Формулировка закона Бернулли и его математическое выражение

Принцип Бернулли заложил основы знания о движении жидкости, которое впоследствии перешло в самостоятельную науку — гидродинамику.

Физическая сущность закона Бернулли

Швейцарский математик и физик Даниил Бернулли родился в 1716 году в Голландии. За свою научную карьеру он получил звания Почетного члена Берлинской, Петербургской и Парижской академии наук, являлся членом Лондонского королевского общества. Главным научным трудом ученого является работа «Гидродинамика, или изъяснение сил и движений жидкости», опубликованная в 1733 году. Именно в этой книге были описаны физические основы механики жидкости.

Для начала определим, что закон Бернулли рассматривает движение потока несжимаемой идеальной жидкости, на которую действуют только силы тяжести и силы упругости.

Подобная идеализация применяется при рассмотрении течения в гидродинамике. В законе Бернулли рассматривается стационарное течение жидкости — это движение слоев жидкости относительно друг друга и относительно ее самой, при котором скорость потока в некой конкретной точке не меняется, сохраняя свое постоянное значение. Давление при стационарном течении идеальной жидкости одинаково во всех поперечных сечениях трубки тока.

Для наглядности рассмотрим стационарное течение идеальной жидкости по трубе переменного сечения. В одном месте сечение этой трубки равно S1, а в другом — S2. При стационарном потоке через все сечения за определенный промежуток времени пройдет одинаковый объем жидкости, так как в ином случае, невозможность сжатия привела бы к ее разрыву. Таким образом, мы получаем уравнение неразрывности струи, определяющее соотношение между скоростью течения (v) и площадью сечения (S): S1v1=S2v2

При этом давление в сечении S1 меньше, чем в сечении S2. Как вы думаете, в каком из сечений скорость течения жидкости будет больше? Казалось бы, что по логике, скорость должна увеличиваться в том месте, где больше давление. Однако, согласно закону Бернулли, скорость увеличивается с уменьшением площади сечения. В этом-то и состоит парадоксальность принципа.

Чтобы убедиться в этом, достаточно провести небольшой опыт из подручных средств. Возьмите два шара одного размера и подвесьте их так, чтобы между ними сохранялось небольшое расстояние. Подуйте между шарами или пустите воздух из фена. Шары вместо того, чтобы отдалиться, притянутся друг к другу. Это прямое следствие описанного закона, так как в том месте, куда вы дули, давление стало уменьшаться, а скорость шаров возросла, приблизив их друг к другу.

Закон Бернулли как следствие закона сохранения энергии

Из уравнения неразрывности следует, что в идеальной жидкости сумма статистического и динамического давлений и скоростного напора постоянна в любом сечении вдоль трубы. Являясь следствием закона сохранения, вывод уравнение Бернулли для элементарной струйки жидкости выглядит так:

\(\tfrac{\rho v^2}{2} + \rho g h + p = \mathrm{const}\),

где \(~\rho\) — плотность жидкости, \(~v\) — скорость потока, \(~h\) — высота, на которой находится рассматриваемый элемент жидкости, \(~p\) — давление в точке пространства, где расположен центр массы рассматриваемого элемента жидкости, \(~g\) — ускорение свободного падения.

При этом давление P — это статическое давление, которое получается в результате взаимодействия соседних слоев жидкости. Величина ρv2/2 — это динамическое давление, обусловленное движением жидкости, а ρgh — это давление, образованное массой вертикального столба жидкости высотой h, создаваемое силой тяжести.

Все эти величины имеют специальные обозначения, где h — высота положения или геометрический напор, P / ρ∙g — пьезометрический напор, v2 / 2g — скоростной напор.

Сумма трех слагаемых уравнения называется полным напором (H), то есть для идеальной жидкости при стационарном течении сумма трех напоров: геометрического, пьезометрического и скоростного есть величина постоянная вдоль струйки.

Для трубы, расположенной горизонтально, где величина высоты остается неизменной, уравнение Бернулли упрощается и выглядит так:

\({\textstyle\frac{\rho v^2}2}+p=\mathrm{const}\)

Проявление закона Бернулли в жизни

Закон Бернулли описывает одно из основных свойств гидравлики. Эффект, описанный швейцарским ученым, широко проявляется в природе и быту. Также широко его применение в технике. На основе принципа Бернулли работают такие приборы, как пульверизатор, водоструйный насос, аэрограф.

Чтобы понять механизм устройства, рассмотрим строение пульверизатора, которое включает в себя вертикальную трубку и горизонтальное сопло. Вертикальную трубку опускают в жидкость, в то время как по соплу пропускают воздух. Атмосферное давление, которое больше давления в струе воздуха, заставляет жидкость подниматься по трубке. Следовательно, при попадании в струю воздуха, происходит распределение жидкости.

В повседневной жизни закон Бернулли можно наблюдать, сидя у камина. При сильном ветре скорость воздушного потока возрастает, и, соответственно, падает давление. И так как давление воздуха в комнате выше, пламя, уходит вверх по дымоходу.

Это свойство используется и в аэродинамике для объяснения того, как возникает подъемная сила самолета или другого летательного аппарата, которое тяжелее воздуха.

В истории имеются и случаи отрицательного проявления закона. В 1912 году произошло столкновение океанского парохода «Олимпик» с гораздо меньшим по масштабам крейсером «Гаук», который плыл параллельно пароходу на расстоянии около 100 метров. Вдруг «Гаук» резко двинулся прямо на «Олимпик» и протаранил его силой удара. Так как два корабля были друг к другу слишком близко, скорость воды между ними стала больше, чем с другой стороны, вызвав дополнительную силу. Следовательно, вместо того, чтобы отдалиться, корабли притянулись друг к другу, что и стало причиной катастрофы.

В природе закон Бернулли проявляется во время урагана, когда из-за сильного ветра с домов слетают крыши. Это происходит, потому что скорость, с которой движется воздух вверху, очень большая, тогда как на чердаке она равна нулю. Как вы уже узнаете, там, где скорость потока больше, давление меньше, а там, где скорость меньше, давление больше. В результате образовавшейся разности давлений ураган и срывает кровлю.

Существует еще большое количество интересных примеров, изучение которых во многом упрощает усвоение закона Бернулли. Если вам нужно определить проявление закона в каком-то конкретном явление, обращайтесь к специалистам сервиса Феникс.Хелп, которые помогут решить задачу любой сложности.