Закон всемирного тяготения: 4 задачи с решением и ответами

Прошло уже более 300 лет с того времени, как Исаак Ньютон сформулировал этот фундаментальный закон природы. И все эти годы учащиеся разных стран постигали его глубину, упражняясь в решении задач. Предлагаем вашему вниманию 4 примера задач на закон всемирного тяготения.

Задача 1. Расчет расстояния между телами

В разных концах городской площади стоят 2 памятника из гранита. Известно, что масса каждого из них равна 20 тоннам. Также известна сила, с которой они притягиваются друг к другу F = 6,67 •10^-5 Н. Найдите расстояние между памятниками.

Решение:

Перед нами классическая задача на применение закона тяготения:

1. Даны 2 материальных тела. 
2. Известна сила, с которой они притягиваются друг к другу. 
3. Также известны массы этих тел.

Запишем формулу для вычисления силы:

Преобразуем эту формулу, чтобы найти расстояние между телами:

Подставим числовые значения и получим результат:

Ответ: 20 метров.

Задача 2. Расчет величины ускорения свободного падения на Юпитере

Нужно рассчитать, каково будет ускорение свободного падения на планете Юпитер, если:

1. Масса Юпитера равна 1,9 •10²⁷ кг.
2. Радиус Юпитера равен 6,9 •10⁷ м.

Решение:

Величина ускорения свободного падения зависит от массы и радиуса планеты, на которой идут измерения. Если тело поднимается над поверхностью, то величина ускорения свободного падения уменьшается. Для каждой планеты она будет различной.

Формула закона всемирного тяготения приведена в первой задаче. С другой стороны, силу тяготения, действующую на какое-либо тело на выбранной планете, мы можем найти благодаря второму закону Ньютона:

Запишем данный факт в виде:

Сократим в левой и правой части m₂ и получим:

Так выглядит формула для расчета ускорения свободного падения на рассматриваемой планете.

Подставим числовые значения и получим результат:

Ответ: 24,79  м/с2.

Задача 3. Первая космическая скорость для Марса

Нужно найти первую космическую скорость для Марса, если:

1. Масса Марса равна 6,4 •10²³ кг.
2. Радиус Марса равен 3,4 •10⁶ м.

Решение:

Если тело будет подниматься над поверхностью планеты и достигнет при этом первой космической скорости, то оно будет испытывать силу притяжения этой планеты, двигаться по орбите вокруг нее и не сможет улететь с этой орбиты, но и не упадет обратно на её поверхность. Такое тело становится спутником планеты. Чтобы тело смогло преодолеть силу притяжения планеты и улететь в межзвездное пространство, ему необходимо набрать более высокую скорость, называемую второй космической скоростью. Для планеты Земля значение первой космической скорости равно 7,91 км/с, а значение второй — 11,2 м/с.

Найдем значение первой космической скорости для Марса по формуле:

Подставим числовые значения и получим результат: 

Ответ: 3,6 м/с.

Задача 4. Изменение ускорения свободного падения (УСП) в зависимости от высоты над поверхностью

Самолет поднимается на 6 км. На сколько изменится при этом величина УСП для тел, находящихся в самолете? Радиус Земли равен 6,371 •10³ м, а УСП на уровне поверхности принять равным 9,81 м/с².

Решение:

Как известно, УСП уменьшается по мере подъема над поверхностью планеты. И постепенно становится неизмеримо малым. Вычислить УСП на разных высотах поможет формула закона всемирного тяготения. Запишем эту формулу для двух случаев. 

Первый случай — на уровне поверхности планеты с учетом второго закона Ньютона:

Второй случай — над поверхностью планеты на высоте «h»:

Где g₁ — ускорение свободного падения над поверхностью планеты на высоте «h», м/с².

Отсюда мы можем записать отношение:

Подставим числовые значения и получим результат:

То есть, величина УСП на высоте 6 км будет в 1,002 раза меньше, чем над поверхностью.

Тогда величина ускорения свободного падения на высоте 6 км будет равна:

Найдем разность ускорений свободного падения на разных высотах:

g₀ – g₁ = 9,81 – 9,79 = 0,02 м/с².

Ответ: на высоте 6 км величина ускорения свободного падения уменьшится на 0,02 м/с².

Наш разбор типовых задач на закон всемирного тяготения подошел к концу. Если ваше задание не подходит ни под один из примеров, рекомендуем обратиться к специалистам ФениксХелп: они найдут решение и с радостью помогут справиться с любой учебной работой.