Свойства определителя матрицы и его нахождение

Матрица в математике — это таблица упорядоченных взаимосвязанных элементов, состоящая из m-строк и n-столбцов. В квадратной матрице m=n, то есть A = (n×n). Одной из основных ее характеристик, применяемых в решении большинства задач, является определитель.

Определитель матрицы — что это такое, его свойства

Точного определения этого термина не существует, однако для понимания:

Три альтернативных обозначения: |А|, Δ, det A. Методы вычисления варьируется в зависимости от порядка матрицы (количества строк или столбцов).  

Что называют детерминантом

При изучении матричного определителя часто мелькает латинское слово «детерминант». На самом деле, разницы нет — это одно и то же понятие. Однако детерминант имеет множество значений в других областях науки, поэтому в математике чаще всего используют его русский перевод.

Расстановка индексов в матрице

Индексы — это координаты элемента в системе. У каждого элемента их два: первый указывает на строку, второй — на столбец.

Поскольку порядок — это количество строк или столбцов в квадратной матрице, то его можно определить по m-индексу нижней строки или n-индексу крайнего правого столбца. Такой способ применяется в том случае, если таблица очень большая и считать строки (столбцы) неудобно.

Алгебраическое определение

Алгебраический смысл таков:

Формула:

Каждое слагаемое — это произведение n-элементов, взятых по одному из каждой строки и каждого столбца, умноженное на (-1) в степени Np (количество инверсий).

Геометрическое определение

Геометрический смысл таков:

Еще раз: количество строк (столбцов) равно количеству векторов. Таким образом, если нам дана матрица А = (2×2), то она является двухмерным параллелограммом, а детерминант — площадью данной фигуры. Если А = (3×3), то это трехмерный параллелепипед, а определитель — его объем.  

Общая схема вычисления определителей

Для матрицы 1-го порядка определитель равен его единственному элементу:

\(|a_{11}| = a_{11}\)

Для 2-го порядка — произведение элементов главной диагонали минус произведение побочной.

\(|а_{11} а_{12}|\)

\(|а_{21} а_{22}| = а_{11} * а_{22} — а_{12} * а_{21}\)

Для нахождения А = (3×3) есть два способа:

• правило треугольника;
• правило Саррюса.

Правило треугольника выглядит следующим образом:

Если показывать графически, то:

По правилу Саррюса нужно:

1. Дописать слева от определителя два первых столбца.
2. Перемножить элементы главной диагонали и параллельных диагоналей, взяв произведения со знаком «+».
3. Перемножить элементы побочных диагоналей и параллельных им, взяв произведения со знаком «–».

Матрицы от 4-го порядка считают разложением строк или столбцов, но такой метод применяется редко и требует знаний об алгебраическом дополнении и миноре.

Вычисление определителя матрицы, примеры с решением

Задача №1: вычислить детерминант матрицы A = (n×n), равной

| 11 -3 |

| 15 -2 |.

Решение:

\(|а_{11} а_{12}|\)

\(|а_{21} а_{22}| = а_{11} * а_{22} — а_{12} * а_{21}\), следовательно

det A = 11 * (-2) – (-15) * (-3) = (-22) – 45 = (-67)

Ответ: det A = (-67)

Задача №2: определить det A матрицы, равной

| 1 3  4 |

| 0 2  1 |

| 1 5 -1 |

Решение: если методом треугольника, то:

Следовательно:

det A = (1 * 2 * (-1) + 3 * 1 * 1 + 0 * 5 * 4) — (4 * 2 * 1 + 3 * 0 * (-1) + 1 * 5 * 1) =

((-2) + 3 + 0) — (8 + 0 + 5) = 1 — 13 = (-12)

Ответ: det A = (-12)

Сложно? Феникс.Хелп может помочь в решении домашних, самостоятельных и контрольных работ.