Как решать уравнения методом Гаусса

Благодаря великим ученым было открыто множество эффективных теорем для работы со сложными математическими задачами. Один из таких примеров — метод Гаусса.

Метод Гаусса — что это такое

Метод Гаусса представляет собой методику эквивалентного преобразования исходной системы линейных уравнений в систему, решаемую существенно проще, чем исходный вариант.

Метод Гаусса используют для решения систем линейных алгебраических формул. Такой способ обладает рядом важных преимуществ:

1. Нет необходимости сравнивать уравнения для оценки совместимости.
2. Решение систем равенств, в которых число определителей совпадает или не совпадает с количеством неизвестных переменных.
3. Поиск решений для уравнений с нулевым определителем.
4. Сравнительно небольшое количество вычислительных операций для получения результата.

Основные определения и обозначения

Матрицы: определение и свойства

Такие системы являются наиболее удобным способом представления данных, с которыми впоследствии производят манипуляции. Матрица имеет вид прямоугольника для удобства расчетов. При использовании метода Гаусса работа осуществляется с треугольными матрицами, при записи которых применяется прямоугольник с нулями на тех местах, где числа отсутствуют. Часто нули не записывают, а только подразумевают.

Важным параметром матрицы является размер:

• ширина — это количество строк, обозначают буквой m;
• длину выражают числом столбцов, записывают буквой n.

Размер матрицы будет записан в формате А m*n. В случае, когда m=n, матрица является квадратной, а m=n служит ее порядком. Номера строк и столбцов изменяются.

Определитель

Матрица обладает крайне важной характеристикой. Таким параметром является определитель. Данную величину рассчитывают с помощью диагонали. Для этого в матрице необходимо провести воображаемые диагональные линии. Затем следует найти произведение элементов, которые располагаются на этих диагоналях, а полученные значения суммировать таким образом:

1. Если диагональ обладает наклоном в правую сторону, то знак «+».
2. Для диагоналей, наклоненных влево, знак «–».

Если необходимо определить данный параметр для прямоугольной матрицы, то следует выполнить следующие манипуляции:

• из числа строк и числа столбцов выбрать наименьшее и обозначить его k;
• отметить в матрице произвольным образом k столбцов и k строк.

Элементы, которые расположены на пересечении отмеченных столбцов и строк, образуют новую квадратную матрицу. В случае, когда определитель является числом, не равным нулю, то данный параметр будет обозначен как базисный минор первоначальной прямоугольной матрицы. Перед решением систем уравнений методом Гаусса полезно рассчитать определитель. Если данная характеристика равна нулю, то матрица имеет бесконечное множество решений либо не имеет их вовсе. В таком случае потребуется определить ранг матрицы.

Классификация систем

Ранг матрицы является распространенным понятием. Он обозначает максимальный порядок ее определителя, который не равен нулю. По-другому можно сказать, что ранг матрицы представляет собой порядок базисного минора. Исходя из данного критерия, СЛАУ классифицируют на несколько типов. В совместных системах, которые состоят лишь из коэффициентов, ранг основной матрицы совпадает с рангом расширенной. Для подобных систем характерно одно или множество решений. По этой причине совместные системы подразделяют на следующие типы:

• определенные, обладающие одним решением, в которых наблюдается равенство ранга матрицы и количество неизвестных;
• неопределенные;
• обладающие бесконечным числом решений с рангом матрицы, который меньше количества неизвестных.

В несовместных системах ранги, характеризующие основную и расширенную матрицы, отличаются. С помощью метода Гаусса в процессе решения можно прийти либо к однозначному доказательству несовместности системы, либо к решению общего вида для системы, обладающей бесконечным количеством решений.

Основные правила и разрешаемые преобразования при использовании метода Гаусса

Перед тем, как решать систему, необходимо ее упростить. На данном этапе выполняют элементарные преобразования, которые не влияют на конечный результат. Определенные манипуляции справедливы лишь в случае матриц, исходниками которых являются СЛАУ. Список элементарных преобразований:

1. Перестановка строк. При перемене записей в системе местами ее решение не меняется. Можно менять место строк в матрице, учитывая столбец со свободными членами.
2. Произведение всех элементов строк и некоторого коэффициента. Сокращаются большие числа в матрице, и исключаются нули. При этом множество решений сохраняется без изменений, а дальнейшие манипуляции существенно упрощаются. Важным условием является отличие от нуля коэффициента.
3. Удаление строк, которые содержат пропорциональные коэффициенты. Данное преобразование следует из предыдущего пункта. При условии, что две или более строк в матрице обладают пропорциональными коэффициентами, то при произведении или делении одной из строк на коэффициент пропорциональности получают две или более абсолютно одинаковые строки. В этом случае лишние строки исключают, оставляя только одну.
4. Удаление нулевой строки. Бывают случаи, когда в процессе манипуляций с уравнениями возникает строка, все элементы которой, в том числе свободный член, равны нулю. Нулевую строку допустимо исключать из матрицы.
5. Суммирование элементов одной строки с элементами другой, умноженными на некоторый коэффициент, в соответствующих столбцах. Данное преобразование имеет наиболее важное значение из всех перечисленных.

Особенности использования метода Гаусса для решения СЛАУ

На первом этапе система уравнений записывается в определенном виде. Пример выглядит следующим образом:

Коэффициенты необходимо представить в виде таблицы. С правой стороны в отдельном столбце записаны свободные члены. Данный блок отделен для удобства решения. Матрицу со столбцом со свободными членами называют расширенной.

Затем основная матрица с коэффициентами приводится к верхней треугольной форме. Данное действие является ключевым моментом при решении системы уравнений с помощью метода Гаусса. По итогам преобразований матрица должна приобрести такой вид, чтобы слева внизу находились одни нули:

При записи новой матрицы в виде системы уравнений можно отметить, что последняя строка уже содержит значение одного из корней, которое в дальнейшем подставляется в уравнение выше для нахождения следующего корня и так далее. Подобное описание позволяет разобраться в методе Гаусса в общих чертах.

Обратный и прямой ход метода Гаусса

В первом случае необходимо представить запись расширенной матрицы системы. При выполнении обратного метода Гаусса далее в главную матрицу добавляют столбец со свободными членами.

Суть такого способа заключается в выполнении элементарных преобразований, по итогам которых данная матрица приводится к ступенчатому или треугольному виду. В этом случае над или под главной диагональю матрицы располагаются только нули.

Варианты дальнейших действий:

• перемена строк матрицы местами, при наличии одинаковых или пропорциональных строк их можно исключить, кроме одной;
• деление либо умножение строки на любое число, не равное нулю;
• удаление нулевых строк;
• добавление строки, умноженной на число, не равное нулю, к другой строке.

Имея преобразованную систему с одной неизвестной Xn, которая становится известной, можно выполнить поиск в обратном порядке остальных неизвестных с помощью подстановки известных х в уравнения системы, вплоть до первого. Данный способ называют обратным методом Гаусса.

Примеры решений с объяснением

Пример 1

Требуется решить с помощью метода Гаусса систему линейных уравнений, которая выглядит следующим образом:

Решение

Необходимо записать расширенную матрицу:

Затем нужно выполнить преобразования. В результате матрица должна приобрести треугольный вид. Для этого следует умножить первую строку на (3) и умножить вторую строку на (-1). В результате суммирования второй и первой строк получается следующее:

Далее следует умножить третью строку на (-1). После добавления третьей строки ко второй получаем следующие преобразования:

После этого необходимо умножить первую строку на (6) и вторую строку на (13). Далее следует добавить вторую строку к первой:

После того, как система преобразована, остается вычислить неизвестные:

\(x_{3}=\frac{98}{49}=2\)

\(x_{2}=\frac{14-7x_{3}}{6}=\frac{14-7*2}{6}=0\)

\(x_{3}=\frac{-9+5x_{2}+6x_{3}}{3}=\frac{-9+5*0+6*2}{3}=1\)

Данный пример демонстрирует единственное решение системы.

Пример 2

Необходимо решить систему уравнений, которая выглядит следующим образом:

Решение

Необходимо составить матрицу:

Согласно методу Гаусса уравнение первой строки по итогам преобразований не меняется. Удобнее, когда левый верхний элемент матрицы обладает наименьшим значением. В таком случае первые элементы остальных строк после преобразований будут равны нулю. Таким образом, составленная матрица будет решаться проще, если на место первой строки поставить вторую:

вторая строка:

\(k = (-a_{21} /a_{11}) = (-3/1) = -3\)

\(a"_{21} = a_{21} + k×a_{11} = 3 + (-3)×1 = 0\)

\(a" _{22} = a_{22} + k×a _{12} = -1 + (-3)×2 = -7\)

\(a"_{ 23} = a_{23} + k×a_{13} = 1 + (-3)×4 = -11\)

b" 2 = b 2 + k×b 1 = 12 + (-3)×12 = -24

третья строка: 

\(k = (-a_{31} /a_{11}) = (-5/1) = -5\)

\(a"_{31} = a_{31} + k×a_{11} = 5 + (-5)×1 = 0\)

\(a"_{32} = a_{32} + k×a_{12} = 1 + (-5)×2 = -9\)

\( a"_{33} = a_{33} + k×a_{13} = 2 + (-5)×4 = -18\)

\( b"_3 = b_3 + k×b_1 = 3 + (-5)×12 = -57\)

Матрица с промежуточными результатами манипуляций будет иметь следующий вид:

Благодаря некоторым операциям можно придать матрице наиболее удобный вид. К примеру, вторую строку можно избавить от всех «минусов» путем умножения каждого элемента на «-1». Можно заметить, что для третьей строки характерны все элементы, кратные трем. В этом случае строка сокращается с помощью произведения каждого элемента на «-1/3». Минус позволит удалить отрицательные значения.

Далее следует приступить к манипуляциям со второй и третьей строками. Необходимо суммировать третью и вторую строки. Вторая строка при этом умножается на такой коэффициент, при котором элемент а 32 будет равен нулю.

\(k = (-a_{32} /a_{22}) = (-3/7) = -3/7\)

\(a"_{32} = a_{32} + k×a_{22} = 3 + (-3/7)×7 = 3 + (-3) = 0\)

\(a"_{33} = a_{33} + k×a_{23} = 6 + (-3/7)×11 = -9/7\)

\(b"_3 = b_3 + k×b_2 = 19 + (-3/7)×24 = -61/7\)

Преобразованная матрица будет иметь следующий вид:

Матрица обладает ступенчатым видом. Дальнейшие преобразования с помощью метода Гаусса нецелесообразны. В этом случае можно удалить из третьей строки общий коэффициент «-1/7».

Затем необходимо представить запись матрицы в виде системы уравнений для вычисления корней.

x + 2y + 4z = 12 (1)

7y + 11z = 24 (2)

Найти корни можно обратным методом Гаусса. Уравнение (3) содержит значение z:

y = (24 - 11×(61/9))/7 = -65/9

С помощью первого уравнения можно определить х:

x = (12 - 4z - 2y)/1 = 12 - 4×(61/9) - 2×(-65/9) = -6/9 = -2/3

Подобная система является совместной и определенной, для которого характерно единственное решение. Ответ будет следующим:

x 1 = -2/3, y = -65/9, z = 61/9.

Метод Гаусса предполагает последовательное исключение неизвестных. Методика справедлива в случае решения квадратных систем линейных алгебраических уравнений. Несмотря на простоту метода, многие студенты сталкиваются с некоторыми трудностями в процессе поиска правильного решения. Это связано с наличием знаков «+» и «-». Поэтому для решения СЛАУ требуется проявить внимательность. А получить квалифицированную помощь можно на ресурсе Феникс.Хелп.