Математика в искусстве: музыка

Мы уже писали о том, как математика связана с живописью и кинематографом. На этот раз узнаем, как иррациональный математический мир нашел отражение, пожалуй, в самом эмоциональном виде искусства — музыке.

Консонансы и диссонансы

Музыка сопровождала ритуалы и мистерии разных древних народов. Но впервые мысль о том, почему одни созвучия гармоничны, а другие режут слух, пришла к Пифагору (6 в. до н.э.). Древнегреческий математик пытался изучить этот вопрос, используя монохорд. Собственноручно изобретенный двухструнный инструмент позволял соотносить определенные музыкальные интервалы с числами. И в ходе своих исследований Пифагор заключил: звучание имеет числовое выражение.

Пифагор разделил созвучия на консонансы и диссонансы. Консонансы звучат гармонично и слаженно, а диссонансы — колко и незавершенно. Первые выражаются упрощенным отношением чисел (чистая октава — 1/2, чистая квинта — 2/3, чистая кварта — 3/4), вторые — более сложным (большая септима — 8/15, малая секунда — 15/16).

Долгое время диссонансы, как нечто неблагозвучное, оставались «на скамейке запасных». Но в Средние века теоретики «реабилитировали» их и сделали самодостаточными. Это кардинально повлияло на то, как зазвучала музыка в 20 веке.

Звукоряд

Теперь музыковеды, зная о том, что звуки способны складываться в интервалы, попытались их привести в систему. Это привело к появлению терминов звукоряд (ряд звуков, расположенных от нисходящих до восходящих или наоборот) и музыкальный строй (система сопоставления нот и звуковых частот). Но до сих пор консонантные интервалы не могли звучать достаточно «чисто». В особенности эта проблема была видна на примере звучания клавишных инструментов.

Темперация

Дилемму удалось решить только в 18 веке — благодаря темперации, которая сужала либо расширяла чистые «пифагоровские» интервалы. Так возник ровный темперированный строй, который используют и сегодня. Благодаря арифметическим исчислениям теперь октава насчитывала 12 равных полутонов, что позволило стандартизировать звучание всех интервалов абсолютно на любой высоте.

Что это дало? Теперь композиторы могли писать музыку, используя разные тональности (переход между ними называется модуляцией) без рисков воспроизвести плохо созвучные сочетания.

«Хорошо темперированный клавир» стал, пожалуй, наиболее известным сочинением Баха, написанным в эпоху поисков универсального музыкального строя.

Герцы (Hz)

Также измерению поддается и сам звук, ведь это волна, на высоту звучания которой влияет частота колебаний. Одно колебание в секунду равно 1 Герц (Hz). Единица позволила зафиксировать значение камертона (нота ля в первой октаве) — эталона высоты звука, применяемого для настраивания инструментов.

С 19 века наиболее распространенным камертоном среди музыкантов-академиков является нота ля в 440 Hz. Но сегодня большинство оркестров и хористов настраиваются по эталону в 442-443 Hz. Как это отражается на исполнении? Чем выше настроен инструмент, тем более напряженный и колоритный звук (вспомните, как звучат певцы, берущие высокие ноты).

Доли

То, какую организацию музыка имеет во времени (то есть в горизонтали), также зависит от некоторых математических закономерностей. Например, от периодичности. То, с какой частотой повторяются сильные и слабые доли, влияет на строение музыкальной фразы. Это один из ключевых параметров, образующий музыкальный жанр. Например, для вальса характерен бой 1 2 3 1 2 3 …, для танго — 1 2 3 4 1 2 3 4 и т.д.

Золотое сечение и симметрия

Золотое сечение и симметрия позволяют создавать более гармоничные и совершенные формы произведений.

Зачастую кульминация музыкального сочинения, если подсчитать такты, приходится на точку золотого сечения. Едва ли это можно назвать случайностью.

Кроме того, закон золотого сечения применим непосредственно к форме музыкального инструмента. Яркий тому пример — скрипка Страдивари, ставшая образцом утонченности и качества звука.

Симметрия также проявляется на уровне формы сочинения. Подтверждением тому — полифония: музыкальная канва «соткана из нескольких нитей», разобщенных, но подвластных одной «оси». В произведении важно сохранять заглавную тему, но при этом видоизменять ее элементы, чтобы разнообразить и придать динамику.

Принцип симметрии иллюстрируется в магическом квадрате, в котором слова читаются одинаково как справа налево и слева направо, так и сверху вниз и снизу вверх.

Рациональный подход к музыке

В начале 20 века европейская музыка перестала быть романтизированной. Композиторы взяли курс на рациональный подход в сочинительстве. Основоположниками такого подхода стали представители Новой венской школы — А. Шенберг, А. Берг и А. Веберн. Они активно руководствовались описанными с помощью магического квадрата приемами. Известно, что палиндром стал гравюрой на могиле Веберна.

С появлением электронной музыки влияние математики только усилилось. Например, компьютеры стали применяться для создания спектральной музыки. При ее создании композиторы опираются на анализ звукового спектра создаваемого произведения. Среди известных авторов-спектралистов — Т. Мюрай и Ж. Гризе. Я. Ксенакис, например, стал родоначальником стохастической музыки, которая основывалась на законе вероятности и больших чисел.

Хотите больше узнать о том, как связаны музыка и математика? Закажите научную статью у специалистов ФениксХелп. Среди наших авторов — настоящие эксперты, знающие все о рациональном подходе в изучении искусства.