Уравнение Шредингера в квантовой физике

Алёна Савинцева

Уравнение Шредингера имеет большое значение для квантовой механики — наряду со вторым законом Ньютона в классической механике или уравнением Максвелла для изучения природы электромагнитных волн. Закономерности, описанные ученым, объясняют движение частиц, скорость которых существенно меньше, чем скорость света.

Общее уравнение Шредингера — какой имеет вид и зачем нужно

Уравнением Шредингера называют линейное дифференциальное равенство с частными производными, которое описывает изменение в пространстве и во времени чистого состояния посредством волновой функции в гамильтоновых квантовых системах.

Опытным путем можно наблюдать волновые свойства частиц. Определение данного явления является следствием уравнения, которое описывает движение микроскопических частиц в разных силовых полях. Закономерности движения в квантовой механике вытекают из статистического толкования волн де Бройля и соотношения неопределенностей Гейзенберга.

Главное уравнение представляет собой формулу относительно волновой функции \(\psi\) (x, y, z,t). Это объясняется тем, что \(\left|\psi \right|\) является определением вероятности присутствия частицы в определенное время t в объеме ΔV, то есть в области со следующими координатами:

x и x + dx;

y и y + dy;

z и z+dz.

Основная закономерность нерелятивистской квантовой механики была представлена в 1926 году Э. Шредингером. Данная формула не является выводом, это — постулат. Справедливость уравнения подтверждается согласием с результатами опыта, что говорит о природном характере выявленной закономерности.

Общее уравнение Шредингера обладает следующим видом:

\(-\frac{h^{2}}{2m}\Delta \psi +U\psi =i\times h\frac{d\psi }{dt}\)

где ħ равно отношению \(\frac{h}{2\pi }\)

m — является массой частицы,

Δ — оператор Лампаса,

i — представляет собой мнимую единицу,

U(x, y, z, t) — равно потенциальной функции частицы в силовом поле, в котором она движется,

\(\psi\)(x, y, z, t) — служит искомой волновой функцией частицы.

Данная формула справедлива для любых частиц, спин которых равен нулю, движущихся с небольшой скоростью относительно скорости света. Уравнение можно дополнить условиями, характерными для волновой функции:

  • волновая функция имеет конец, однозначна и непрерывна;
  • производные волновой функции отличаются непрерывностью;
  • \(\left|\psi \right|\) интегрируема, что является условием нормировки вероятностей.

В первом случае описано уравнение, которое зависит от времени. Многие физические явления, наблюдаемые в микромире, можно охарактеризовать с помощью упрощенной формулы. При исключении зависимости волновой функции от времени можно определить закономерность Шредингера для стационарных состояний, то есть состояний, в которых значения энергии фиксированы. Такие ситуации возможны при стационарном силовом поле, в котором происходит движение частицы. Таким образом, функция U = U (x, y, z) не определяется временем и обладает смыслом потенциальной энергии.

В данном случае уравнение Шредингера будет иметь следующий вид:

\(\Delta \psi +\frac{2m}{h^{2}}\left(E-U \right)\times \psi =0\)

Данная формула получила название уравнения Шредингера для стационарных состояний. Здесь используют полную энергию Е-частицы. Согласно теории дифференциальных уравнений доказано, что имеется бесчисленное множество решений подобных уравнений, которые имеют физический смысл при отборе методом наложения граничных условий. В случае уравнения Шредингера такими условиями являются характеристики регулярности волновых функций:

  • конечность волновых функций;
  • однозначность и непрерывность волновых функций наряду с первыми производными.

Реальным физическим смыслом обладают лишь те решения, которые определены регулярными функциями $$\left|\psi \right|$$. Регулярные решения характерны не для любых значений величины Е, а лишь при конкретной их совокупности в рамках определенной задачи. Такие параметры энергии носят название собственные. В свою очередь решения с собственными значениями энергии определяют как собственные функции. С помощью собственных параметров Е формируют непрерывный или дискретный ряд. Для первого случая характерен непрерывный или сплошной спектр, для второго — дискретный спектр.

Шредингер
Источник: img.crazys.info

Применение уравнения Шредингера

Уравнение Шредингера не подходит для описания следующих явлений:

  1. Спонтанное излучение, в связи с тем, что волновая функция для возбужденного состояния представляет собой точное решение уравнения Шредингера с учетом зависимости от времени.
  2. Процесс изменения, характерный для квантовой механики, так как уравнение линейно, детерминистично и обладает обратимостью во времени, а данный процесс не отличается линейностью, стохастичен и необратим.
  3. Взаимное превращение элементарных частиц, по причине описания данных процессов релятивистской квантовой теорией поля.

Можно рассмотреть применение уравнения Шредингера к свободной частице или электрону, который совершает движение вдоль оси ОХ. При этом величина потенциальной энергии частицы, находящейся в свободном движении, равна нулю. То есть U = 0. Тогда уравнение Шредингера будет иметь следующий вид:

\(\Delta \psi +\frac{2m}{h^{2}}E\psi =0\)

Исходя из гипотезы Бройля, можно смоделировать перемещение такого микроскопического объекта с помощью плоской монохроматической волны, занимающей все пространство:

\(\psi =\psi _{0}e^{-i\left(\omega t-\vec{k}\vec{y} \right)}\)

Волновая функция, характеризующая движение свободной частицы вдоль оси ОХ, бедт записана следующим образом:

\(\psi =\psi _{0}e^{-i\left(\omega t-kx \right)}\)

где \(\psi _{0}\) является амплитудой волны.

Круговая частота \(\omega\) и волновое число k связаны с полной энергией E и импульсом р следующими закономерностями:

\(E=hω\)

\(p=hk\)

Из данных соотношений следует:

\(\omega = \frac{E}{h}\)

\(k=\frac{P}{h}\)

В таком  случае волновая функция будет иметь следующий вид:

\(\psi =\psi _{0}e^{\frac{i}{h}\left(Et-Px \right)}\)

Продемонстрировать соответствие данного вида функции уравнению Шредингера можно, если определить \(\Delta \psi\) и \(P^{2}\)

\(\frac{d\psi }{dx}=\psi _{0}\left(\frac{-i}{h} \right)\left(-P \right)\times e^{\frac{-i}{h}\left(Et-Px \right)}=\frac{i}{h}P\psi\)

\(\Delta \psi =\frac{d^{2}\psi }{dx^{2}}=\left(\frac{i}{h}P \right)^{2}e^{-\frac{i}{h}\left(Et-Px \right)}\psi _{0}=-\frac{P^{2}}{h^{2}}\psi\)

\(P^{2}=\frac{1}{\psi }h^{2}\Delta \psi\)

Далее необходимо определить \(\frac{d\psi }{dt}\) и определить значение полной энергии Е:

\(\frac{d\psi }{dt}=-\psi _{0}\frac{i}{h}E\times e^{-\frac{i}{h}\left(Et-Px \right)}=-\frac{i}{h}E\psi\)

\(E=-\frac{1}{\psi }\times \frac{h}{i}\times \frac{d\psi }{dt}\)

Используя отношение энергии частицы Е к импульсу p, получим формулу:

\(E=\frac{p^{2}}{2m}\)

Подставив данные значения в уравнение, можно вывести следующее равенство:

\(-\frac{1}{\psi }\times \frac{h}{i}\frac{d\psi }{dt}=\frac{1}{2m}\left(-\frac{1}{\psi }h^{2}\Delta \psi \right)\)

\(\frac{h}{i}\frac{d\psi }{dt}=\frac{h^{2}}{2m}\Delta \psi\)

\(\frac{h^{2}}{2m}\Delta \psi =ih\frac{d\psi }{dt}\)

\(-\frac{h^{2}}{2m}\Delta \psi =ih\frac{d\psi }{dt}=ih\left(-\psi _{0} \right)\frac{i}{h} Ee^{-\frac{i}{h}\left(Et-Px \right)}=E\psi\)

\(\Delta \psi +\frac{2m}{h^{2}}E\psi =0\)

Данное равенство соответствует уравнению Шредингера, когда U=0. Корректный вид волновой функции можно обосновать для случая движения частицы в силовом поле, в случае, когда потенциальная энергия не равна нулю. Формула будет иметь следующий вид:

\(\frac{P^{2}}{2m}= E-U\)

Такое уравнение характеризует энергию движения частицы по аналогии с кинетической энергией в классической механике. После подстановки значений Е и Р уравнение приобретает следующий вид:

\(\frac{1}{2m}\left(-\frac{1}{\psi }h^{2}\Delta \psi \right)=-\frac{1}{\psi }\frac{h}{i} \frac{d\psi }{dt}-U\)

\(-\frac{h^{2}}{2m}\Delta \psi +U\psi =\frac{h}{i}\frac{d\psi }{dt}\)

Конечная формулировка идентична уравнению Шредингера. Данное выражение применимо для частицы, которая совершает движение в силовом поле.

Частица в силовом поле
Источник: i.pinimg.com

Пример решения уравнения Шредингера

Задание 1

Электрон движется в одном измерении вдоль оси ОХ между двумя потенциальными барьерами. В случае, если высота барьеров на концах ямы не имеет ограничений, электрон, как и в атоме, совершает финитное движение. Необходимо описать движение в квантовой механике и поведение импульса и энергии частицы.

Решение

Вначале следует изобразить ситуацию схематично

Ситуационная схема
Источник: ru.solverbook.com

Согласно условиям задачи, функция U(x) обладает особым, разрывным видом и равна нулю в области между стенками. На краях ямы, то есть на ее барьерах, функция будет бесконечна:

При х=0 и х=l \(U=\propto\)

При 0<x<1 U=0

Можно представить импульс электрона по модулю в виде определенной и постоянной величины, изменяющей знак во время отражения от барьера. Связь энергии электрона и импульса выражается таким образом:

\(E=\frac{p^{2}}{2m_{0}}\)

Уравнение Шредингера для стационарных состояний частиц, находящихся между барьерами, имеет следующий вид:

\(\frac{h^{2}}{2m_{0}}\times \psi ^{"}+E\psi =0\)

Выполняя преобразования в формулах, получим:

\(\psi ^{"}+\frac{p^{2}}{h^{2}}\psi =0\)

К полученной формуле следует прибавить граничные условия на барьерах ямы. Необходимо учесть связь волновой функции и вероятности нахождения частиц. Согласно условиям задания, частица за пределами стенок не находится. В таком случае значение волновой функции на стенках и за их пределами равно нулю. Граничные условия задания будут иметь следующий вид:

\(x\leq 0 \)  \( \psi =0\)

\(x\leq 1 \)   \( \psi =0\)

При дальнейших действиях нужно учитывать, что решением последней формулы являются волны де-Бройля. Одну волну де-Бройля в качестве решения к задаче не применить, так как с ее помощью заранее описывается свободная частица, движущаяся в одном направлении. В данном случае рассматривается движение частицы между стенками. Поэтому, используя принцип суперпозиции, в решении можно применить две волны де-Бройля, совершающих движение навстречу друг к другу с импульсами р и –р. Формула будет иметь следующий вид:

\(\psi =C_{1}\times exp\left(\frac{i}{h}px \right)+C_{2}\times exp\left(-\frac{i}{h}px \right)\)

Исходя из граничных условий и условий нормировки, можно определить постоянные \(С_1\) и \(С_2\). Сумма всех вероятностей позволит рассчитать вероятность нахождения электрона между стенками в любом месте и получить единицу, то есть значение вероятности достоверного события равна 1. Уравнение будет иметь такой вид:

\(\int_{0}^{l}{\left|\psi \left(x \right) \right|^{2}}dx=1\)

Исходя из первых граничных условий:

\(C_{1}+C_{2}=C\)

\(C_{1}=-C_{2}=C\)

Решение задачи будет иметь следующий вид:

\(\psi =C\times \left(exp\left(\frac{i}{h}px \right)-exp\left(-\frac{i}{h}px \right) \right)\)

\(exp\left(\frac{i}{h}px \right)-exp\left(-\frac{i}{h}px \right) =2\sin \frac{px}{h}\)

\(\psi =A\sin \frac{px}{h}\)

\(A=2iC\)

Постоянная А выходит из условий нормировки. В данном случае она не представляет интереса. Необходимо использовать второе граничное условие. Тогда решение можно записать в виде уравнения:

\(\sin \frac{pl}{h}=0\)

Импульс при этом принимает только определенные значения:

\(p_{n}=\frac{h}{l}\pi n\)

n=±1, ±2…

Следует учесть, что n не равно нулю. Это объясняется тем, что в противном случае волновая функция повсюду имела нулевые значения. В этом случае для частицы между стенками состояние покоя не характерно. Электрон обязательно должен совершать движение. Минимальное значение возможного импульса движущейся частицы равен:

\(\frac{h}{l}\pi =\frac{hn}{2\pi }\frac{\pi }{l}=\frac{hn}{2l}\)

Ранее было указано, что импульс электрона изменяет знак во время отражения от барьеров. В этом заключается сложность представления ответа на вопрос, каков импульс у частицы, запертой между стенками. Он может быть равен –р или +р. Импульс не определен. Степень неопределенности будет выражаться в следующем:

рх-(-р)=2р

Неопределенность координаты Δх равна l. Обнаружить частицу можно в пределах между барьерами. Точное местонахождение электрона неизвестно. Наименьшее значение импульса имеет вид:

\(\frac{h}{2l}\)

Исходя из этого условия, можно вывести равенство:

\(\Delta x\times \Delta p_{x}=h\)

Таким образом, соотношение Гейзенберга в рамках данной задачи, то есть при наличии наименьшего значения р, подтверждено. В случае произвольно-возможного значения импульса соотношение неопределенности приобретает такой вид:

\(\Delta x\times \Delta p_{x}\geq h\)

Согласно исходному постулату Гейзенберга-Бора о неопределенности Δх и Δу, установлена лишь нижняя граница неопределенностей, возможная при измерениях. В начале движения наблюдают минимальные неопределенности, которые возрастают со временем. Полученное уравнение демонстрирует следующее: импульс системы в квантовой механике не всегда изменяется непрерывно. Спектр импульса электрона в данном случае дискретный, импульс частицы между барьерами изменяется скачкообразно. Величина такого скачка при условиях задания является постоянной величиной и определяется как:

\(\frac{h}{2l}\)

Можно изобразить спектр возможных значений импульса электрона. Дискретность изменения механических величин, не применимая к классической механике, в квантовой механике является следствием ее математического аппарата. Невозможно представить наглядное объяснение скачкообразного изменения импульса. Это закон квантовой механики, данный вывод следует из него логически и является объяснением.

График
Источник: ru.solverbook.com

Далее необходимо обратиться к энергии электрона. Данная величина обладает связью с импульсом. В случае дискретного спектра импульса получают дискретный спектр значений энергии частицы между барьерами. Подставив ранее известные формулы в уравнение, получим:

\(E_{n}=\frac{p_{n}^{2}}{2m_{0}}=\frac{1}{2m_{0}}\times \left(\frac{h}{2l} \right)^{2}n^{2}\)

где n = 1, 2,…, представляет собой квантовое число.

Таким образом, получают энергетические уровни.

График 2
Источник: ru.solverbook.com

На рисунке представлены энергетические уровни, согласно условию задания. Если изменить их, то схема расположения энергетических уровней будет изменена. В случае, когда частица обладает зарядом, как электрон, и расположена на самом низком энергетическом уровне, она будет в состоянии спонтанно испускать свет, как фотон. При этом переход на более низкий энергетический уровень возможен с условием:

\(E_{n}-E_{M}=h\times \nu _{nm}\)

Для этого задания волновые функции, характерные каждому стационарному состоянию, являются синусоидами. Их нулевые значения будут отмечены на стенках.

Частицы
Источник: scx1.b-cdn.net

Уравнение Шредингера имеет огромное значение для развития современной науки. Квантовая механика является популярной дисциплиной для изучения в специализированных вузах. Нередко студенты учебных заведений сталкиваются со сложными задачами, решение которых отыскать порой достаточно сложно.

При возникновении трудностей в образовательном процессе получить квалифицированную помощь можно с помощью сервиса Феникс.Хелп.

Заметили ошибку? Выделите текст и нажмите одновременно клавиши «Ctrl» и «Enter»

Бесплатно отвечаем на ваши вопросы. Задайте свой вопрос и получите ответ от профессионального преподавателя. Выберите лучший ответ.

Вопросы могут задавать только авторизованные пользователи. Войти