – удобный способ решения систем линейных уравнений. Однако однородные системы являются отдельным случаем. Рассмотрим пример:

\(\begin{cases} a_{11}x+a_{12}y+a_{13}z = 0\\a_{21}x+a_{22}y+a_{23}z = 0\\a_{31}x+a_{32}y+a_{33}z=0 \end{cases}\)

Решениями системы однородного типа могут являться:

• нулевые решения x = y = z =0;
• решения, которые не равны нулю.

Метод Крамера позволяет достаточно просто решать системы линейных уравнений. Главное, соблюдать условия применения данного правила. В результате многие задачи из математического анализа станут намного проще. Если при освоении этой и других тем возникают трудности, выход есть. На сервисе Феникс.Хелп каждый учащийся получит квалифицированную помощь.