Пространственное и временное уравнения Шредингера

В 1926 году австрийский физик Э.Шредингер предложил основное динамическое уравнение нерелятивистской квантовой механики. Данное положение не требует решения, а постулируется. Справедливость уравнения Шредингера подтверждена путем экспериментов, связанных с исследованиями атомных, молекулярных и ядерных явлений.

Временное уравнение Шредингера

Данное равенство включает описание состояния квантового объекта, которое изменяется в течение времени и характеризуется волновой функцией. При известной волновой функции W в начале отсчета времени с помощью решения уравнения Шредингера можно рассчитать V для любого последующего момента времени t.

Наглядно можно записать положение, представленное Шредингером, характеризующее частицу, масса которой m, а скорость движения намного меньше, чем скорость света в вакуумной среде. Частица перемещается, благодаря воздействию силы, являющейся следствием потенциала U(x, y, z, t):

\(ih\frac{d\Psi }{dt}=-\frac{h^{2}}{2m}\Delta \Psi +U\Psi\)

где \(h=\frac{h}{2}=1.05*10^{-34}\) Дж*с — постоянная Планка,

m является массой частицы,

U (x, y, z, t) представляет собой потенциальную энергию частицы, которая движется в силовом поле,

\(\Delta =\frac{d^{2}}{dx^{2}}+\frac{d^{2}}{dy^{2}}+\frac{d^{2}}{dz^{2}}\) является оператором Лапласа

\(\Psi =\Psi (x, y, z, t)\) определяет волновую функцию частицы,

\(i=\sqrt{-1}\) играет роль мнимой единицы.

В равенстве есть производная от функции по времени. Данное уравнение является временным или нестационарным уравнением Шредингера.

Оператор эволюции во времени, что под этим понимается

Описание всех наблюдаемых физических величин в рамках квантовой механики выполняют с помощью эрмитовых операторов или матриц. Матрицы Паули в случае спина являются ярким примером. Если измеряется тот или иной результат, то вероятности в общем случае могут изменяться в зависимости от времени. Временная эволюция квантовых систем представлена двумя эквивалентными картинами:

1. Положение Гейзенберга, при котором наблюдаются изменения операторов с течением времени и стабильность вектора состояния.
2. Представление Шредингера, согласно которому наблюдают изменения вектора состояния во времени и стабильность операторов.

Картину Шредингера, согласно которой вектор состояния изменяется со временем, можно изобразить с помощью действия на него какого-то оператора: \(\hat{U}\)

Данная величина является оператором эволюции во времени. Формула будет выглядеть следующим образом:

\(\left|\psi \left(t \right)>=\hat{U} \left(t \right)\right|\psi \left(0 \right)>\)

Вектор состояния в любой будущий момент времени образован благодаря действию оператора на вектор в исходной точке отсчета времени. Эрмитовое сопряжение в правой части уравнения приведет к следующим преобразованиям:

\(<\psi |\hat{U}^{\dagger}\)

Выполнив умножение обеих частей, получим:

\(<\psi |\hat{U}^{\dagger} \hat{U}|\psi >\)

Условие для нормировки вероятностей: \(<\psi |\psi >=1\) будет выполняться, и сумма вероятностей будет составлять 100%, когда вектор изменяется в течение времени, в том случае, если:

\(\hat{U}^{\dagger }\hat{U}=\hat{I}\)

или в подобном  случае, когда:

\(\hat{U}^{\dagger }=\hat{U}^{-1}\)

Операторы, которые соответствуют этому требованию, получили название унитарные. Эрмитово сопряженный унитарный оператор является обратным начальному. Унитарный оператор представляют с помощью записи в виде экспоненты от эрмитова оператора, для которого не характерна зависимость от времени:

\(\hat{U}\left(t \right)=e^{-i\hat{H}t}\)

В таком случае эволюция вектора состояния будет записана следующим образом:

\(\left|\psi \left(t \right) >=e^{-i\hat{H}t}\right|\psi \left(0 \right)>\)

Представленное равенство является наиболее общим решением уравнения Шредингера:

\(i\frac{d}{dt}|\psi >=\hat{H}|\psi >\)

Справедливо утверждение, когда производная функция пропорциональна этой функции, то функция представляет собой экспоненту. Постоянная Планка является равной единице. Оператор \(\hat{H}\) называют оператором Гамильтона или Гамильтонианом. Данная величина является оператором энергии и играет роль генератора временной эволюции.

Если рассмотреть систему, в которой два базисных вектора, к примеру, в виде кубита, оператор Гамильтона будет представлять собой квадратную матрицу 2х2. В случае, когда рассматривается бесконечномерный вектор состояния, который, например, описывает координату х частицы, компонент вектора или амплитуд вероятности будет наблюдаться бесконечное множество. С их помощью формируется так называемая волновая функция:

\(\psi \left(x \right)\)

Значение данной функции в точке x представляет собой амплитуду вероятности обнаружить частицу в данной точке. Она также соответствует уравнению Шредингера:

\(i\frac{d}{dt}\psi \left(x \right)=\hat{H}\psi \left(x \right)\)

Оператор Гамильтона при такой ситуации представляет собой бесконечномерную квадратную матрицу. Можно воспользоваться и привычными дифференциальными операторами, чтобы представить его. Энергия является суммой кинетической и потенциальной энергии:

\(\hat{H\frac{\hat{p}^{2}}{2m}}+V\left(x \right)\)

где \(\hat{p}=-i\frac{d}{dx}\) служит оператором импульса.

Форма дифференциального уравнения Шредингера для волновой функции \(\psi \left(x \right)\) в виде классического уравнения математической физики будет записана следующим образом:

\(i\frac{d\psi \left(x \right)}{dt}=-\frac{1}{2m}\frac{d^{2}\psi \left(x \right)}{dx^{2}}+V\left(x \right)\psi \left(x \right)\)

Данное равенство при необходимости можно легко упростить на случай трех измерений. Необходимо учитывать, что волновая функция не является классическим полем. Для нее не характерно распределение в пространстве массы частицы или заряда. Волновая функция не представляет собой объективно существующий физический объект, так как ее невозможно наблюдать. Согласно копенгагенской интерпретации квантовой механики, волновая функция обладает только вероятностными характеристиками.

Особенности решения одномерных временных уравнений

Представить данные характеристики можно с помощью анализа движения свободно перемещающейся частицы, масса которой составляет m. Временное уравнение Шредингера будет записано таким образом:

\(ih\frac{d\Psi }{dt}=-\frac{h^{2}}{2m}\bigtriangledown ^{2}\Psi +U\left(x,y,z,t \right)\)

где \(U\left(x,y,z,t \right)=0\)  в отношении свободно движущейся частицы.

Исходя из этого, можно перейти к дифференциальному уравнению:

\(ih\frac{d\Psi }{dt}=-\frac{h^{2}}{2m}\bigtriangledown ^{2}\Psi\)

Рассмотреть одномерный случай можно с помощью формулы:

\(ih\frac{d\Psi }{dt}=-\frac{h^{2}}{2m}\frac{d^{2}\Psi }{dx^{2}}\)

Пси-функция будет записана таким образом:

\(\Psi \left(x,t \right)=\psi \left(x \right)f\left(t \right)\)

Данное равенство можно подставить в дифференциальное уравнение:

\(ih\psi \frac{df}{dt}=-\frac{h^{2}}{2m}f\frac{d^{2}\psi }{dx^{2}}\)

С учетом \(ih\psi \frac{df}{dt}\frac{1}{f}=E\) дифференциальное уравнение будет преобразовано следующим образом:

\(\frac{d^{2}\psi }{dx^{2}}+\frac{2m}{h^{2}}E\psi =0\)

Предположим, что:

\(\frac{2m}{h^{2}}E= k^{2}\)

Тогда получим следующее равенство:

\(\frac{d^{2}\psi }{dx^{2}}+ k^{2}\psi=0\)

Корнями характеристического уравнения для дифференциального уравнения представляют собой ik и –ik. В таком случае решением дифференциального уравнения является:

\(\psi \left(x \right)=Ae^{ikx}+Be^{-ikx}\)

где А и В являются постоянными,

\(k=\frac{p}{h}\) представляет собой модуль волнового вектора.

С учетом следующего равенства:

\(\frac{2m}{h^{2}}E=k^{2}\)

Тогда расчет импульса микрочастицы будет выглядеть следующим образом:

\(p=\sqrt{2mE}\)

Исходя из этого, можно сделать вывод, что Е является энергией частицы. С учетом:

\(ih\frac{df}{dt}\frac{1}{f}=E\)

Дифференциальное уравнение можно записать в таком виде:

\(\frac{df}{dt}+i\frac{E}{h}f=0\)

Корень характеристического уравнения будет равен –iω, где:

\(\omega =\frac{E}{h}\)

В таком случае решение дифференциального уравнения будет записано таким образом:

\(f\left(t \right)=Ce^{-i\omega }\)

Пси-функция свободной частицы равна:

\(\Psi \left(x,t \right)=\psi \left(x \right)f\left(t \right)=A_{1}e^{i\left(kx-\omega t \right)}+A_{2}e^{-i\left(kx-\omega t \right)}\)

где \(k=\frac{\sqrt{2mE}}{h}\)

\(\omega =\frac{E}{h}\)

\(A_{1}\) и \(A_{2}\) являются некоторыми постоянными.

Первое слагаемое уравнения соответствует дебройлевской волне, которая распространяется в положительном направлении оси х. Вторая часть формулы является дебройлевской волной, распространяемой в противоположном направлении.

Уравнение Шредингера представляет собой математическое выражение карпускулярно-волнового дуализма. Исходя из данной закономерности, можно говорить о наличии у всех существующих в природе частиц материи волновых свойств. Это положение соответствует принципу Бора и в отдельных ситуациях позволяет проанализировать перемещение частиц, согласно законам классической механики. В процессе решения подобных задач целесообразно воспользоваться сервисом Феникс.Хелп.