Волновая функция и уравнение Шредингера

Исходя из статистического толкования волн де Бройля и соотношения неопределенностей Гейзенберга, был сделан вывод о необходимости уравнения, которое описывает движение микрочастиц под воздействием различных силовых полей и соответствует наблюдаемым на опыте волновым свойствам частиц. Такая закономерность была представлена в 1926 году Э. Шредингером. Основное Уравнение нерелятивистской квантовой механики сформулировано относительно волновой функции.

Волновое уравнение Шредингера — какой имеет вид, для чего нужно

Состояние частицы зависит от двух величин таких, как координаты или радиус-вектор и импульс. В рамках квантовой механики не корректно решать вопрос, связанный с точным местоположением и траекторией частицы. В этом случае допускается неопределенность координат и импульса квантовой частицы. Поэтому для описания ее состояния используют две вероятностные функции:

\(W\left(x.y.z \right)\)

\(V\left(p_{x}, p_{y},p_{z}\right)\)

Первая функция является характеристикой неопределенных координат частицы, а вторая – неопределенных импульсов. Взамен нескольких перечисленных функций W и V в квантовой механике сформулирована одна, комплексная функция, которая представляет собой волновую функцию. Комплексная функция равносильна двум функциям, так как включает две части:

• действительную;
• мнимую.

Преимуществом такой методики служит тот факт, что действительный и мнимый компоненты функции представляют собой функции не различных переменных (рх), а переменных одного рода:

• исключительно координат \(\Psi \left(x, y,z,t\right)\)
• только импульсов \(Y\left(p_{x}, p_{y},p_{z},t\right)\)

Уравнение перемещения свободной частицы достаточно просто записать с помощью импульсного представления из-за сохранения импульса свободной частицы. В рамках квантовой механики функция не будет зависеть от времени:

\(Y\left(p_{x}, p_{y},p_{z},t\right)\)

В случае уравнения связанной частицы, которое находится под действием сил, используют координатное представление. В квантовой механике не вводят понятие силы, как и понятие скорости. Данное положение справедливо, так как, исходя из формулировки, сила представляет собой производную от импульса частицы по времени. Импульс, которым обладает квантовая частица, не определен и не продифференцирован по времени. Согласно этому, для характеристики взаимодействия квантовых частиц используется не сила, а потенциальная энергия.

Перемещение связанной частицы, масса которой равна m, определяется следующей формулой:

\(ih\frac{d\Psi }{dt}=-\frac{h^{2}}{2m}\Delta \Psi +U(x,y,z,t)\)

где \(\Delta =\frac{d^{2}}{dx^{2}}+\frac{d^{2}}{dy^{2}}+\frac{d^{2}}{dz^{2}}\) является оператором Лапласа,

\(x,y,z\). – координаты,

h - постоянная Планка, деленная на 2π.

Данное уравнение получило название временное уравнение Шредингера. В случае, когда \(U(x,y,z,t)\) не определяется временем, решением уравнения Шредингера станет:

\(\Psi \left(x,y,z,t \right)=exp\left(-\frac{i}{h} Et\right)\Psi \left(x,y,z\right)\)

где Е является полной энергией системы,

\(\Psi \left(x,y,z\right)\) соответствует стационарному уравнению Шредингера:

\(-\frac{h^{2}}{2m}\Delta \Psi +U\left(x,y,z \right)\Psi =E\Psi\)

Уравнение Шредингера представляет собой основное уравнение, которое описывает движение частицы в квантовой механике. Данная формула не является выводом из других соотношений. Его рассматривают в качестве исходного основного предположения, следствия которого подтверждены опытным путем.

Решение уравнения Шредингера  

Данная формула с математической точки зрения является дифференциальным уравнением в частных производных. Его особенность заключается в наличие множества решений. В определенной задаче из этого множества выбирают единственное решение, которое соответствует условиям задачи.

С физической точки зрения, исходя из уравнения Шредингера, изменения волновой функции происходят детерминировано или однозначно. В данном контексте наблюдается сходство квантовой механики с классической, в рамках которой движение системы заранее предопределяется исходными условиями. Следует отметить вероятностный смысл волновой функции. Поэтому в квантовой механике детерминировано изменяются вероятности, а не сами физические события. Для событий характерна случайность и непредсказуемость.

Важно учитывать специфику уравнения Шредингера, которая заключается в его линейности. Волновая функция и ее производные входят в него в первой степени. Волновые функции соответствуют принципу суперпозиции. С его помощью решение упрощается за счет разделения сложных движений на более простые. К примеру, для записи движения свободной частицы учитывают не только волны де Бройля.

Допускается возможность более сложных выражений, определяющих результирующие волновые функции той же свободной частицы. Одновременно с этим, исходя из принципа суперпозиции, любое сложное движение свободной частицы возможно записать в виде суммы волн де Бройля.

Уравнение Шредингера представляет собой математическое выражение корпускулярно-волнового дуализма микрочастиц. В конкретно ситуации при условии, что длина волн де Бройля существенно меньше, чем размеры изучаемого движения, можно использовать уравнение Шредингера для описания движения частиц, исходя из законов классической механики.

С математической точки зрения уравнение Шредингера является волновым уравнением, структура которого схожа c уравнением колебания струны. Но решения уравнения Шредингера \(\Psi \left(x,y,z;t\right)\) не обладают прямым физическим смыслом. Физический смысл присущ модулю произведения:

\(\left|\Psi \left(x,y,z;t\right)*\Psi^{*} \left(x,y,z;t\right)\right|=\left|\Psi \left(x,y,z;t\right) \right|^{2}=\omega\)

где ω является плотностью вероятности нахождения частицы в точке пространства,

\(\Psi^{*} \left(x,y,z;t\right)\ \) представляет собой комплексно-сопряженную функцию с \(\Psi\left(x,y,z;t\right)\ \)

\(W=\int_{V}^{}{\omega dV}=\int_{V}^{}{\left|\Psi (x,y,z;t \right|^{2}dV}\)

где W является вероятностью нахождения частицы в объеме V.

Вероятный смысл волновой функции доказывает, что квантовая механика обладает статистическим характером. Волновая функция, которая представляет собой решение уравнения Шредингера, не позволяет точно описать траекторию движения квантовой частицы. Представляется возможным лишь указать вероятность обнаружения этой частицы в разных областях пространства.

Уравнение Шредингера наряду с другими основными физическими уравнениями, такими как законы Ньютона в классической механике или уравнение Максвелла для электромагнитного поля, является постулатом. Правильность сформулированной закономерности подтверждают экспериментальные исследования, что придает уравнению характер природного закона.

Задачи в рамках квантовой механики порой достаточно сложные. Столкнувшись с трудностями, студенты могут значительно упростить себе работу с помощью сервиса Феникс.Хелп.